課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià) 三十二 　對(duì)數(shù)的運(yùn)算 (25分鐘·50分) 一、選擇題(每小題4分,共16分,多項(xiàng)選擇題全選對(duì)的得4分,選對(duì)但不全的得2分,有選錯(cuò)的得0分) 1.(多選題)已知x,y為正實(shí)數(shù),則 (　　) A.2ln x+ln y=2ln x+2ln y B.2ln(x+y)=2ln x·2ln y C.2ln x·ln y=(2ln x)ln y D.2ln(xy)=2ln x·2ln y 【解析】選C、D.根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得2ln x·ln y=(2ln x)ln y, 2ln(xy)=2ln x+ln y=2ln x·2ln y, 可知C,D正確,而A,B都不正確. 2.式子-log32×log427+2 0180等于 (　　) A.0 B. C.-1 D. 【解析】選A.-log32×log427+20180 =-×+1 =-×+1=-+1=0. 3.若lg x=m,lg y=n,則lg-lg的值為 (　　) A.m-2n-2 B.m-2n-1 C.m-2n+1 D.m-2n+2 【解析】選D.因?yàn)閘g x=m,lg y=n, 所以lg-lg=lg x-2lg y+2=m-2n+2. 4.若5a=2b=1且abc≠0,則+= (　　) A.2 B.1 C.3 D.4 【解析】選A.因?yàn)?a=2b=1, 所以取常用對(duì)數(shù)得:alg5=blg2=,所以+=2lg5+2lg2=2(lg5+lg2)=2. 二、填空題(每小題4分,共8分) 5.已知a2=(a>0),則loa=________.  【解析】由a2=(a>0)得a=, 所以lo=lo=2. 答案:2 6.已知x>0,y>0,若2x·8y=16,則x+3y=________,則+log927y= ________.  【解析】根據(jù)題意,若2x·8y=16,則2x+3y=24, 則x+3y=4,則+log927y=+=(x+3y)=2. 答案:4　2 三、解答題(共26分) 7.(12分)求下列各式的值: (1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0 (2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 【解析】(1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0 =+2++1=5. (2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2 =2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2+lg 2lg 5+lg 5+(lg 2)2 =2+lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5 =2+lg 2+lg 5=3. 8.(14分)2018年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元,如果平均每年增長(zhǎng)6.7%,那么過(guò)多少年后國(guó)民生產(chǎn)總值是2018年的2倍(lg 2≈0.301 0,lg 1.067≈0.028 2,精確到1年). 【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)x年國(guó)民生產(chǎn)總值為2018年的2倍. 經(jīng)過(guò)1年,國(guó)民生產(chǎn)總值為a(1+6.7%), 經(jīng)過(guò)2年,國(guó)民生產(chǎn)總值為a(1+6.7%)2, … 經(jīng)過(guò)x年,國(guó)民生產(chǎn)總值為a(1+6.7%)x=2a, 所以1.067x=2,兩邊取常用對(duì)數(shù),得x·lg 1.067=lg 2. 所以x=≈≈11. 故約經(jīng)過(guò)11年,國(guó)民生產(chǎn)總值是2018年的2倍. (15分鐘·30分) 1.(4分)已知實(shí)數(shù)a,b滿足ab=ba,且logab=2,則ab= (　　) A. B.2 C.4 D.8 【解析】選D.因?yàn)閷?shí)數(shù)a,b滿足logab=2,故a2=b,又由ab=ba得=a2a,解得:a=2,或a=0(舍去),故b=4,ab=8. 2.(4分)某化工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場(chǎng)需求,雜質(zhì)含量不能超過(guò)0.1%,若初時(shí)含雜質(zhì)2%,每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少,要使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求,則至少應(yīng)過(guò)濾的次數(shù)為(已知lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1) (　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】選C.設(shè)需要過(guò)濾n次, 則0.02×≤0.001,即≤, 所以nlg≤lg,即n≥=≈7.4, 又n∈N,所以n≥8, 所以至少過(guò)濾8次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求. 【加練·固】某學(xué)校2016年投入130萬(wàn)元用于改造教學(xué)硬件設(shè)施,為進(jìn)一步改善教學(xué)設(shè)施,該校決定每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該校某年投入的資金開(kāi)始超過(guò)300萬(wàn)的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg3≈0.48) (　　) A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 【解析】選C.假設(shè)該校某年投入的資金開(kāi)始超過(guò)300萬(wàn)的年份是x, 則130(1+12%>300, 所以x-2016>=7.4,x>2023.4, 該校某年投入的資金開(kāi)始超過(guò)300萬(wàn)的年份是2024. 3.(4分)(lg2)2+lg5·lg20++0.02×=________.   【解析】(lg2)2+lg5·lg20+()0+0.02×=(lg2)2+lg5·(2lg2+lg5)+1+[(0.3)3×9=(lg2+lg5)2+1+×9=1+1+100=102. 答案:102 【加練·固】+log2(47×25)-πl(wèi)n=________.  【解析】+log2(47×25)-πl(wèi)n =4-π+log2219+π=4+19=23. 答案:23 4.(4分)已知函數(shù)f(x)=則f=________.   【解析】因?yàn)?+log23<4,所以f= f==· =×=. 答案: 5.(14分)已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z. 【解析】令2x=3y=5z=k(k>0), 所以x=log2k,y=log3k,z=log5k, 所以=logk2,=logk3,=logk5,由++=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1, 所以k=30,所以x=log230=1+log215, y=log330=1+log310,z=log530=1+log56. 1.已知函數(shù)f(n)=lo(n+2)(n為正整數(shù)),若存在正整數(shù)k滿足f(1)·f(2)·…·f(n)=k,那么我們將k叫做關(guān)于n的“對(duì)整數(shù)”,當(dāng)n∈[1,2016]時(shí),“對(duì)整數(shù)”的個(gè)數(shù)為 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】選C.因?yàn)閒(n)=lo(n+2), 所以k=f(1)·f(2)·…·f(n) =··…·=log2(n+2), 所以n+2=2k ,n=2k-2,又n∈,所以k∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10} 滿足要求,所以當(dāng)n∈[1,2016]時(shí),“對(duì)整數(shù)”的個(gè)數(shù)為9個(gè). 2.如果方程(lg x)2+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0的兩根是α,β,求αβ的值. 【解析】方程(lgx)2+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0可以看成關(guān)于lg x的二次方程. 因?yàn)棣?β是原方程的兩根, 所以lg α,lg β可以看成關(guān)于lg x的二次方程的兩根. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=lg, 所以lg αβ=lg α+lg β=lg , 所以αβ=. 【加練·固】已知方程x2+xlog26+log23=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α,β,則·等于 (　　) A.　　　　　　　 B.36 C.-6 D.6 【解析】選B.方程x2+xlog26+log23=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α,β, 則α+β=-log26, 則·===62=36. 7