第二課 考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　數(shù)學(xué)抽象 角度　復(fù)數(shù)的概念 【典例1】(1)若復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2+的虛部為 (　　) A.0　 B.-1　 C.1　 D.-2 (2)實(shí)數(shù)k分別為何值時(shí)，復(fù)數(shù)(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)滿足下列條件？ ①是實(shí)數(shù).②是虛數(shù).③是純虛數(shù).④是0. 【解析】(1)選A.因?yàn)閦=1+i，所以=1-i， 所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0. (2)(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i. ①當(dāng)k2-5k-6=0，即k=6或k=-1時(shí)，該復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù). ②當(dāng)k2-5k-6≠0，即k≠6且k≠-1時(shí)，該復(fù)數(shù)為虛數(shù). ③當(dāng)即k=4時(shí)，該復(fù)數(shù)為純虛數(shù). ④當(dāng)即k=-1時(shí)，該復(fù)數(shù)為0. 【類題·通】 復(fù)數(shù)相關(guān)概念的應(yīng)用技巧 (1)正確確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部是準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(如實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、相等復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模)的前提. (2)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的依據(jù). 特別提醒：求字母的范圍時(shí)一定要關(guān)注實(shí)部與虛部自身有意義. 【加練·固】 1.下列命題為假命題的是 (　　) A.復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù) B.復(fù)數(shù)等于零的充要條件是它的模等于零 C.兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等是這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的必要條件 D.復(fù)數(shù)z1>z2的充要條件是|z1|>|z2| 【解析】選D.A中，任何復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=≥0總成立，所以A正確. B中，由復(fù)數(shù)為零的條件z=0??|z|=0，故B正確. C中，若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，且z1=z2，則有a1=a2，b1=b2，所以|z1|=|z2|； 反之，由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，如z1=1+3i，z2=1-3i時(shí)，|z1|=|z2|，故C正確. D中，若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z1>z2，則a1>a2，b1=b2=0，此時(shí)|z1|>|z2|；若|z1|>|z2|，z1與z2不一定能比較大小，所以D錯(cuò)誤. 2.對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，下列結(jié)論正確的是(　　) A.a=0?a+bi為純虛數(shù) B.b=0?a+bi為實(shí)數(shù) C.a+(b-1)i=3+2i?a=3，b=-3 D.-1的平方等于i 【解析】選B.當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，a+bi為純虛數(shù)，故A錯(cuò)；B正確； 若a+(b-1)i=3+2i?a=3，b=3，故C錯(cuò)； (-1)2=1，故D錯(cuò). 3.復(fù)數(shù)z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3)，當(dāng)x為何實(shí)數(shù)時(shí)， (1)z∈R. (2)z為虛數(shù). (3)z為純虛數(shù). 【解析】(1)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為0，所以 由②，得x=4，經(jīng)驗(yàn)證滿足①③式. 所以當(dāng)x=4時(shí)，z∈R. (2)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不等于0， 所以 解得即<x<4或x>4時(shí)，z為虛數(shù). (3)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是其實(shí)部為0且虛部不為0， 所以得 無解.所以復(fù)數(shù)z不可能是純虛數(shù). 素養(yǎng)二　直觀想象 角度　復(fù)數(shù)的幾何意義 【典例2】(1)若復(fù)數(shù)(a+i)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，則實(shí)數(shù)a的值是(　　) A.-1 B.1 C.- D. (2)復(fù)數(shù)z=(m∈R，i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】(1)選A.因?yàn)?a+i)2=a2-1+2ai， 又復(fù)數(shù)(a+i)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上， 所以即a=-1. (2)選A.z== =[(m-4)-2(m+1)i]，其實(shí)部為(m-4)，虛部為-(m+1)，由得 此時(shí)無解.故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限. 【類題·通】 在復(fù)平面內(nèi)確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的步驟 (1)由復(fù)數(shù)確定有序?qū)崝?shù)對(duì)，即z=a+bi(a，b∈R)確定有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b). (2)由有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)確定復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b). 【加練·固】 1.若復(fù)數(shù)(-6+k2)-(k2-4)i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________.  【解析】由已知得，所以4<k2<6. 所以-<k<-2或2<k<. 答案：(-，-2)∪(2，) 2.已知復(fù)數(shù)z1=2+3i，z2=a+bi，z3=1-4i，它們?cè)趶?fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.若=2+，則a=______________，b=______________.  【解析】因?yàn)?2+， 所以1-4i=2(2+3i)+(a+bi)， 即 所以 答案：-3　-10 素養(yǎng)三　數(shù)學(xué)運(yùn)算 角度　復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 【典例3】(2019·天津高考)i是虛數(shù)單位，則的值為________.  【解析】==|2-3i|=. 答案： 【類題·通】 進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算的策略 (1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算的基本思路就是應(yīng)用運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算. ①?gòu)?fù)數(shù)的加減運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)中的多項(xiàng)式加減運(yùn)算(合并同類項(xiàng))； ②復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算是復(fù)數(shù)運(yùn)算的難點(diǎn)，在乘法運(yùn)算中要注意i的冪的性質(zhì)，區(qū)分(a+bi)2=a2+2abi-b2與(a+b)2=a2+2ab+b2；在除法運(yùn)算中，關(guān)鍵是“分母實(shí)數(shù)化”(分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù))，此時(shí)要注意區(qū)分(a+bi)(a-bi)=a2+b2與(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)利用復(fù)數(shù)相等，可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題的實(shí)數(shù)化. 【加練·固】 1.若z=1+2i，則= (　　) A.1 B.-1 C.i D.-i 【解析】選C.因?yàn)閦=1+2i，則=1-2i， 所以z·=(1+2i)(1-2i)=5， 則==i. 2.已知復(fù)數(shù)z滿足|3+4i|+z=1+3i. (1)求. (2)求的值. 【解析】(1)因?yàn)閨3+4i|=5， 所以z=1+3i-5=-4+3i，所以=-4-3i. (2)===2. - 6 -