課后作業(yè)(七) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．已知命題“若p，則q”，假設(shè)其逆命題為真，則p是q的(　　) A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　逆命題“若q，則p”為真命題，則p是q的必要條件． [答案]　B 2．設(shè)x∈R，則“x>”是“2x2＋x－1>0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，解得x>或x<－1，所以由x>可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>，所以“x>”是“2x2＋x－1>0”的充分而不必要條件． [答案]　A 3．函數(shù)y＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是(　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 [解析]　函數(shù)y＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是－＝1，即m＝－2，故選A. [答案]　A 4．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分條件． [答案]　B 5．若x，y∈R，則“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　因?yàn)槿魓，y∈R，x≤1，y≤1，則x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，則可得x≤1且y≤1，所以必要性成立． [答案]　B 二、填空題 6．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________條件．(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選一個(gè)合適的填空) [答案]　充要 7．如果不等式x≤m成立的充分不必要條件是1≤x≤2，則m的最小值為________． [解析]　由題意可知：1≤x≤2?x≤m，反之不成立，所以m≥2，即m的最小值為2. [答案]　2 8．下列命題中是真命題的是________(填序號)． ①x>2且y>3是x＋y>5的充要條件； ②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要條件； ③b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集為R的充要條件； ④三角形的三邊滿足勾股定理的充要條件是此三角形為直角三角形． [解析]?、僖?yàn)橛蓌>2且y>3?x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要條件．②因?yàn)橛蓌>1?|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以x>1是|x|>0的充分不必要條件．③因?yàn)橛蒪2－4ac<0不能推出ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集為R(a>0時(shí)解集為?)，而由ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集為R?b2－4ac<0，所以b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集為R的必要不充分條件．④由三角形的三邊滿足勾股定理?此三角形為直角三角形，由三角形為直角三角形?該三角形的三邊滿足勾股定理，故②④是真命題． [答案]?、冖? 三、解答題 9．已知p：0<m<；q：方程mx2－2x＋3＝0有兩個(gè)同號且不相等的實(shí)數(shù)根，那么p是q的什么條件？ [解]　設(shè)x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的兩個(gè)根， 則方程mx2－2x＋3＝0有兩個(gè)同號且不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于 因此，p是q的充要條件． 10．求方程x2＋kx＋1＝0與x2＋x＋k＝0有一個(gè)公共實(shí)根的充要條件． [解]　? ?? 所以兩方程有一公共實(shí)根的充要條件為k＝－2. 綜合運(yùn)用 11．“a>b”是“a>|b|”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既是充分條件，也是必要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　若a>b，不如令a＝1，b＝－2，則a>|b|不成立，所以充分性不成立，若a>|b|，則有a>b，所以“a>b”是“a>|b|”的必要不充分條件． [答案]　B 12．設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么(　　) A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件 B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件 C．丙是甲的充要條件 D．丙既不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件 [解析]　因?yàn)榧资且业谋匾獥l件，所以乙?甲．又因?yàn)楸且业某浞謼l件，但不是乙的必要條件，所以丙?乙，但乙丙，如圖．綜上，有丙?甲，但甲丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件． [答案]　A 13．“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)． [解析]　|x－1|<2?－1<x<3，x(x－3)<0?0<x<3，{x|0<x<3}{x|－1<x<3}，由此可知“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分條件． [答案]　必要不充分 14．設(shè)p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要條件， ∴，解得0≤a≤. [答案]　 15．設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是A＝90°. [證明]?、俦匾裕涸O(shè)方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根x0， 則x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0， 兩式相減，可得x0＝， 將此式代入x＋2ax0＋b2＝0整理得b2＋c2＝a2， 故A＝90°. ②充分性：∵A＝90°，∴b2＋c2＝a2，∴b2＝a2－c2. 將此式代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0， 即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0， 將b2＝a2－c2代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0， 故兩方程有公共根x＝－(a＋c)． ∴方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是A＝90°. 5