第二課 考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　邏輯推理 角度　不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用 【典例1】如果a,b,c滿足c<b<a且ac<0,則下列選項(xiàng)中不一定成立的是(　　) A.ab>ac　　　　　　 B.c(b-a)>0 C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0 【解析】選C.c<b<a,ac<0?a>0,c<0. 對(duì)于A:?ab>ac,A正確. 對(duì)于B:?c(b-a)>0,B正確; 對(duì)于C:?cb2≤ab2,即C不一定成立. 對(duì)于D:ac<0,a-c>0?ac(a-c)<0,D正確. 【類題·通】 不等式的性質(zhì)是進(jìn)行不等關(guān)系的推理運(yùn)算的理論基礎(chǔ),應(yīng)注意準(zhǔn)確應(yīng)用,保證每一步的推理都有根據(jù).要熟練掌握不等式性質(zhì)應(yīng)用的條件,以防推理出錯(cuò). 素養(yǎng)二　直觀想象 角度　解一元二次不等式 【典例2】在R上定義運(yùn)算:=ad-bc.若不等式≥1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為 (　　) A.-　　　B.-　　　C.　　　D. 【解析】選D.原不等式等價(jià)于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)對(duì)任意x恒成立,x2-x-1=-≥-,所以-≥a2-a-2,-≤a≤. 【類題·通】 解一元二次不等式要緊密聯(lián)系二次函數(shù)與一元二次方程的知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,使解題更加直觀. 【加練·固】 　　對(duì)于x∈R,不等式x2-2x+3-m≥0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】不妨設(shè)f(x)=x2-2x+3-m,其圖象是開(kāi)口向上的拋物線,為了使f(x)≥0(x∈R)恒成立,只需對(duì)應(yīng)方程的Δ≤0,即(-2)2-4(3-m)≤0,解得m≤2,所以m∈ (-∞,2]. 素養(yǎng)三　數(shù)學(xué)運(yùn)算 角度1　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 【典例3】某水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)擬造一個(gè)平面圖為矩形且面積為160平方米的水產(chǎn)養(yǎng)殖網(wǎng)箱,為了避免混養(yǎng),箱中要安裝一些篩網(wǎng),如平面圖所示.如果網(wǎng)箱四周網(wǎng)衣(圖中實(shí)線部分)建造單價(jià)為每米112元,篩網(wǎng)(圖中虛線部分)的建造單價(jià)為每米96元,網(wǎng)箱底面建造單價(jià)為每平方米100元,網(wǎng)衣及篩網(wǎng)的厚度忽略不計(jì). (1)把建造網(wǎng)箱的總造價(jià)y(元)表示為網(wǎng)箱的長(zhǎng)x(如圖所示,單位為米)的函數(shù),并求出最低造價(jià). (2)若要求網(wǎng)箱的長(zhǎng)與寬都不能超過(guò)15米.則當(dāng)網(wǎng)箱的長(zhǎng)與寬各為多少米時(shí),可使總造價(jià)最低(精確到0.01米). 【解析】(1)y=112+96+100×160=320×+16000≥26240.此時(shí),x=,即x=16時(shí),取得最小值.最小值為26240元. (2)因?yàn)樗?0≤x≤15. 設(shè)g(x)=x+, 任取x1,x2∈,且x1<x2, 則g(x1)-g(x2)=(x1-x2), 因?yàn)?0≤x1<x2≤15, 所以x1-x2<0,1-<0, 所以g(x1)>g(x2), 所以g(x)在上是單調(diào)遞減的. 所以當(dāng)x=15時(shí),g(x)有最小值. 故當(dāng)網(wǎng)箱長(zhǎng)為15米,寬約為10.67米時(shí)可使總造價(jià)最低. 【類題·通】 解決基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵在于弄清問(wèn)題的各種數(shù)量關(guān)系,抽象出數(shù)學(xué)模型,解題時(shí),既要注意條件是否具備,還要注意有關(guān)量的實(shí)際含義. 【加練·固】 　　某汽車運(yùn)輸公司剛買了一批豪華大客車投入運(yùn)營(yíng),據(jù)市場(chǎng)分析,每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位:10萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖所示),若要使其營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大,則每輛客車需營(yíng)運(yùn) (　　) A.3年　　　B.4年　　　C.5年　　　D.6年 【解析】選C.設(shè)二次函數(shù)為y=a(x-6)2+11.又圖象過(guò)點(diǎn)(4,7),代入得7=a(4-6)2+ 11,解得a=-1,所以y=-x2+12x-25.設(shè)年平均利潤(rùn)為m,則m==-x-+12≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=5時(shí)取等號(hào). 角度2　一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用 【典例4】某商品的成本價(jià)80元/件,售價(jià)100元/件,每天售出100件,若售價(jià)降低x成(1成=10%),售出商品的數(shù)量就增加x成,要求售價(jià)不能低于成本價(jià). (1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y,試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),并寫出定義域. (2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少10260元,求x的取值范圍. 【解析】(1)依題意y=100·100. 又售價(jià)不能低于成本價(jià), 所以100-80≥0,解得x≤2, 所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x)(0≤x≤2). (2)20(10-x)(50+8x)≥10260, 化簡(jiǎn)得:8x2-30x+13≤0,解得≤x≤. 又x∈[0,2], 所以x的取值范圍為. 【類題·通】 解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型,即分析題目中有哪些未知量,然后選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量,設(shè)此未知量為x,用x來(lái)表示其他未知量,再根據(jù)題目中的不等關(guān)系,來(lái)列不等式. 【加練·固】 　　某物流公司購(gòu)買了一塊長(zhǎng)AM=30米,寬AN=20米的矩形地塊(如圖),計(jì)劃把矩形ABCD建設(shè)為倉(cāng)庫(kù),其余地方為道路和停車場(chǎng),要求頂點(diǎn)C在地塊對(duì)角線MN上,B,D分別在邊AM,AN上,假設(shè)AB的長(zhǎng)度為x米. (1)求矩形ABCD的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式. (2)要使倉(cāng)庫(kù)占地ABCD的面積不少于144平方米,則AB的長(zhǎng)度應(yīng)在什么范圍內(nèi)? 【解析】(1)根據(jù)題意,得△NDC與△NAM相似, 所以=, 即=,解得AD=20-x. 所以矩形ABCD的面積S關(guān)于x的函數(shù)為S=20x-x2(0<x<30). (2)要使倉(cāng)庫(kù)占地ABCD的面積不少于144平方米,即20x-x2≥144,化簡(jiǎn)得x2-30x +216≤0, 解得12≤x≤18,所以AB的長(zhǎng)度取值范圍為[12,18]. 5