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1、 隨機(jī)變量及其分布
一、選擇題:
1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下:
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
則其數(shù)學(xué)期望E(X)等于( )
A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4
解析:由分布列的性質(zhì)得m=1-0.5-0.2=0.3,所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.
答案:D
2.拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子,若已知藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí),則兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為( )
A. B. C. D.
解析:記事件A為“ 藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”,A發(fā)生時(shí)紅骰子的點(diǎn)數(shù)可以為1到6中任意
2、一個(gè),n(A)=12,記B:“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和大于8”,則AB包含(3,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)5種情況,所以P(B|A)==. 答案:D
3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,如果連續(xù)拋擲1 000次,則第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
解析:每一次拋擲硬幣,正面朝上的概率都是. 答案:D
4.兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件.加工為一等品的概率分別為和,兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立,則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為( )
A. B. C. D.
解析:所求概率為×
3、+×=. 答案:B
5.三個(gè)元件T1,T2,T3正常工作的概率分別為,,,且是互相獨(dú)立的.將它們中某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三元件串聯(lián)接入電路,在如圖的電路中,電路不發(fā)生故障的概率是( )
A. B. C. D.
解析:電路不發(fā)生故障的概率P=×=×=. 答案:A
6.已知隨機(jī)變量ξ+η=8,若ξ~B(10,0.6),則Eη,Dη分別是( )
A.6和2.4 B.2和2.4
C.2和5.6 D.6和5.6
解析:由題意Eξ=6,Dξ=2.4,又η=8-ξ,則Eη=E(8-ξ)=8-Eξ=8-6=2,Dη=D(8-ξ)=
4、Dξ=2.4. 答案:B
7.設(shè)火箭發(fā)射失敗的概率為0.01,若發(fā)射10次,其中失敗的次數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是( )
A.E(X)=0.01 B.P(X=k)=0.01k×0.9910-k
C.D(X)=0.1 D.P(X=k)=C×0.01k×0.9910-k
解析:該試驗(yàn)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故E(X)=0.1,D(X)=10×0.01×0.99=0.099,P(X=k)=C×0.01k×0.9910-k,故選D. 答案:D
8.有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)
5、參加同一個(gè)興趣小組的概率為( )
A. B. C. D.
解析:先從3個(gè)興趣小組中選1個(gè),有C=3種方法;甲、乙兩位同學(xué)都參加這個(gè)興趣小組的概率為×=,故這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為C2=. 答案:A
9.甲、乙兩個(gè)工人在同樣的條件下生產(chǎn),日產(chǎn)量相等,每天出廢品的情況如下表所列,則有結(jié)論( )
工人
甲
乙
廢品數(shù)
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
A.甲的產(chǎn)品質(zhì)量比乙的產(chǎn)品質(zhì)量好一些
B.乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的質(zhì)量好一些
C.兩人的
6、產(chǎn)品質(zhì)量一樣好
D.無(wú)法判斷誰(shuí)的質(zhì)量好一些
解析:∵E(X甲)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,E(X乙)=0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9. ∵E(X甲)>E(X乙),∴乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的產(chǎn)品質(zhì)量好一些. 答案:B
10.節(jié)日期間,某種鮮花的進(jìn)價(jià)是每束2.5元,售價(jià)是每束5元,節(jié)后對(duì)沒(méi)有賣(mài)出的鮮花以每束1.6元處理.根據(jù)前5年節(jié)日期間對(duì)這種鮮花銷(xiāo)售情況需求量X(束)的統(tǒng)計(jì)(如下表),若進(jìn)這種鮮花500束在今年節(jié)日期間銷(xiāo)售,則期望利潤(rùn)是( )
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
7、
A.706元 B.690元
C.754元 D.720元
解析:節(jié)日期間這種鮮花需求量X的均值為E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).
設(shè)利潤(rùn)為Y,則Y=5X+1.6(500-X)-500×2.5=3.4X-450,所以E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706(元). 答案:A
二、填空題:
11.袋中有4只紅球3只黑球,從袋中任取4只球,取到1只紅球得1分,取到1只黑球得3分,設(shè)得分為隨機(jī)變量X,則P(X≤6)=__________.
解析:P(X≤6)=P(X=4)+P(X=6)
8、==. 答案:
12.某個(gè)部件由三個(gè)元件按如圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個(gè)元件的使用壽命(單位:小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000,502),且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)的概率為_(kāi)_________.
解析:設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)的事件分別記為A,B,C,顯然P(A)=P(B)=P(C)=,∴該部件的使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)的事件為(A+B+AB)C.∴該部件的使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)的概率為P=×=.答案:
13.由于電腦故障,使得隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟
9、失(以代替),其表如下:
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.5
0.10
0.1
0.20
請(qǐng)你找出丟失的數(shù)據(jù)后,求得均值為_(kāi)_________.
解析:由0.20+0.10+0.5+0.10+0.1+0.20=1知,兩個(gè)方框內(nèi)數(shù)字分別為2、5,故E(X)=3.5. 答案:3.5
14.馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表:
x
1
2
3
P(ξ=x)
?
!
?
請(qǐng)小王同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望,盡管“!”處無(wú)法看清,且兩個(gè)“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個(gè)“?”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小王給出了正確答案
10、E(ξ)=__________.
解析:由分布的性質(zhì)可知2?+?。?, E(ξ)=?+2?。??=4?+2?。?(2?+!)=2.
答案:2
三、解答題:
15.在1,2,3,…,9這9個(gè)自然數(shù)中,任取3個(gè)數(shù),
(1)求這3個(gè)數(shù)恰有1個(gè)偶數(shù)的概率;
(2)記X為3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù),例如取出的數(shù)為1,2,3,則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2,3,此時(shí)X的值為2,求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X).
解:(1)設(shè)Y表示“任取的3個(gè)數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)”,則Y服從N=9,M=4,n=3的超幾何分布,∴P(Y=1)==.(6分)
(2)X的取值為0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)
11、==,P(X=2)==.
∴X的分布列為
X
0
1
2
P
數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×=.
16.1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱,然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球,問(wèn):
(1)從1號(hào)箱中取出的是紅球的條件下,從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少?
(2)從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少?
解:記事件A:最后從2號(hào)箱中取出的是紅球;事件B:從1號(hào)箱中取出的是紅球.
P(B)==,P()=1-P(B)=.(4分)(1)P(A|B)==.(6分)
(2)∵P(A|)==,∴P(A)=P(A∩B)+P(A∩)
12、=P(A|B)P(B)+P(A|)P()
=×+×=.
17.某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用ξ表示,據(jù)統(tǒng)計(jì),隨機(jī)變量ξ的分布列如下:
ξ
0
1
2
3
p
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的數(shù)學(xué)期望;
(2)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率.
解:(1)由概率分布的性質(zhì)知,0.1+0.3+2a+a=1,∴a=0.2,則ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
E(ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.
(2)設(shè)
13、事件A表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次”,
事件A1表示“兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次,另一個(gè)月被投訴0次”,事件A2表示“兩個(gè)月內(nèi)每個(gè)月均被投訴1次”,則由事件的獨(dú)立性可得
P(A1)=CP(ξ=2)P(ξ=0)=2×0.4×0.1=0.08,
P(A2)=(P(ξ=1))2=0.32=0.09,
P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17,
故該企業(yè)在這兩個(gè)月共被投訴2次的概率為0.17.
18.(14分)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是,且各次射擊的結(jié)果互不影響.
(1)假設(shè)這名射手射擊5次,求恰有2次擊中目標(biāo)的概率;
(2)假設(shè)這名射手射擊5次,求有3次連續(xù)擊
14、中目標(biāo),另外2次未擊中目標(biāo)的概率;
(3)假設(shè)這名射手射擊3次,每次射擊,擊中目標(biāo)得1分,未擊中目標(biāo)得0分,在3次射擊中,若有2次連續(xù)擊中,而另外1次未擊中,則額外加1分;若3次全擊中,則額外加3分,記ξ為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù),求ξ的分布列.
解:(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù),則X~B.在5次射擊中,恰有2次擊中目標(biāo)的概率P(X=2)=C×2×3=.(4分)
(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i=1,2,3,4,5);“射手在5次射擊中,有3次連續(xù)擊中目標(biāo),另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A,則
P(A)=P(A1A2A345)+P(1A2A3A45)+P(12A3A4A5)=3×2+×3×+2×3=.(8分)
(3)由題意可知,ξ的所有可能取值為0,1,2,3,6.
P(ξ=0)=P(123)=3=;
P(ξ=1)=P(A123)+P(1A23)+P(12A3)=×2+××+2×=;
P(ξ=2)=P(A12A3)=××=;
P(ξ=3)=P(A1A23)+P(1A2A3)=2×+×2=;
P(ξ=6)=P(A1A2A3)=3=.(12分)
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
6
P
6