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1、 專題六 函數(shù)與方程中的等高線 一、問題的提出 【2015高考天津理8】已知函數(shù) 函數(shù) ，其中， 若函數(shù) 恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D） 設(shè),借助地理中的名詞,我們把稱作函數(shù)的等高線,利用函數(shù)的等高線求解與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)的問題,也是高考的一個(gè)熱點(diǎn),求解這類問題一般要借助函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì),綜合性較強(qiáng),對解題能力要求較高,故此類問題難度較大,一般作為客觀題壓軸題出現(xiàn).下面我們就來探討這一類問題的解法. 二、問題的探源 首先給出上面一題的解法： 由得， 所以， 即 ,所以恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程 有4個(gè)不

2、同的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可知. 從上面的解法我們可以看出,解決此類問題一般要先畫出函數(shù)的圖象,再根據(jù)圖像探討函數(shù)的性質(zhì),然后利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解,類型主要有以下3種： 1.對稱性求解等高線對應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和. 求解此類問題常用的一個(gè)結(jié)論是：若關(guān)于直線對稱,則； 2. 對稱性求解等高線對應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之積. 求解此類問題常用的結(jié)論是：若直線與函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn),則,對任意等 ； 3. 求等高線對應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)函數(shù)的范圍. 求解此類問題一般是把所給式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一交點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù),再由圖象確定該交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍,然后利用函數(shù)或不等式求范圍. 三、問題的

3、佐證 1.對稱性求解等高線對應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和 【例1】已知函數(shù),且對于任意實(shí)數(shù)關(guān)于的方程都有四個(gè)不相等的實(shí)根,則的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【解析】根據(jù)函數(shù)圖像可得,由于,因此,故應(yīng)選C. 【例2】【2014上海,理12】設(shè)常數(shù)a使方程在閉區(qū)間[0,2]上恰有三個(gè)解， 則 . 【答案】 2. 對稱性求解等高線對應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之積； 【例3】已知,是互不相同的正數(shù), 且,則的取值范圍是（ ） A． B． C

4、． D． 【解析】不妨設(shè),由圖像知,所以,選D. 【例4】設(shè)函數(shù),且關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 ,則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【解析】 首先畫出函數(shù)的圖像,如下圖所示.由圖可知,滿足方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,且,其的取值范圍為.由題意知,是的根,即,所以,,且,所以,故應(yīng)選. 3. 求等高線對應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)函數(shù)的范圍. 【例5】已知函數(shù),若存在常數(shù)使得方程有兩個(gè)不等的實(shí)根, （）,那么的取值范圍為（ ） A． B． C．

5、 D． 【點(diǎn)睛】本題是分段函數(shù),因此分段求得函數(shù)的值域后,結(jié)合函數(shù)圖象可得,結(jié)合求值式,,因此可變?yōu)橐粋€(gè)二次函數(shù),由二次函數(shù)知識可得范圍．在解函數(shù)問題時(shí),函數(shù)圖象可幫助我們得出結(jié)論,得出解題方法,幫助我們尋找到解題思路． 4. 已知零點(diǎn)運(yùn)用等高線求參數(shù)的范圍. 【例6】【2015高考湖南】若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____. 【答案】 【解析】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，可得有兩個(gè)不等的根，從而可得函數(shù) 函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，，故答案為：. 【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)

6、建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍． (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決． (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解． 【例7】【2014江蘇】已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同）， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 【答案】 【解析】作出函數(shù)的圖象，可見，當(dāng)時(shí)，，，方程在上有10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)和圖象與直線在上有10個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)的周期為3，因此直線與函數(shù)的應(yīng)該是4個(gè)交點(diǎn)，則有． 【點(diǎn)晴】研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)一般要借助于函數(shù)圖像，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合

7、思想；方程解的問題常轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來解決．圖像的應(yīng)用常見的命題角度有：(1)確定方程根的個(gè)數(shù)；(2)求參數(shù)的取值范圍； (3)求不等式的解集. 四、問題的解決 1．已知,若、、互不相等, 且,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨令,要滿足,則有, ．故選C. 【評注】本題主要考查了函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的圖象,對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)．本題的有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是關(guān)于對稱,由此得到；二是值域滿足,可得．由此可得．第二是本題的難點(diǎn),本題也可結(jié)合函數(shù)的圖象來研究．本題難度中等

8、． 2.已知函數(shù),若函數(shù)恰有三個(gè)互不相同的零點(diǎn), 則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】不妨設(shè),由圖像得,所以 ,當(dāng)時(shí),所以的取值范圍是,選A. 【評注】（1）運(yùn)用函數(shù)圖象解決問題時(shí),先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容,熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì). （2）在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí),要注意用好其與圖象的關(guān)系,結(jié)合圖象研究. 3．記表示中較小的數(shù),比如.設(shè)函數(shù),若（互不相等）,則的取值范圍為（ ） A．

9、 B． C． D． 【答案】.A 【評注】在涉及到函數(shù)的零點(diǎn),方程的解的范圍,方程解的個(gè)數(shù)問題時(shí)通常采用數(shù)形結(jié)合法,把方程解轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)（較多是直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)）,通過圖象觀察結(jié)論,尋找方法． 4.【2015高考北京】如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖所示，把函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到的圖象時(shí)兩圖象相交，不等式的解為，用集合表示解集選C 【

10、點(diǎn)睛】本題考查作基本函數(shù)圖象和函數(shù)圖象變換及利用函數(shù)圖象解不等式 等有關(guān)知識，本題屬于基礎(chǔ)題，首先是函數(shù)圖象平移變換，把沿軸向左平移2個(gè)單位，得到的圖象，要求正確畫出畫出圖象， 利用數(shù)形結(jié)合寫出不等式的解集. 5．已知,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè),作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖知．由,,得,所以＝．令,則＝．令,得．令,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以．又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以,故選A． 6. 【2014湖北卷10】已知函數(shù)是定義

11、在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【點(diǎn)睛】將含絕對值的函數(shù)、函數(shù)的奇偶性、分段函數(shù)和不等式等內(nèi)容聯(lián)系在一起，凸顯了知識之間的聯(lián)系性、綜合性，體現(xiàn)了函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用，能較好的考查學(xué)生的作圖能力和綜合能力.其解題的關(guān)鍵是正確地畫出分段函數(shù)的圖像并通過函數(shù)圖像建立不等關(guān)系. 7．已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù),,,,滿足,且,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】. B

12、 【解析】在平面直角坐標(biāo)系中,作出函數(shù)的圖象如圖所示： 因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù),,,,滿足,且,所以由圖象知：,,,,當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn),直線越往上平移,的值越小,直線直線越往下平移,的值越大,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí), ,所以的取值范圍是,故選B． 8. 已知函數(shù),若方程有四個(gè)不同的解,且,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】畫出函數(shù)的圖象,如圖,結(jié)合圖象可知,所以 ,因,故的取值范圍是,故應(yīng)選B． 【評注】函數(shù)的圖象是函數(shù)的定義域和值域在平面直角坐標(biāo)系中具體體現(xiàn),是數(shù)形結(jié)合的平臺和橋梁．本題考查的是函數(shù)圖象在確定函數(shù)的圖象交點(diǎn)中運(yùn)用問題．

13、解答時(shí)充分利用題設(shè)中所提供的有效信息進(jìn)行分析和判斷,其目的是檢測運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題思維意識．解答本題的關(guān)鍵是能認(rèn)識到四個(gè)根之間具有這兩個(gè)關(guān)系,從而將問題進(jìn)行化歸為求函數(shù)的值域問題． 9．函數(shù)y＝－m有兩個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是________． 【答案】（0，1） 【解析】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出y1＝和y2＝m的圖象,如圖所示,由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),故0

14、致圖像，如下圖： 由題意，可知 11.先看下面一道試題：已知函數(shù),若,,互不相等,且,則的取值范圍是 . 【答案】（10,12） 【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示,不妨設(shè),則, 所以,則,故選A. 12.已知函數(shù),若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根（其中）,則的取值范圍是__________． 【答案】 13. 【2014天津高考】已知函數(shù)，．若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________． 【答案】． 【解析】（方法一）在同一坐標(biāo)系中畫和的圖象（如圖），問題轉(zhuǎn)化為 與圖象恰有四個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)與（或與）相切時(shí)，與圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)．把代入，得，即，由，得，解得或．又當(dāng)時(shí)，與僅兩個(gè)交點(diǎn)，或． （方法二）顯然，∴．令，則．∵，∴．結(jié)合圖象可得或． 14.【2016高考山東理數(shù)】已知函數(shù) 其中，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________________. 【答案】 - 15 -