(濰坊專版)2019中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第1部分 第三章 函數(shù) 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用課件.ppt
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第七節(jié)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考點一線段、周長問題例1(2017東營中考)如圖,直線y=-x+分別與x軸、y軸交于B,C兩點,點A在x軸上,∠ACB=90,拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A,B兩點.,(1)求A,B兩點的坐標(biāo);(2)求拋物線的解析式;(3)點M是直線BC上方拋物線上的一點,過點M作MH⊥BC于點H,作MD∥y軸交BC于點D,求△DMH周長的最大值.,【分析】(1)由直線解析式可求得B,C坐標(biāo),再利用相似三角形可求得OA,從而可求出A點坐標(biāo);(2)利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;(3)根據(jù)題意可推出當(dāng)MD取得最大值時,△DMH的周長最大,利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值.,【自主解答】(1)∵直線y=-x+分別與x軸、y軸交于B,C兩點,∴點B的坐標(biāo)為(3,0),點C的坐標(biāo)為(0,).∵∠ACO+∠BCO=90,∠ACO+∠CAO=90,∴∠CAO=∠BCO.∵∠AOC=∠COB=90,∴△AOC∽△COB,,∴∴AO=1,∴點A的坐標(biāo)為(-1,0).(2)∵拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A,B兩點,∴∴拋物線的解析式為y=,(3)由題意知,△DMH為直角三角形,且∠M=30,當(dāng)MD取得最大值時,△DMH的周長最大.,∴當(dāng)x=時,MD有最大值,∴△DMH周長的最大值為,1.如圖所示,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0,),且頂點C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截得線段AB長為6.(1)利用二次函數(shù)的對稱性直接寫出點A,B的坐標(biāo).(2)求二次函數(shù)的解析式.(3)在該拋物線的對稱軸上找一點P,使PA+PD最小,求出點P的坐標(biāo).,(4)在拋物線上是否存在點Q,使△QAB與△ABC相似?如果存在,求出點Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.,解:(1)A(1,0),B(7,0).(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)(x-7).∵過點(0,),∴代入得7a=.解得a=,∴二次函數(shù)的解析式為y=(x-1)(x-7).,(3)∵點A,B關(guān)于直線x=4對稱,∴PA=PB,PA+PD=PB+PD≥DB,∴DB與對稱軸的交點即為所求點P.如圖,設(shè)直線x=4與x軸交于點M.∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO.又∵∠PBM=∠DBO,,∴△BPM∽△BDO,∴∴PM=∴點P的坐標(biāo)為(4,).(4)存在.由(2)可得出點C的坐標(biāo)為(4,-).∵AM=3,∴在Rt△AMC中,tan∠ACM=,∴∠ACM=60.∵AC=BC,∴∠ACB=120.,①如圖所示,當(dāng)點Q在x軸上方時,過點Q作QN⊥x軸于點N.如果AB=BQ,由△ACB∽△ABQ得BQ=6,∠ABQ=∠ACB=120,則∠QBN=60,∴QN=3,BN=3,ON=10,此時點Q的坐標(biāo)為(10,3).,如果AB=AQ,由對稱性知Q的坐標(biāo)為(-2,3),經(jīng)檢驗,點(10,3)與(-2,3)都在拋物線上.②當(dāng)點Q在x軸下方時,△QAB就是△ACB,此時點Q的坐標(biāo)是(4,-).綜上所述,存在這樣的點Q,使△QAB與△ABC相似,點Q的坐標(biāo)為(10,3)或(-2,3)或(4,-).,考點二圖形面積問題例2(2017濰坊中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點A(0,3),B(-1,0),D(2,3),拋物線與x軸的另一交點為E.經(jīng)過點E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分,與拋物線交于另一點F.點P為直線l上方拋物線上一動點,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.,(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)當(dāng)t為何值時,△PFE的面積最大?并求最大值的立方根;(3)是否存在點P使△PAE為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.,【分析】(1)由A,B,D三點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式;(2)由題意知l必過平行四邊形ABCD的對稱中心,由拋物線的對稱性可求得E點坐標(biāo),從而可求得直線l的表達(dá)式,作PH⊥x軸,交直線l于點M,作FN⊥PH,則可用t表示出PM的長,從而可表示出△PEF的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值,再求其最大值的立方根即可;,(3)由題意可知有∠PAE=90或∠APE=90兩種情況,分別求得t的值即可.【自主解答】(1)將點A(0,3),B(-1,0),D(2,3)代入y=ax2+bx+c得∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3.,(2)∵直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分,∴l(xiāng)必過其對稱中心(,).由點A,D知,對稱軸為x=1,∴E(3,0),設(shè)直線l的表達(dá)式為y=kx+m,代入點(,)和(3,0)得,∴直線l的表達(dá)式為y=-x+.由解得xF=-.如圖,作PH⊥x軸,交l于點M,作FN⊥PH.點P的縱坐標(biāo)為yP=-t2+2t+3,點M的縱坐標(biāo)為yM=-t+.∴PM=y(tǒng)P-yM=-t2+2t+3+t-=-t2+t+.,則S△PFE=S△PFM+S△PEM=PMFN+PMEH=PM(FN+EH)=(-t2+t+)(3+)=∴當(dāng)t=時,△PFE的面積最大,最大值的立方根為,(3)由圖可知∠PEA≠90.①若∠P1AE=90,作P1G⊥y軸,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=45,∴∠P1AG=∠AP1G=45,∴P1G=AG,∴t=-t2+2t+3-3,即-t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去).,②若∠AP2E=90,作P2K⊥x軸,AQ⊥P2K,則△P2KE∽△AQP2,∴∴即t2-t-1=0,解得t=或t=<-(舍去),綜上可知,t=1或t=時,存在點P使△PAE為直角三角形.,2.(2018遂寧中考)如圖,已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3,且與x軸相交于A,B兩點(B點在A點右側(cè)),與y軸交于C點.(1)求拋物線的解析式和A,B兩點的坐標(biāo);(2)若點P是拋物線上B,C兩點之間的一個動點(不與B,C重合),則是否存在一點P,使△PBC的面積最大.若存在,請求出△PBC的最大面積;若不存在,試說明理由;,(3)若M是拋物線上任意一點,過點M作y軸的平行線,交直線BC于點N,當(dāng)MN=3時,求M點的坐標(biāo).,解:(1)∵拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3,∴-=3,解得a=-,∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4.當(dāng)y=0時,-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=8,∴點A的坐標(biāo)為(-2,0),點B的坐標(biāo)為(8,0).,(2)當(dāng)x=0時,y=-x2+x+4=4,∴點C的坐標(biāo)為(0,4).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0).將B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b得∴直線BC的解析式為y=-x+4.,假設(shè)存在,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,-x2+x+4).如圖,過點P作PD∥y軸,交直線BC于點D,則點D的坐標(biāo)為(x,-x+4),∴PD=-x2+x+4-(-x+4)=-x2+2x,,∴S△PBC=PDOB=8(-x2+2x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.∵-1<0,∴當(dāng)x=4時,△PBC的面積最大,最大面積是16.∵0<x<8,∴存在點P,使△PBC的面積最大,最大面積是16.,(3)設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,-m2+m+4),則點N的坐標(biāo)為(m,-m+4),∴MN=|-m2+m+4-(-m+4)|=|-m2+2m|.又∵M(jìn)N=3,∴|-m2+2m|=3.當(dāng)0<m<8時,有-m2+2m-3=0,解得m1=2,m2=6,,∴點M的坐標(biāo)為(2,6)或(6,4).當(dāng)m<0或m>8時,有-m2+2m+3=0,解得m3=4-2,m4=4+2,∴點M的坐標(biāo)為(4-2,-1)或(4+2,--1).綜上所述,M點的坐標(biāo)為(4-2,-1),(2,6),(6,4)或(4+2,--1).,考點三動點、存在點問題例3(2018濰坊中考)如圖1,拋物線y1=ax2-x+c與x軸交于點A和點B(1,0),與y軸交于點C(0,),拋物線y1的頂點為G,GM⊥x軸于點M.將拋物線y1平移后得到頂點為B且對稱軸為直線l的拋物線y2.(1)求拋物線y2的表達(dá)式;,(2)如圖2,在直線l上是否存在點T,使△TAC是等腰三角形?若存在,請求出所有點T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;(3)點P為拋物線y1上一動點,過點P作y軸的平行線交拋物線y2于點Q,點Q關(guān)于直線l的對稱點為R.若以P,Q,R為頂點的三角形與△AMG全等,求直線PR的表達(dá)式.,【分析】(1)應(yīng)用待定系數(shù)法求表達(dá)式;(2)設(shè)出點T坐標(biāo),表示出△TAC三邊,進(jìn)行分類討論;(3)設(shè)出點P坐標(biāo),表示出Q,R坐標(biāo)及PQ,QR,根據(jù)以P,Q,R為頂點的三角形與△AMG全等,分類討論對應(yīng)邊相等的可能性即可.【自主解答】(1)由題意知,∴拋物線y1的表達(dá)式為y1=∵拋物線y1平移后得到拋物線y2,且頂點為B(1,0),∴拋物線y2的表達(dá)式為y2=-(x-1)2,即y2=(2)拋物線y2的對稱軸l為x=1,設(shè)T(1,t).已知A(-3,0),C(0,).,如圖,過點T作TE⊥y軸于點E,則TC2=TE2+CE2=TA2=AB2+TB2=(1+3)2+t2=t2+16,AC2=.當(dāng)TC=AC時,即當(dāng)TA=AC時,得t2+16=,無解;,當(dāng)TA=TC時,得,解得t3=-.綜上可知,在拋物線y2的對稱軸l上存在點T,使△TAC是等腰三角形,此時T點的坐標(biāo)為T1(1,),T2(1,),T3(1,-).(3)設(shè)P(m,),則Q(m,).∵Q,R關(guān)于x=1對稱,,∴R(2-m,).情況一:當(dāng)點P在直線l的左側(cè)時,PQ==1-m,QR=2-2m.又∵以P,Q,R構(gòu)成的三角形與△AMG全等,當(dāng)PQ=GM且QR=AM時,m=0,可求得P(0,),即點P與點C重合,,∴R(2,-).設(shè)PR的表達(dá)式為y=kx+b,則有即PR的表達(dá)式為y=-x+.當(dāng)PQ=AM且QR=GM時,無解.,情況二:當(dāng)點P在直線l右側(cè)時,P′Q′=Q′R′=2m-2,同理可得P′(2,-),R′(0,-),P′R′的表達(dá)式為y=-x-.綜上所述,PR的表達(dá)式為y=-x+或y=-x-.,3.(2018泰安中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c交x軸于點A(-4,0),B(2,0),交y軸于點C(0,6),在y軸上有一點E(0,-2),連接AE.(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)若點D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個動點,求△ADE面積的最大值;,(3)拋物線對稱軸上是否存在點P,使△AEP為等腰三角形,若存在,請直接寫出所有P點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.,解:(1)由題意可得∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2-x+6.,(2)由A(-4,0),E(0,-2),可求得AE所在直線解析式為y=-x-2.如圖,過點D作DH與y軸平行,交AE于點F,交x軸于點G,過點E作EH⊥DF,垂足為H.,設(shè)D點坐標(biāo)為(x0,-x02-x0+6),則F點坐標(biāo)為(x0,-x0-2),則DF=-x02-x0+6-(-x0-2)=-x02-x0+8.又∵S△ADE=S△ADF+S△EDF,∴S△ADE=DFAG+DFEH=4DF,=2(-x02-x0+8)=-(x0+)2+,∴當(dāng)x0=-時,△ADE的面積取得最大值.(3)P點的坐標(biāo)為(-1,1),(-1,),(-1,-2).,考點四二次函數(shù)綜合題百變例題(2018濟(jì)寧中考)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點A(3,0),B(-1,0),C(0,-3).(1)求該拋物線的解析式;(2)若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M,求切點M的坐標(biāo);,(3)若點Q在x軸上,點P在拋物線上,是否存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.,【分析】(1)已知A,B兩點坐標(biāo),可得y=a(x-3)(x+1),再將點C坐標(biāo)代入即可解得;(2)過點A作AM⊥BC,利用全等三角形求出點N的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式,同理可求出直線BC的解析式,聯(lián)立求出M坐標(biāo)即可;(3)存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形,分兩種情況,利用平移規(guī)律確定出P的坐標(biāo)即可.,【自主解答】(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點A(3,0),B(-1,0),∴y=a(x-3)(x+1).又∵拋物線經(jīng)過點C(0,-3),∴-3=a(0-3)(0+1),解得a=1,,∴拋物線的解析式為y=(x-3)(x+1),即y=x2-2x-3.(2)如圖,過點A作AM⊥BC,垂足為點M,AM交y軸于點N,∴∠BAM+∠ABM=90.在Rt△BCO中,∠BCO+∠ABM=90,∴∠BAM=∠BCO.,∵A(3,0),B(-1,0),C(0,-3),∴AO=CO=3,OB=1.又∵∠BAM=∠BCO,∠BOC=∠AON=90,∴△AON≌△COB,∴ON=OB=1,∴N(0,-1).,設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y=kx+b,把A(3,0),N(0,-1)代入得解得∴直線AM的函數(shù)解析式為y=x-1.同理可求直線BC的函數(shù)解析式為y=-3x-3.,解方程組∴切點M的坐標(biāo)為(-,-).(3)存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形.設(shè)Q(t,0),P(m,m2-2m-3).分兩種情況考慮:,當(dāng)四邊形BCQP為平行四邊形時,由B(-1,0),C(0,-3),根據(jù)平移規(guī)律得-1-m=0-t,0-(m2-2m-3)=-3-0,解得m=1.當(dāng)m=1+時,m2-2m-3=8+2-2-2-3=3,即P(1+,3);,當(dāng)m=1-時,m2-2m-3=8-2-2+2-3=3,即P(1-,3).當(dāng)四邊形BCPQ為平行四邊形時,由B(-1,0),C(0,-3),根據(jù)平移規(guī)律得-1-t=0-m,0-0=-3-(m2-2m-3),解得m=0或2.,當(dāng)m=0時,P(0,-3)(舍去);當(dāng)m=2時,P(2,-3).綜上所述,存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形,點P的坐標(biāo)為(1+,3)或(1-,3)或(2,-3).,變式1:解:如圖,連接AC,AD,CD,作DL⊥x軸于點L.∵S△ACD=S梯形OCDL+S△ADL-S△AOC=(3+4)1+24-33=+-=3,S△ABC=ABOC=43=6,∴S△ACD∶S△ABC=3∶6=1∶2.,變式2:解:存在.理由如下:①如圖,當(dāng)點F在x軸下方時,作FR⊥x軸于點R.∵四邊形BCFE為平行四邊形,∴∴△ERF≌△BOC,,∴RF=OC=3,∴-3=x2-2x-3,解得x=2或x=0(與C點重合,舍去),∴F(2,-3).②如圖,當(dāng)F在x軸上方時,作FS⊥x軸于點S.∵四邊形BCEF為平行四邊形,∴,∴△EFS≌△BCO,∴FS=OC=3,∴3=x2-2x-3,解得x1=1+,x2=1-.綜上所述,F(xiàn)點為(2,-3)或(1+,3)或(1-,3).,變式3:解:設(shè)直線AC的解析式為y=kx-3,則有0=3k-3,解得k=1,故直線AC的解析式為y=x-3.已知點G的橫坐標(biāo)為m,則G(m,m-3),H(m,m2-2m-3),∴GH=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m(0- 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