課時素養(yǎng)評價 二十三 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積 (25分鐘·50分) 一、選擇題(每小題4分，共16分) 1.若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為 (　　) A.1∶2 B.1∶ C.1∶ D.∶2 【解析】選C.設圓錐的高為a，則底面半徑為， 則S底=π·=，S側(cè)=π··=πa2，所以=. 【加練·固】 　　 圓柱的一個底面積是S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是 (　　) A.4πS　　 B.2πS　　 C.πS　　 D.πS 【解析】選A.底面半徑是，所以正方形的邊長是2π=2，故圓柱的側(cè)面積是(2)2=4πS. 2.圓臺上、下底面面積分別是π、4π，側(cè)面積是6π，這個圓臺的體積是 (　　) A.π B.2π C.π D.π 【解析】選D.S1=π，S2=4π，所以r=1，R=2， S側(cè)=6π=π(r+R)l，所以l=2，所以h=. 所以V=π×(1+4+2)×=π. 3.設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是 (　　) A.π B. C.4π D.32π 【解析】選C.設正方體棱長為a，由題意可知，6a2=24，所以a=2.設正方體外接球的半徑為R，則a=2R，所以R=，所以V球=πR3=4π. 4.《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依恒內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有 (　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【解析】選B.由l=×2πr=8得圓錐底面的半徑r=≈，所以米堆的體積V=×πr2h=××5=(立方尺)，所以堆放的米有÷1.62≈22(斛). 二、填空題(每小題4分，共8分) 5.若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°，半徑為4的扇形，則這個圓錐的表面積是________.  【解析】設圓錐的底面半徑為r，則2πr=4π，所以r=2，所以圓錐的表面積為S=πr2+π×42=4π+π×16=12π. 答案：12π 6.兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是________.  【解析】設大球的半徑為R，則有πR3=2×π×13，R3=2，所以R=. 答案： 三、解答題(共26分) 7.(12分)如圖所示，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積. 【解析】過C點作CD⊥AB于點D.如圖所示，△ABC以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個底面重合的圓錐，這兩個圓錐的高的和為AB=5， 底面半徑DC==， 故S表=π·DC·(BC+AC)=π. 8.(14分)一個高為16的圓錐內(nèi)接于一個體積為972π的球，在圓錐里又有一個內(nèi)切球.求： (1)圓錐的側(cè)面積. (2)圓錐內(nèi)切球的體積. 【解析】(1)如圖所示，作出軸截面，則等腰△SAB內(nèi)接于☉O， 而☉O1內(nèi)切于△SAB. 設☉O的半徑為R，則有πR3=972π， 所以R3=729，R=9.所以SE=2R=18. 因為SD=16，所以ED=2. 連接AE，又因為SE是直徑，所以SA⊥AE，SA2=SD·SE=16×18=288，所以SA=12. 因為AB⊥SD， 所以AD2=SD·DE=16×2=32， 所以AD=4. 所以S圓錐側(cè)=π×4×12=96π. (2)設內(nèi)切球O1的半徑為r， 因為△SAB的周長為2×(12+4)=32， 所以r×32=×8×16.所以r=4. 所以內(nèi)切球O1的體積V球=πr3=π. (15分鐘·30分) 1.(4分)等邊圓柱(軸截面是正方形)、球、正方體的體積相等，它們的表面積的大小關系是 (　　) A.S球<S圓柱<S正方體 B.S正方體<S球<S圓柱 C.S圓柱<S球<S正方體 D.S球<S正方體<S圓柱 【解析】選A.設等邊圓柱底面圓半徑為r，球半徑為R，正方體棱長為a， 則πr2·2r=πR3=a3，=，=2π， S圓柱=6πr2，S球=4πR2，S正方體=6a2， ==·=<1， ==·=>1. 2.(4分)圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為 (　　) A.81π B.100π C.168π D.169π 【解析】選C.圓臺的軸截面如圖所示，設上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長為l===5r=10，所以r=2，R=8.故S側(cè)=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π， S表=S側(cè)+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π. 3.(4分)湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6 cm，深為1 cm的空穴，則該球半徑是________cm，表面積是________cm2.   【解析】設球心為O，OC是與冰面垂直的一條球半徑，冰面截球得到的小圓圓心為D，AB為小圓D的一條直徑，設球的半徑為R，則OD=R-1， 則(R-1)2+32=R2，解得R=5 cm， 所以該球表面積為S=4πR2=4π×52 =100π(cm2). 答案：5　100π 4.(4分)如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為________.   【解析】用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖， 則圓柱的體積為π×22×5=20π，故所求幾何體的體積為10π. 答案：10π 【加練·固】 　　 如圖所示的幾何體是一棱長為4的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖一個直徑為2、深為1的圓柱形的洞，則挖洞后幾何體的表面積是________.  【解析】正方體的表面積為4×4×6=96， 圓柱的側(cè)面積為2π×1=2π， 則挖洞后幾何體的表面積約為96+2π. 答案：96+2π 5.(14分)軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)有一個內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為2，求球的體積. 【解析】如圖所示，作出軸截面， 因為△ABC是正三角形，所以CD=AC=2， 所以AC=4，AD=×4=2， 因為Rt△AOE∽Rt△ACD，所以=. 設OE=R，則AO=2-R， 所以=，所以R=. 所以V球=πR3=π·=. 所以球的體積等于. 1.若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r、R，則球的表面積為 (　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R+r)2 【解析】選C.如圖，設球的半徑為r1， 則在Rt△CDE中，DE=2r1，CE=R-r， DC=R+r.由勾股定理得4=(R+r)2-(R-r)2，解得r1=. 故球的表面積為S球=4π=4πRr. 2.一個圓錐的底面半徑為2 cm，高為6 cm，在其內(nèi)部有一個高為x cm的內(nèi)接圓柱. (1)求圓錐的側(cè)面積. (2)當x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？并求出側(cè)面積的最大值. 【解析】(1)圓錐的母線長為=2(cm)， 所以圓錐的側(cè)面積S1=π×2×2=4π(cm2). (2)畫出圓錐的軸截面如圖所示： 設圓柱的底面半徑為r cm，由題意，知=， 所以r=，所以圓柱的側(cè)面積S2=2πrx =(-x2+6x)=-[(x-3)2-9]，所以當x=3時，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最大值為6π cm2. - 9 -