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由于rc＞ra=rb，所以當(dāng)轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)速逐漸增加時，物體c最先發(fā)生滑動．轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時，物體a、b將同時發(fā)生滑動．c正確，d錯． 【答】b、c． 　 【例4】如圖，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘a、b，相距l(xiāng)0=0.1m．長l=1m的柔軟細(xì)線一端拴在a上，另一端拴住一個質(zhì)量為500g的小球．小球的初始位置在ab連線上a的一側(cè)．把細(xì)線拉直，給小球以2m／s的垂直細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運動．由于釘子b的存在，使細(xì)線逐步纏在a、b上． 若細(xì)線能承受的最大張力tm=7n，則從開始運動到細(xì)線斷裂歷時多長？ 【分析】小球轉(zhuǎn)動時，由于細(xì)線逐步繞在a、b兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動半徑會逐漸變小，但小球轉(zhuǎn)動的線速度大小保持不變． 【解】小球交替地繞a、b作勻速圓周運動，因線速度不變，隨著轉(zhuǎn)動半徑的減小，線中張力t不斷增大，每轉(zhuǎn)半圈的時間t不斷減?。? 令tn=tm=7n，得n=8，所以經(jīng)歷的時間為 【說明】圓周運動的顯著特點是它的周期性．通過對運動規(guī)律的研究，用遞推法則寫出解答結(jié)果的通式（一般表達(dá)式）有很重要的意義．對本題，還應(yīng)該熟練掌握數(shù)列求和方法． 如果題中的細(xì)線始終不會斷裂，有興趣的同學(xué)還可計算一下，從小球開始運動到細(xì)線完全繞在a、b兩釘子上，共需多少時間？ 　 　 【例5】如圖(a)所示，在光滑的圓錐頂用長為l的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球，圓錐頂角為2θ，當(dāng)圓錐和球一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，球壓緊錐面．此時繩的張力是多少？若要小球離開錐面，則小球的角速度至少為多少？ 【分析】小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，由繩子的張力和錐面的支持力兩者的合力提供向心力，在豎直方向則合外力為零。由此根據(jù)牛頓第二定律列方程，即可求得解答。 【解】對小球進(jìn)行受力分析如圖(b)所示，根據(jù)牛頓第二定律，向心方向上有 t·sinθ-n·cosθ=mω2r ① y方向上應(yīng)有 n·sinθ+t·cosθ-g=0 ② ∵r = l·sinθ ③ 由①、②、③式可得 t = mgcosθ+mω2lsinθ 當(dāng)小球剛好離開錐面時n=0（臨界條件） 則有tsinθ=mω2r ④ t·cosθ-g=0 ⑤ 【說明】本題是屬于二維的牛頓第二定律問題，解題時，一般可以物體為坐標(biāo)原點，建立xoy直角坐標(biāo)，然后沿x軸和y軸兩個方向，列出牛頓第二定律的方程，其中一個方程是向心力和向心加速度的關(guān)系，最后解聯(lián)立方程即可。 　 【例6】雜技節(jié)目中的“水流星”表演，用一根繩子兩端各拴一個盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面上做圓周運動，在最高點杯口朝下，但水不會流下，如下圖所示，這是為什么？ 【分析】水和杯子一起在豎直面內(nèi)做圓周運動，需要提供一個向心力。當(dāng)水杯在最低點時，水做圓周運動的向心力由杯底的支持力提供，當(dāng)水杯在最高點時，水做圓周運動的向心力由重力和杯底的壓力共同提供。只要做圓周運動的速度足夠快，所需向心力足夠大，水杯在最高點時，水就不會流下來。 【解】以杯中之水為研究對象，進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律 　 【例7】如下圖所示，自行車和人的總質(zhì)量為m，在一水平地面運動．若自行車以速度v轉(zhuǎn)過半徑為r的彎道．（1）求自行車的傾角應(yīng)多大？（2）自行車所受的地面的摩擦力多大？ 【分析】騎車拐彎時不摔倒必須將身體向內(nèi)側(cè)傾斜．從圖中可知，當(dāng)騎車人拐彎而使身體偏離豎直方向α角時，從而使靜摩擦力f與地面支持力n的合力q通過共同的質(zhì)心o，合力q與重力的合力f是維持自行車作勻速圓周運動所需要的向心力． 【解】（1）由圖可知，向心力f=mgtgα，由牛頓第二定律有： （2）由圖可知，向心力f可看做合力q在水平方向的分力，而q又是水平方向的靜摩擦力f和支持力n的合力，所以靜摩擦力f在數(shù)值上就等于向心力f，即 f = mgtgα 　 【例8】用長l1=4m和長為l2=3m的兩根細(xì)線，拴一質(zhì)量m=2kg的小球a，l1和l2的另兩端點分別系在一豎直桿的o1，o2處，已知o1o2=5m如下圖（g＝10m·s-2） （1）當(dāng)豎直桿以的角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，o2a線剛好伸直且不受拉力．求此時角速度ω1． （2）當(dāng)o1a線所受力為100n時，求此時的角速度ω2． 【分析】小球做圓周運動所需的向心力由兩條細(xì)線的拉力提供，當(dāng)小球的運動速度不同時，所受拉力就不同。 【解】（1）當(dāng)o2a線剛伸直而不受力時，受力如圖所示。 則f1cosθ=mg ① f1sinθ=mrω12 ② 由幾何知識知 ∴r=2.4m θ=37° 代入式③ω1=1.77（rad/s） （2）當(dāng)o1a受力為100n時，由（1）式 f1cosθ=100×0.8=80（n）＞mg 由此知o2a受拉力f2。則對a受力分析得 f1cosθ-f2sinθ-mg=0 ④ f1sinθ+f2cosθ= mrω22 ⑤ 由式（4）（5）得 【說明】向心力是一種效果力，在本題中o2a受力與否決定于物體a做圓周運動時角速度的臨界值．在這種題目中找好臨界值是關(guān)鍵． [例9]一輛實驗小車可沿水平地面（圖中紙面）上的長直軌道勻速向右運動，有一臺發(fā)出細(xì)光束的激光器裝在小轉(zhuǎn)臺m上，到軌道的距離mn為d=10m，如圖所示。轉(zhuǎn)臺勻速轉(zhuǎn)動，使激光束在水平面內(nèi)掃描，掃描一周的時間為t=60s，光束轉(zhuǎn)動方向如圖箭頭所示。當(dāng)光束與mn的夾角為45°時，光束正好射到小車上，如果再經(jīng)過△t=2.5s光束又射到小車上，則小車的速度為多少？（結(jié)果保留二位數(shù)字） [分析]激光器掃描一周的時間t=60s，那么光束在△t=2.5s時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度 激光束在豎直平面內(nèi)的勻速轉(zhuǎn)動，但在水平方向上光點的掃描速度是變化的，這個速度是沿經(jīng)向方向速度與沿切向方向速度的合速度。 當(dāng)小車正向n點接近時，在△t內(nèi)光束與mn的夾角由45°變?yōu)?0° 隨著θ減小，v掃在減小若45°時，光照在小車上，此時v掃＞v車時，此后光點將照到車前但v掃↓v車不變，當(dāng)v車＞v掃時，它們的距離在縮小。 [解]在△t內(nèi)，光束轉(zhuǎn)過角度 如圖，有兩種可能 （1）光束照射小車時，小車正在接近n點，△t內(nèi)光束與mn的夾角從45°變?yōu)?0°，小車走過l1，速度應(yīng)為 由圖可知 l1=d(tg45°- tg30°)③ 由②、③兩式并代入數(shù)值，得 v1=1.7m/s ④ （2）光束照到小車時，小車正在遠(yuǎn)離n點，△t內(nèi)光束與mn的夾角從45°為60°，小車走過l2速度為 由圖可知 l2=d(tg60°- tg45°) ⑥ 由⑤、⑥兩代并代入數(shù)值，得 v2=2.9m/s [說明]光點在水平方向的掃描速度是變化的，它是沿經(jīng)向速度和切向速度的合速度。很多人把它理解為切向速度的分速度，即 則掃描速度不變化，就談不上與小車的“追趕”了，將不可能發(fā)生經(jīng)過一段時間，再照射小車的問題。這一點速度的合成與分解應(yīng)理解正確。 另外光束與mn的夾角為45°時，光束正好射到小車上有兩種情況（見分析）要考慮周全，不要丟解。 [例10]圖所示為測量子彈速度的裝置，一根水平轉(zhuǎn)軸的端部焊接一個半徑為r的薄壁圓筒（圖為其橫截面），轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速是每分鐘n轉(zhuǎn)，一顆子彈沿圓筒的水平直徑由a點射入圓筒，在圓筒轉(zhuǎn)過不到半圓時從b點穿出，假設(shè)子彈穿壁時速度大小不變，并在飛行中保持水平方向，測量出a、b兩點間的孤長為l，寫出子彈速度的表達(dá)式。 [分析]子彈穿過筒壁，子彈與筒壁發(fā)生相互作用，既影響筒的轉(zhuǎn)速，又影響子彈飛行速度，因為這種影響忽略不講，所以測出的子彈速度是近似值，子彈穿過圓筒的時間，可從圓筒的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)過的角度求了，為了求出子彈從a點穿入到從b點穿出時圓筒轉(zhuǎn)過的角度，必須作出子彈穿筒過程中圓筒轉(zhuǎn)動情景的圖示，與孤長l對應(yīng)的圓心角為θ，θ=l/r(rad) 解：圓筒轉(zhuǎn)過的角為（π-θ），圓筒的角速為ω，子彈速度為v，穿筒的時間為t，則：π-θ=ωt，ω=2πn/60rad/s [說明] 解題過程中，物理過程示意圖，是常用的方法，它可以使抽象的物理過程具體形象化，便于從圖中找出各物理量之間關(guān)系，以幫助建立物理方程，最后求出答案。 16 .