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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)9 不等式的應(yīng)用 北師大版選修4-5

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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)9 不等式的應(yīng)用 北師大版選修4-5

課時(shí)作業(yè)(九) 1.“|x-1|<2”是“x<3”的(  ) A.充分不必要條件     B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 解析 因?yàn)閨x-1|<2,所以-1<x<3,而-1<x<3?x<3.x<3?/?。?<x<3.故選A. 2.若1<a<3,-4<b<2,那么a-|b|的取值范圍是(  ) A.(-1,3) B.(-3,6) C.(-3,3) D.(1,4) 答案 C 解析 因?yàn)椋?<b<2,所以0≤|b|<4,-4<-|b|≤0,又因?yàn)?<a<3,所以-3<a-|b|<3.故選C. 3.不等式loga(x2-2x+3)≤-1在x∈R上恒成立時(shí),a的取值范圍是(  ) A.[2,+∞) B.(1,2] C.[,1) D.(0,] 答案 C 解析 設(shè)y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2.故0<≤.因?yàn)閘oga(x2-2x+3)≤-1,所以logay≤-1. 當(dāng)0<a<1時(shí),y≥,即a≥.所以a≥, 當(dāng)a>1時(shí),y≤,所以a≤≤,此時(shí)無(wú)解, 綜上可得≤a<1,故選C. 4.對(duì)于使-x2+2x≤M成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最小值1叫做-x2+2x的上確界,若a,b∈(0,+∞),且a+b=1,則--的上確界為(  ) A. B.- C. D.-4 答案 B 解析?。剑?+)(a+b) =-(+++2)≤-(+2)=- 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立. 由 解得a=,b=, 所以當(dāng)a=,b=時(shí),--有最大值-. 所以--≤-,故選B. 5.某公司租建倉(cāng)庫(kù),每月土地占有費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比,而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比,如果在距離車站10 km處建倉(cāng)庫(kù),這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元,那么,要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站________km處. 答案 5 解析 設(shè)倉(cāng)庫(kù)與車站的距離為x km, 則y1=,y2=k2x(k1,k2不為0), 則k1=20,k2=0.8, 所以y1=,y2=0.8x, 所以費(fèi)用之和y=y(tǒng)1+y2=0.8x+≥2=8(萬(wàn)元), 當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=,即x=5時(shí)等號(hào)成立. 6.設(shè)x,y均為正數(shù),且+=,則xy的最小值為_(kāi)_______. 答案 16 7.制造一個(gè)容器為立方米的無(wú)蓋圓柱形桶,用來(lái)做底面的金屬板的價(jià)格為每平方米30元,做側(cè)面的金屬板的價(jià)格為每平方米20元,當(dāng)圓柱形桶的底面半徑為_(kāi)_______米,高為_(kāi)_______米時(shí),所使用的材料成本最低. 答案   解析 設(shè)此圓柱形桶的底面半徑為r米,高為h米,則底面面積為πr2,側(cè)面積為2πrh, 設(shè)原料成本為y元,則y=30πr2+40πrh 因?yàn)橥暗娜莘e為, 所以πr2h=.所以rh=, 所以y=30πr2+π=10π(3r2++)≥10π×3 當(dāng)且僅當(dāng)3r2=,即r=時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)h=. 8.已知矩形的面積為4,則當(dāng)矩形周長(zhǎng)最小時(shí),矩形的邊長(zhǎng)a和b分別為_(kāi)_______. 答案 2,2 解析 由題意可知a>0,b>0,ab=4,∴a+b≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí),周長(zhǎng)2(a+b)取最小值. 9.某產(chǎn)品的總成本c(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間滿足關(guān)系:c=300+20x-x2,其中0<x<240,若每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)25萬(wàn)元,則生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量為_(kāi)_______臺(tái). 答案 15 解析 由題意可知300+20x-x2≤25x,解得x≥15或x≤-20(舍去). 10.周長(zhǎng)為20 cm的矩形,繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱,則圓柱側(cè)面積的最大值為_(kāi)_______. 答案 50π cm2 解析 設(shè)矩形的長(zhǎng)為x,則寬為10-x,如圖所示, 則圓柱的側(cè)面積S=2πx·(10-x)(0<x<10),∵x>0,10-x>0,∴S=2πx·(10-x)≤2π·()2=2π×25=50π cm2,當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,即x=5時(shí)取等號(hào). 11.某車間靠墻壁要蓋一間長(zhǎng)方形小屋,現(xiàn)有存磚只夠砌20 m長(zhǎng)的墻壁,問(wèn)應(yīng)圍成長(zhǎng)為_(kāi)_______ m,寬為_(kāi)_______ m的長(zhǎng)方形才能使小屋面積最大. 答案 10 5 解析 設(shè)長(zhǎng)為x m,y m,x+2y=20,y=10-,∴S=x·y=x(10-),0<x<20,∴S=x(20-x)≤·()2=50,當(dāng)且僅當(dāng)x=20-x,即x=10,y=5時(shí),S有最大值50. 12.一個(gè)直角三角形的面積為4,則斜邊的最小值為_(kāi)_______. 答案 4 解析 設(shè)直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,由題意知:S=ab=4,∴ab=8,∴c2=a2+b2≥2ab=2×8=16,當(dāng)且僅當(dāng)即a=b=2時(shí)取等號(hào),∴斜邊的最小值為4. 13.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池,其容積為4 800立方米,深為3米,如果池底每1平方米的造價(jià)為150元,池壁每1平方米的造價(jià)為120元,當(dāng)設(shè)計(jì)成底面一邊長(zhǎng)為_(kāi)_______米時(shí)水池的總造價(jià)最低. 答案 40 解析 設(shè)水池底面一邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度為x米,水池的總造價(jià)為l元,則由題意可知水池底面的另一邊的長(zhǎng)度為=(米).∴池壁的造價(jià)為2×(3×)×120+2×(3x)×120=720(x+),池底的造價(jià)為×150=240 000,故l=240 000+720(x+)≥240 000+720×2=240 000+720×2×40=297 600,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=40時(shí),l有最小值297 600. 14.物體以v0 m/s的初速度豎直向上運(yùn)動(dòng),t s后的高度h(單位:m)滿足h=v0t-4.9t2,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物體的速度v(單位:m/s)滿足v=v0-9.8t.現(xiàn)以75 m/s的速度向上發(fā)射一發(fā)子彈,則子彈保持在100 m以上高度的時(shí)間為_(kāi)_______;在此過(guò)程中,子彈速度大小的取值范圍是________. 答案 12.35 s [0,60.496) 解析 由題意有75t-4.9t2>100,解得<t<,即1.48<t<13.83,所以子彈保持在100 m以上高度的時(shí)間t=13.83-1.48=12.35(s),且當(dāng)t=1.48 s時(shí),v=v0-9.8t=75-9.8×1.48=60.496(m/s).故子彈保持在100 m以上高度的時(shí)間有12.35 s,在此過(guò)程中,子彈速度大小的取值范圍是[0,60.496). 15.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式f(x)≤6的解集; (2)若關(guān)于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析 (1)不等式f(x)≤6即|2x+1|+|2x-3|≤6, 該不等式等價(jià)于 ①或②或③ 解①得-1≤x<-, 解②得-≤x≤, 解③得<x≤2. 故不等式的解集為{x|-1≤x≤2}. (2)f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4, 即f(x)的最小值等于4, 所以|a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3)∪(5,+∞). 16.穩(wěn)定房?jī)r(jià),某地政府決定建造一批保障房供給社會(huì),計(jì)劃用1 600萬(wàn)元購(gòu)得一塊土地,在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū),每幢樓的樓層數(shù)相同,且每層建筑面積均為1 000平方米,每平方米的建筑費(fèi)用與樓層有關(guān),第x層樓房每平方米的建筑費(fèi)用為(kx+800)元(其中k為常數(shù)).經(jīng)測(cè)算,若每幢樓為5層,則該小區(qū)每平方米的平均綜合費(fèi)用為1 270元. (每平方米平均綜合費(fèi)用=) (1)求k的值; (2)問(wèn)要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,應(yīng)將這10幢樓房建成多少層?此時(shí)每平方米的平均綜合費(fèi)用為多少元? 解析 (1)如果每幢樓為5層, 那么總的建筑面積為[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1 000×10, 1 270={16 000 000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1 000×10}÷(10×1 000×5),解得k=50. (2)設(shè)小區(qū)樓房每幢為n(n∈N*)層時(shí), 每平方米平均綜合費(fèi)用為f(n)元,由題設(shè)可和衣而臥 f(n)={16 000 000+[(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)]×1 000×10}÷(10×1 000×n)=+25n+825≥2+825=1 225. 當(dāng)且僅當(dāng)=25n,即n=8時(shí)等號(hào)成立. 故該小區(qū)樓房每幢建8層時(shí),每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,為1 225元. 1.某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運(yùn)輸貨物,運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)用和其他費(fèi)用組成,已知該貨輪每小時(shí)的燃料費(fèi)用與其航行速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.5),其他費(fèi)用為每小時(shí)800元,且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時(shí),要使從甲地到乙地的運(yùn)輸成本最少,該貨輪應(yīng)以________海時(shí)/小時(shí)的航行速度行駛. 答案 40 解析 設(shè)航行速度為x海里/小時(shí),每小時(shí)的燃料費(fèi)用為0.5x2(0<x≤50).從甲地到乙地所用的時(shí)間為小時(shí),則從甲到乙地的運(yùn)輸成本y=0.5x2·+800·(0<x≤50),故所求的函數(shù)為y=0.5x2·+800·=150(x+)(0<x≤50).y=150(x+)≥150×2=12 000,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=40時(shí)取等號(hào).故當(dāng)貨輪航行速度為40海里/小時(shí)時(shí),能使該貨輪運(yùn)輸成本最少. 2.統(tǒng)計(jì)表明,某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為:y=x3-x+8(0<x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米.當(dāng)汽車以________千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油量最少,為_(kāi)_______升. 答案 80 11.25 解析 當(dāng)速度為x千米/小時(shí)(0<x≤120)時(shí),汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí),設(shè)耗油量為h(x)升,依題意得h(x)=(x3-x+8)·=x2+-=x2++-≥3-=15-=11.25,當(dāng)且僅當(dāng)x2=,即當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升. 3.某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長(zhǎng)為x,y(單位:米)的矩形,上部是斜邊長(zhǎng)為x的等腰直角三角形,要求框架圍成的總面積為8平方米.則x=________米,y=________米時(shí)用料最?。? 答案 8-4 2 解析 由題意得xy+x·=8(x>0,y>0),∴y=-,∵y=->0,∴0<x<4,即y=-(0<x<4). 設(shè)框架用料長(zhǎng)度為l,則l=2x+2y+x=(+)x+≥4=8+4.當(dāng)且僅當(dāng)(+)x=,即x=8-4,y=2時(shí)取等號(hào).∵0<x<4,∴當(dāng)x=(8-4)米,y=2米時(shí),用料最少. 4.某小區(qū)要建一座八邊形的休閑區(qū),它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200 m2的十字形地域,計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇,造價(jià)為每平方米4 200元,在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價(jià)為每平方米210米,再在四個(gè)角上鋪草坪,造價(jià)為每平方米80元. (1)設(shè)總造價(jià)為S元,AD長(zhǎng)為x米,試建立S關(guān)于x的關(guān)系式; (2)當(dāng)x為何值時(shí),S最???并求出這個(gè)最小值. 解析 (1)設(shè)DQ=y(tǒng)米,則x2+4xy=200,∴y=, ∴S=4 200x2+210×4xy+80×2y2=38 000+4 000x2+. (2)∵x>0,∴S≥38 000+2=118 000,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí), Smin=118 000元. 5.某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新能源產(chǎn)品,估計(jì)能獲得10萬(wàn)元~1 000萬(wàn)元的投資收益.現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案:資金y(單位:萬(wàn)元)隨投資收益x(單位:萬(wàn)元)的增加而增加,且資金不超過(guò)9萬(wàn)元,同時(shí)資金不超過(guò)投資收益的20%. (1)若建立函數(shù)f(x)模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案,試用數(shù)字語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)f(x)模型的基本要求; (2)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型:①f(x)=+2;②f(x)=4lgx-3.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求? 解析 (1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f(x),則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是: 當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí),①f(x)是增函數(shù);②f(x)≤恒成立;③f(x)≤9恒成立. (2)①對(duì)于函數(shù)模型f(x)=+2: 當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(1 000)=+2=+2<9. 所以f(x)≤9恒成立. 因?yàn)楹瘮?shù)=+在[10,1 000]上是減函數(shù), 所以[]max=+>.從而=+≤,即f(x)≤不恒成立. 故該函數(shù)模型不符合公司要求. ②對(duì)于函數(shù)模型f(x)=4lgx-3: 當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(1 000)=4lg1 000-3=9. 所以f(x)≤9恒成立. 設(shè)g(x)=4lgx-3-,則g′(x)=-. 當(dāng)x≥10時(shí),g′(x)=-≤=<0,所以g(x)在[10,1 000]上是減函數(shù),從而g(x)≤g(10)=-1<0.所以4lgx-3-<0,即4lgx-3<,所以f(x)≤恒成立,故該函數(shù)模型符合公司要求. 8

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