《2021年中考數(shù)學專題復習題型7 幾何探究題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021年中考數(shù)學專題復習題型7 幾何探究題（37頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、題型七幾何探究題 類型1與全等三角形有關的探究1.2019江蘇泰州如圖,線段AB=8,射線BGAB,P為射線BG上一點,以AP為邊作正方形APCD,且點C,D與點B在AP兩側,連接DP,在DP上取一點E,使EAP=BAP,連接CE并延長交AB于點F(點F與點A,B不重合).(1)求證:AEPCEP;(2)判斷CF與AB的位置關系,并說明理由;(3)求AEF的周長.(1)證明:四邊形APCD為正方形,CP=AP,APD=CPD=45,又PE=PE,AEPCEP.(2)CFAB.理由:AEPCEP,EAP=ECP.EAP=BAP,BAP=ECP.ECP+CMP=90,AMF=CMP,AMF+BAP

2、=90,AFM=90,CFAB.(3)解:如圖,過點C作CNPB,垂足為點N,則四邊形BFCN是矩形,CN=BF,BN=CF.易知CPN+APB=90,PAB+APB=90,CPN=PAB.又AP=CP,B=CNP=90,PCNAPB,CN=PB,PN=AB.AEPCEP,AE=CE,CAEF=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=2AB=16.2.如圖(1),點O為線段AD上一點,過點O作COAD于點O,且CO=OD,點B為線段OC上一點,且OB=OA,點M,N分別是AC,BD的中點,連接OM,ON,MN.(1)求證:AC=BD

3、;(2)試判斷MON的形狀,并說明理由;(3)如圖(2),若AC=2,點M在DB的延長線上,求AMD的面積.(1)證明:COAD,AOC=BOD=90.OA=OB,OC=OD,AOCBOD,AC=BD.(2)MON是等腰直角三角形.理由:點M,N分別為AC,BD的中點,AOC=DOB=90,OM=MC=12AC,ON=ND=12BD,OM=ON,C=MOC,D=NOD.AOCBOD,C=D,MOC=NOD,MOC+CON=NOD+CON=90,即MON=90,MON是等腰直角三角形.(3)解:C=D,OBD+D=90,OBD=CBM,C+CBM=90,CMB=90,DMAC.易知OM=AM=D

4、N=12AC=1,MN=2,MD=2+1,SAMD=121(2+1)=2+12.3.2020福建如圖,ADE是由ABC繞點A按逆時針方向旋轉90得到的,且點B的對應點D恰好落在BC的延長線上,AD,EC相交于點P.(1)求BDE的度數(shù).(2)F是EC延長線上的點,且CDF=DAC.判斷DF和PF的數(shù)量關系,并證明;求證:EPPF=PCCF.(1)解:由旋轉的性質可知,AB=AD,BAD=90,ABCADE.在RtABD中,B=ADB=45,ADE=B=45,BDE=ADB+ADE=90.(2)DF=PF.證明:由旋轉的性質可知,AC=AE,CAE=90,在RtACE中,ACE=AEC=45.C

5、DF=CAD,ACE=ADB=45,ADB+CDF=ACE+CAD,即FDP=FPD,DF=PF.證明:如圖,過點P作PHED交DF于點H,HPF=DEP,EPPF=DHHF.DPF=ADE+DEP=45+DEP,DPF=ACE+DAC=45+DAC,DEP=DAC.又CDF=DAC,DEP=CDF,HPF=CDF.又FP=FD,F=F,HPFCDF,HF=CF,DH=PC.又EPPF=DHHF,EPPF=PCCF.4.2020山東濟寧如圖,在菱形ABCD中,AB=AC,點E,F在邊BC上,點G在邊CD上,BE=CG,AF平分EAG,點H是線段AF上一動點(與點A不重合),連接EH,GH.(1

6、)求證:AEHAGH;(2)當AB=12,BE=4時.連接DH,求DGH的周長的最小值;若點O是AC的中點,是否存在直線OH將ACE分成三角形和四邊形兩部分,其中三角形的面積與四邊形的面積比為13.若存在,請求出 AHAF 的值;若不存在,請說明理由.(1)證明:四邊形ABCD為菱形,AB=BC.又AB=AC,ABC是等邊三角形,ACD=ACB=60=B.又BE=CG,AB=AC,ABEACG,AE=AG.AF平分EAG,EAH=GAH.在AEH和AGH中,AE=AG,EAH=GAH,AH=AH,AEHAGH.(2)解:AEHAGH,EH=HG,DH+HG=DH+EH,當E,H,D三點共線時,

7、DH+HG的值最小,即此時DGH的周長最小.如圖(1),連接ED,過點D作DMBC,交BC的延長線于點M.圖(1)由(1)得,BCD=ACB+ACD=120,DCM=60,CDM=30,CM=12CD=6,DM=CD2-CM2=63.BC=AB=12,CG=BE=4,EC=DG=8,EM=EC+CM=14,DE=DM2+EM2=419,DGH的周長的最小值為419+8.存在.當OH與AE相交時,如圖(2),設交點為N,圖(2)則SAONS四邊形ONEC=13,SAONSAEC=14.又點O為AC的中點,點N是AE的中點,ONEC,AHAF=AOAC=12.當OH與EC相交時,如圖(3),設交點

8、為K,圖(3)則SKOCS四邊形OKEA=13,SKOCSAEC=14.又點O為AC的中點,點K為EC的中點,OKAE,AHAF=EKEF.BE=4,BC=AB=12,EC=8,EK=12EC=4.過點G作GPBC,交BC的延長線于點P,連接FG.BCD=120,GCP=180-120=60,CGP=30,CG=2CP.CG=BE=4,CP=2,GP=23.AE=AG,EAF=GAF,AF=AF,AEFAGF,EF=FG.設EF=FG=x,則FC=8-x,FP=10-x.在RtFGP中,根據(jù)勾股定理,得FP2+GP2=FG2,即(10-x)2+(23)2=x2,解得x=285,EF=285,A

9、HAF=EKEF=4285=57.綜上,AHAF的值為12或57. 類型2與相似三角形有關的探究5.如圖,在ABC中,AB=AC,ABAC,點E為ABC內(nèi)一點,滿足AEC=BEC=135,點D是邊BC的中點.(1)求證:AECCEB.(2)求證:DEEC.(3)若DE=1,求ABE的面積.(1)證明:AB=AC,ABAC,ACB=45,ECB+ECA=45.又ECA+EAC=180-135=45,ECB=EAC.又BEC=CEA=135,AECCEB.(2)證明:如圖,延長BE至點M,使得EM=BE,連接CM.AECCEB,BECE=BCAC=2,EMCE=2.由CEM=180-BEC=45,

10、EMCE=2,易得ECM=90.D,E分別為BC,BM的中點,DECM,DEC=ECM=90,即DEEC.(3)解:易知EBC+ECB=45,ABE+EBC=45,ABE=BCE.又AEB=360-AEC-BEC=90=DEC,AEBDEC,AEDE=BECE=ABCD=22BC12BC=2,AE=2DE=2.AECCEB,AECE=CEBE=12,BE=2CE=22AE=2AE=22,SABE=12AEBE=2.6.2020淮北一模(1)如圖(1),在RtABC中,C=90,AC=BC,AP,BP分別平分CAB,CBA,過點P作DEAB交AC于點D,交BC于點E.求證:點P是線段DE的中點;

11、求證:BP2=BEBA.(2)如圖(2),在RtABC中,C=90,AB=13,BC=12,BP平分ABC,過點P作DEAB交AC于點D,交BC于點E,若點P為線段DE的中點,求AD的長度.圖(1)圖(2)(1)證明:BP平分ABC,ABP=CBP.DEAB,ABP=EPB,CBP=EPB,BE=PE.同理可得DP=DA.DEAB,CECB=CDCA.又CA=CB,CE=CD,BE=AD,PE=PD,點P是線段DE的中點.由得ABP=EBP=EPB=12CBA.AP平分CAB,PAB=12CAB.CA=CB,CBA=CAB,ABP=EBP=EPB=PAB,ABPPBE,BABP=BPBE,BP

12、2=BEBA.(2)解:過點P作AC的平行線,交BC于點F,交AB于點G,如圖.在RtACB中,AC=132-122=5.FGAC,PDAG,PFE=C=90,四邊形AGPD是平行四邊形,PG=AD.PE=PD,PFCD,PF是ECD的中位線,EF=FC,PF=12CD.由(1)可知BE=EP.設AD=PG=x,則CD=5-x,PF=12(5-x).DEAB,CDCA=CECB,CDCE=CACB=512,CE=125CD=125(5-x),EF=65(5-x),EP=BE=BC-CE=125x.在RtEFP中,sinEPF=EFEP=65(5-x)12x5=5-x2x.又EPF=EDC,si

13、nEDC=sinBAC=1213,5-x2x=1213,x=6537,AD=6537.7.2020湖北武漢問題背景如圖(1),已知ABCADE,求證:ABDACE;嘗試應用如圖(2),在ABC和ADE中,BAC=DAE=90,ABC=ADE=30,AC與DE相交于點F.點D在BC邊上,ADBD=3,求 DFCF 的值;拓展創(chuàng)新如圖(3),點D是ABC內(nèi)一點,BAD=CBD=30,BDC=90,AB=4,AC=23,直接寫出AD的長.圖(1)圖(2)圖(3)問題背景證明:ABCADE,ABAD=ACAE,BAC=DAE,ABAC=ADAE,BAD=CAE,ABDACE.嘗試應用解:連接CE,設B

14、D=t,則AD=3BD=3t.易得ADEABC,ABAD=ACAE,ABAC=ADAE.又BAC=DAE,BAD=CAE,ACEABD,CEBD=ACAB=33,CE=33BD=33t,ADCE=3t33t=3.ADE=ABC,ABC=ACE,ACE=ADE=30.又AFD=EFC,ADFECF,DFCF=ADCE=3.拓展創(chuàng)新解:AD的長為5.解法提示:過點D作AD的垂線交AB于點M,連接CM.易證ADBMDC,ABCM=ADMD=3,DMC=DAB=30,CM=AB3=433,AMC=AMD+DMC=AMD+DAB=90,AM=AC2-CM2=2153,AD=AMcosMAD=5.8.20

15、20浙江寧波【基礎鞏固】(1)如圖(1),在ABC中,點D為AB上一點,連接CD,ACD=B.求證:AC2=ADAB.【嘗試應用】(2)如圖(2),在ABCD中,點E為BC上一點,點F為CD延長線上一點,連接BF,EF,BFE=A.若BF=4,BE=3,求AD的長.【拓展提高】(3)如圖(3),在菱形ABCD中,點E是AB上一點,點F是ABC內(nèi)一點,EFAC,AC=2EF,EDF=12BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的邊長.圖(1)圖(2)圖(3)(1)證明:ACD=B,A=A,ADCACB,ADAC=ACAB,AC2=ADAB.(2)解:四邊形ABCD是平行四邊形,AD=BC,A=

16、C.又BFE=A,BFE=C.又FBE=CBF,BFEBCF,BFBC=BEBF,BC=BF2BE=163,AD=BC=163.(3)解:如圖,分別延長EF,DC相交于點G.四邊形ABCD是菱形,ABDC,BAC=12BAD.又ACEF,四邊形AEGC為平行四邊形,AC=EG,CG=AE,EAC=G.EDF=12BAD,EDF=BAC,EDF=G.又DEF=GED,EDFEGD,DEEG=EFDE,DE2=EFEG.又EG=AC=2EF,DE2=2EF2,DE=2EF.又DGDF=DEEF=2,DG=2DF=52,DC=DG-CG=52-2,即菱形ABCD的邊長為52-2. 類型3與全等、相似

17、三角形有關的探究9.2020浙江杭州如圖,在正方形ABCD中,點E在BC邊上,連接AE,DAE的平分線與CD邊交于點G,與BC的延長線交于點F.設CEEB=(0).(1)若AB=2,=1,求線段CF的長.(2)連接EG,若EGAF,求證:點G為CD邊的中點.求的值.(1)解:因為在正方形ABCD中,ADBC,所以DAF=F.因為AG平分DAE,所以DAF=EAF,所以EAF=F,所以EA=EF.因為=1,BC=AB=2,所以BE=EC=1.在RtABE中,由勾股定理,得EA=5,所以CF=EF-EC=EA-EC=5-1.(2)證明:由(1)可知EA=EF,又因為EGAF,所以AG=GF.又因為

18、AGD=FGC,DAG=F,所以DAGCFG.所以DG=CG,所以點G為CD邊的中點.解:不妨設CD=2,則AD=2,CG=1.由得CF=AD=2.易證FGCGEC,所以ECCG=CGCF=12,所以EC=12,所以BE=32,所以=CEEB=13.10.2020安慶模擬如圖,菱形ABCD的邊長為4,E,F分別是邊AB,AD上的動點,BE=AF,BAD=120,連接CE,CF,AC與EF交于點G.(1)求證:BECAFC.(2)求證:AGE=AFC.若AF=1,求GFEG的值.(1)證明:四邊形ABCD為菱形,AB=BC,BAC=CAD=12BAD=60,ADBC,B=180-BAD=60,B

19、=CAF,ABC是等邊三角形,BC=AC.又BE=AF,BECAFC.(2)證明:由(1)知BECAFC,ABC是等邊三角形,EC=FC,BCE=ACF,BEC=AFC,ACB=60,ACF+ECG=BCE+ECG=60,ECF為等邊三角形,CEF=60,ABC=BAC=CEF=60.又AEG+CEF+BEC=180,AEG+BAC+AGE=180,AGE=BEC,AGE=AFC.解:過點E作EMBC交AC于點M,AEM=ABC=BAC=60,EMAD,AGFMGE,AEM是等邊三角形,GFEG=AFEM.BE=AF=1,AB=4,EM=AE=3,GFEG=AFEM=13.11.2020合肥二

20、模如圖,在ABC中,AGBC,垂足為點G,點E為邊AC上一點,BE=CE,點D為邊BC上一點,GD=GB,連接AD交BE于點F.(1)求證:ABE=EAF;(2)求證:AE2=EFEC;(3)若CG=2AG,AD=2AF,BC=5,求AE的長.(1)證明:EB=EC,EBC=C.AGBD,BG=GD,AB=AD,ABD=ADB.ABD=ABE+EBC,ADB=DAC+C,ABE=DAC,即ABE=EAF.(2)證明:AEF=BEA,EAF=ABE,AEFBEA,AEBE=EFAE,AE2=EFEB.EB=EC,AE2=EFEC.(3)解:如圖,設BE交AG于點J,連接DJ,DE.易知AG垂直平

21、分線段BD,JB=JD,JBD=JDG.JBD=C,JDB=C,DJAC,AEF=DJF.AD=2AF,AF=DF.又AEF=DJF,AFE=DFJ,AFEDFJ,EF=FJ,AE=DJ,四邊形AJDE是平行四邊形,DEAG.AGBC,EDBC.又EB=EC,BD=DC=12BC=52,BG=DG=54.又tanJDG=tan C=AGCG=12=JGDG,JG=58.又JGD=90,DJ=GJ2+DG2=(58)2+(54)2=558,AE=DJ=558.12.2020馬鞍山模擬如圖,在矩形ABCD中,E是邊BC上一點,連接AE,過點D作DFAE于點F.(1)如圖(1),若AE=DA,求證:

22、ABEDFA.(2)若AB=6,AD=8,且E為BC的中點.如圖(2),連接CF,求sinDCF的值;如圖(3),連接AC交DF于點M,求CMAM的值.圖(1) 圖(2) 圖(3)(1)證明:四邊形ABCD是矩形,B=90,ADBC,DAF=AEB.DFAE,AFD=B=90,又AE=DA,ABEDFA.(2)解:如圖(1),過點F作FHCD于點H,FJAD于點J.圖(1)四邊形ABCD是矩形,CD=AB=6,BC=AD=8,B=90.點E為BC的中點,BE=EC=4,AE=BE2+AB2=42+62=213.DAF=AEB,B=AFD=90,ABEDFA,ABDF=BEAF=AEAD,6DF

23、=4AF=2138,DF=241313,AF=161313.易知四邊形DHFJ是矩形,DH=FJ=AFDFAD=4813,FH=DJ=DF2-FJ2=(241313)2-(4813)2=7213,CH=CD-DH=6-4813=3013,CF=FH2+CH2=(7213)2+(3013)2=6,sinDCF=FHCF=1213.如圖(2),延長DF交CB的延長線于點K.圖(2)由可知AE=213,AF=161313,EF=AE-AF=101313.KEF=AEB,EFK=ABE=90,KEFAEB,KEAE=EFBE,KE213=1013134,KE=5,CK=KE+EC=9.ADCK,ADM

24、CKM,CMAM=CKAD=98.13.2020合肥瑤海區(qū)二模如圖,在等邊三角形ABC中,BD=CE,連接AD,BE交于點F.(1)求出AFE的度數(shù);(2)求證:ACDF=BDBF;(3)連接CF,當CFAD時,求證:BD=12CD.(1)解:ABC是等邊三角形,AB=BC,ABC=BCE=60.又BD=CE,ABDBCE,BAD=CBE,AFE=BAF+ABF=CBE+ABF=ABC=60.(2)證明:由(1)知BAD=DBF.又ADB=BDF,ABDBFD,DFBD=BFAB.AB=AC,DFBD=BFAC,即ACDF=BDBF.(3)證明:方法一:如圖,過點C作CGBE交BE的延長線于點

25、G,則CGE=90.CFAD,AFC=90.由(1)知,AFE=60,CFG=30,FCG=60,CG=12CF.又ACB=60,ECG=DCF.又EGC=DFC=90,CEGCDF,CECD=CGCF=12.又BD=CE,BD=12CD.方法二:連接DE.AFE=ACD=60,FAE=CAD,AEFADC,AEAD=AFAC,AEAF=ADAC.又DAE=CAF,AEDAFC,AED=AFC=90,DEC=90,EDC=90-60=30,CE=12CD.又BD=CE,BD=12CD.14.2020蕪湖模擬如圖(1),在ABC中,ACB=90,AC=BC,D為AB上一點,連接CD,將CD繞點C

26、順時針旋轉90至CE,連接AE.(1)求證:BCDACE;(2)如圖(2),連接ED,若CD=22,AE=1,求AB的長;(3)如圖(3),若點F為AD的中點,連接EB,CF,求證:CFEB.圖(1)圖(2)圖(3)(1)證明:由旋轉可得EC=DC,ECD=90=ACB,BCD=ACE.又AC=BC,BCDACE.(2)解:易知DEC是等腰直角三角形,DE=2CD=4.由(1)可知BD=AE=1,CAE=B=45=CAB,EAD=90,AD=DE2-AE2=42-12=15,AB=AD+BD=15+1.(3)證明:如圖,設CF與BE交于點O,過點C作CGAB于點G,則AG=12AB.ACB=9

27、0,AC=BC,CG=12AB,即CGAB=12.點F為AD的中點,FA=12AD,FG=AG-AF=12AB-12AD=12(AB-AD)=12BD.由(1)可得BD=AE,FG=12AE,即FGAE=12,CGAB=FGAE.又CGF=BAE=90,CGFBAE,FCG=ABE.FCG+CFG=90,ABE+CFG=90,BOF=90,CFEB.15.2020合肥蜀山區(qū)模擬如圖,在ABC中,ACB=90,AC=BC,CD是AB邊上的中線,點E為線段CD上一點(不與點C,D重合),連接BE,過點E作BE的垂線交AC的延長線于點F,交BC于點G,連接BF.(1)求證:CFGEBG;(2)求EF

28、B的度數(shù);(3)求DECF的值.(1)證明:ACB=90,EFBE,FCG=BEG=90.又CGF=EGB,CFGEBG.(2)解:由(1)得CFGEBG,CGEG=FGBG,CGFG=EGBG.又CGE=FGB,CGEFGB,EFB=ECG.CD是AB邊上的中線,AC=BC,ACD=BCD=45,EFB=45.(3)解:如圖,過點F作FHDC交DC的延長線于點H.由(2)知,EFB=45,EBF=45=EFB,EF=BE.易得CDAB.FEH+DEB=90,EBD+DEB=90,FEH=EBD.在FEH和EBD中,FEH=EBD,EHF=BDE=90,EF=BE,FEHEBD,FH=ED.F

29、CH=ACD=45,CHF=90,CFH=45=FCH,CH=FH.在RtCFH中,CF=2FH,CF=2DE,DECF=22.16.2020安慶模擬如圖(1),在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,且BE=DF,AE,AF分別交BD于點G,H.(1)求證:BG=DH.(2)連接FE,如圖(2),若EF=BG.求證:ADAH=AFDF;直接寫出HFAH的值.圖(1)圖(2)(1)證明:四邊形ABCD為正方形,AB=AD,ABC=ADC.又BE=DF,ABEADF,BAE=DAF.又AB=AD,ABD=ADB,ABGADH,BG=DH.(2)證明:如圖,連接GF.BC=DC,BE=D

30、F,CE=CF.又C=90,FEC=45=DBC,EFBD.又EF=BG,四邊形EBGF是平行四邊形,GFBEAD.又AD=CD,DFAD=DFCD=AGAE.EFBD,AGAE=AHAF,DFAD=AHAF,即ADAH=AFDF.5-12.解法提示:由(2)知AHAF=DFAD,ADDF=AFAH=AH+HFAH=1+HFAH,HFAH=ADDF-1.設CE=x,BE=y,則DF=GF=BE=y,DG=2y,DH=BG=EF=2x,AD=CD=x+y,GH=DG-DH=2y-2x.GFAD,GFHDAH,GFAD=GHDH,yx+y=2y-2x2x,y2-xy-x2=0,1-xy-(xy)2

31、=0,解得xy=5-12(負值不合題意,已舍去),HFAH=ADDF-1=x+yy-1=xy=5-12.17.2020滁州模擬已知,在ABC中,ABC=90.(1)如圖(1),分別過A,C兩點作經(jīng)過點B的直線的垂線,垂足分別為M,N.求證:AMBBNC.若AMBABC,求證:AC=AM+CN.(2)如圖(2),點D是CA延長線上的一點,DEEB,AE=AB,ADBCCA=335,求EBBC的值.圖(1)圖(2)(1)證明:ABC=90,ABM+CBN=90.AMBM,ABM+BAM=90,BAM=CBN.又AMB=BNC=90,AMBBNC.證明:如圖(1),過點B作BQAC于點Q.圖(1)A

32、MBABC,BAM=BAC.在BAM和BAQ中,BAM=BAQ,AMB=AQB=90,AB=AB,BAMBAQ,AQ=AM.同理可證CQ=CN,AC=AQ+CQ=AM+CN.(2)解:如圖(2),過點A作AGBE于點G,過點C作CHBE交EB的延長線于點H.圖(2)又DEEB,CHAGDE,EGGH=DAAC=35.在RtABC中,BCAC=35,ABBC=43.由(1)可知AGBBHC,AGBH=GBCH=ABBC=43.AE=AB,AGBE,EG=GB.又EGGH=35,EGBGBH=332.設EG=3a,則BG=3a,EB=6a,BH=2a.GBCH=43,3aCH=43,CH=94a,

33、由勾股定理得BC=BH2+CH2=1454a,EBBC=6a1454a=24145145.18.2020貴州遵義如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,點E為對角線AC上一動點(點E與點A,C不重合),連接DE,作EFDE交射線BA于點F,過點E作MNBC分別交CD,AB于點M,N,作射線DF交射線CA于點G.(1)求證:EF=DE;(2)當AF=2時,求GE的長.(1)證明:四邊形ABCD是正方形,AC是對角線,ECB=ECM=45.MNBC,BCM=90,B=90,MEC=ECB=45,DME=ENF=90,MC=ME.易知MN=CB=CD,DM=EN.DEEF,DEM+FEN=90.又EDM

34、+DEM=90,EDM=FEN.在DME和ENF中,EDM=FEN,DM=EN,DME=ENF,DMEENF,EF=DE.(2)解:分點F在線段AB上和線段BA的延長線上兩種情況討論.當點F在線段AB上時,如圖(1)所示,由(1)知DMEENF,ME=NF.易知四邊形MNBC是矩形,MC=BN.又FN=ME=MC,AB=4,AF=2,BN=MC=NF=1.EMC=90,MCE=45,CE=2.AFCD,DGCFGA,CGAG=CDAF=2.又AC=AG+GC=2AB=42,AG=423,CG=823,GE=GC-CE=823-2=523.圖(1)圖(2)當點F在線段BA的延長線上時,如圖(2)

35、所示,同可得,FN=BN.AF=2,AB=4,BF=6,AN=FN-FA=12BF-2=1.AB=BC=4,B=90,AC=42.AFCD,GAFGCD,AFCD=GAGC,即24=AGAG+42,AG=42.易得NE=AN=1,ENA=90,AE=2,GE=GA+AE=52.綜上,GE的長為523或52.19.2020四川成都在矩形ABCD的CD邊上取一點E,將BCE沿BE翻折,使點C恰好落在AD邊上點F處.(1)如圖(1),若BC=2BA,求CBE的度數(shù);(2)如圖(2),當AB=5,且AFFD=10時,求BC的長;(3)如圖(3),延長EF,與ABF的平分線交于點M,BM交AD于點N,當

36、NF=AN+FD時,求ABBC的值.圖(1) 圖(2) 圖(3)解:(1)由折疊的性質得BC=BF,EBF=EBC.BC=2BA,BF=BC=2BA,sinAFB=ABBF=12,AFB=30.四邊形ABCD是矩形,ADBC,CBF=AFB=30,CBE=12CBF=15.(2)由題意可知BFE=C=90.AFB+DFE=90=DEF+DFE,AFB=DEF.又BAF=FDE=90,ABFDFE,ABDF=AFDE,ABDE=AFDF,即5DE=10,DE=2,EF=CE=5-2=3.在RtDEF中,DF=EF2-DE2=32-22=5,AF=105=25,BC=AD=AF+DF=35.(3)

37、如圖,過點N作NGBF于點G.NF=AN+FD,FN=12AD=12BC=12BF.BM平分ABF,BAN=BGN=90,AN=GN.BAF=NGF=90,AFB=GFN,ABFGNF,NGAB=NFBF=12,即AB=2NG=2AN.設AN=a,則AB=2a.設BC=BF=2b,則NF=b,AF=a+b.在RtABF中,由AB2+AF2=BF2,得4a2+(a+b)2=4b2,整理,得5a2+2ab-3b2=0,解得a=35b或a=-b(舍去),ABBC=2a2b=ab=35.20.2020合肥三模在ABC中,AC=BC,CD為AB邊上的中線,CEAB,線段DE交BC于點G.(1)如圖(1)

38、,若CE=CG=1,AB=4,求DE的長.(2)如圖(2),取ABC外一點F,連接AF,BF,CF,DF,CF與DE交于點H,若ACB=90,AC=AF,BFCF,DEDF.求 HFDH 的值;求證:CH=FH.圖(1)圖(2)(1)解:CEAB,CEGBDG,CEBD=CGBG.又CE=CG=1,BD=BG.在ABC中,AC=BC,CD為AB邊上的中線,BD=12AB=2,CDAB,BG=2,BC=BG+CG=2+1=3,CD2=BC2-BD2=32-22=5.CEAB,CDAB,CDCE,DCE=90,DE=CD2+CE2=5+12=6.(2)解:DEDF,CDAB,FDE=90=CDB,

39、FDB=HDC.BFCF,CFB=90=EDF,CFB+DFH=EDF+DFH,DFB=DHC.ACB=90,AC=BC,ABC是等腰直角三角形.又CD為AB邊上的中線,BD=CD.在DFB和DHC中,DFB=DHC,FDB=HDC,BD=CD,DFBDHC,DF=DH.又EDF=90,HDF是等腰直角三角形,HF=2DH,HFDH=2.證明:設AC=BC=a.ABC是等腰直角三角形,AB=2AC=2a.CD為AB邊上的中線,AD=12AB=22a,ADAC=22=ACAB.AC=AF,ADAF=AFAB=22.又DAF=FAB,DAFFAB,DFBF=AFAB=22,BF=2DF.DFBDHC,CH=BF,DF=DH,CH=2DF=2DH.HF=2DH,CH=FH.