《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八單元 立體幾何 第51講 空間幾何體的表面積與體積練習(xí) 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八單元 立體幾何 第51講 空間幾何體的表面積與體積練習(xí) 理(含解析)新人教A版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第51講 空間幾何體的表面積與體積
1.(2017·全國卷Ⅱ)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為(B)
A.90π B.63π
C.42π D.36π
(方法1:割補(bǔ)法)
由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個圓柱截去上面虛線部分所得,如圖所示.
將圓柱補(bǔ)全,并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分.由圖可知,該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的,所以該幾何體的體積V=π×32×4+π×32×6×=63π.故選B.
(方法2:估值法)由題意知,V圓柱
2、柱.又V圓柱=π×32×10=90π,所以45π
3、D.54
由等邊△ABC的面積為9可得AB2=9,
所以AB=6,
所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r=AB=2.
設(shè)球的半徑為R,球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d,則d===2.
所以三棱錐D-ABC高的最大值為2+4=6,
所以三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×6=18.
4.(2017·長沙市一中二模)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個四面體的三視圖,則該四面體的表面積為(A)
A.8+8+4 B.8+8+2
C.2+2+ D.++
將三視圖還原為空間幾何體,如圖,四面體D-ABC.
因?yàn)镾△ABC=×2×4=4,
S△
4、BCD=×2×4=4,
S△DAC=×4×2=4,
S△ABD=×4×4=8.
所以四面體的表面積為S=S△ABC+S△BCD+S△DAC+S△ABD=8+8+4.
5.(2017·山東卷)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如下,則該幾何體的體積為 2+ .
該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1,高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成,
所以V=2×1×1+2××π×12×1=2+.
6.(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為,SA與圓錐底面所成角為45°,若△SAB的面積為5,則該圓錐的側(cè)面積為__40π_
5、_.
如圖,因?yàn)镾A與底面成45°角,
所以△SAO為等腰直角三角形.
設(shè)OA=r,則SO=r,SA=SB=r.
在△SAB中,cos∠ASB=,所以sin∠ASB=,
所以S△SAB=SA·SB·sin∠ASB
=(r)2·=5,
解得r=2,
所以SA=r=4,即母線長l=4,
所以S圓錐側(cè)=πr·l=π×2×4=40π.
7.如圖,是一個獎杯的三視圖(單位:cm),底座是正四棱臺.
(1)求這個獎杯的體積(π取3.14);
(2)求這個獎杯的底座的側(cè)面積.
(1)球的體積V球=πr3=36π,
圓柱的體積V圓柱=Sh1=64π,
正四棱臺的體積是
6、
V正四棱臺=h2(S上+S下+)=336,
所以此幾何體的體積是V=36π+64π+336=100π+336=650(cm3).
(2)因?yàn)榈鬃钦睦馀_,
所以它的斜高是h′==5,
所以它的側(cè)面積是
S側(cè)=4××(6+12)×5=180 (cm2).
8.(2018·惠州9月月考)若一個四棱錐底面為正方形,頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心,該四棱錐的體積為9,當(dāng)其外接球表面積最小時,它的高為(A)
A.3 B.2
C.2 D.3
此四棱錐為正四棱錐,設(shè)此四棱錐的底面邊長為a,高為h,
則a2h=9,則a2=,
再設(shè)其外接球的半徑為R,則在△COE中
7、,
R2=(h-R)2+(a)2,
所以R==+=+.
設(shè)f(h)=+,則f′(h)=-,
令f′(h)=0,解得h=3,分析可知f(h)在h=3時有最小值,故選A.
9.(2016·浙江卷)如圖,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體PBCD的體積的最大值是 .
在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,
所以AC= =2.
設(shè)CD=x,則AD=2-x,
所以PD=2-x,
所以VP-BCD=S△BCD·h≤×BC·CDsin 30°·PD
=×2x××(2-x)
8、
=x(2-x)≤()2
=×()2=,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2-x,即x=時取“=”,
此時PD=,BD=1,PB=2,滿足題意.
10.(2017·全國卷Ⅰ選擇題改編)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F(xiàn)為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F(xiàn)重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時,求所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值.
如圖,連接OD,交BC于點(diǎn)G,
由題意,知OD⊥BC,OG=BC.
設(shè)OG=x,則BC=2x,DG=5-x,
三棱錐的高h(yuǎn)=
==,
S△ABC=×2x×3x=3x2,
則三棱錐的體積
V=S△ABC·h=x2·=·.
令f(x)=25x4-10x5,x∈(0,),
則f′(x)=100x3-50x4.
令f′(x)=0得x=2.當(dāng)x∈(0,2)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(2,)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
故當(dāng)x=2時,f(x)取得最大值80,則V≤×=4.
所以三棱錐體積的最大值為4 cm3.
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