《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專題 題型2 解答題 規(guī)范踩點(diǎn) 多得分 第8講 選修4系列 第1課時(shí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專題 題型2 解答題 規(guī)范踩點(diǎn) 多得分 第8講 選修4系列 第1課時(shí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 文（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1課時(shí)　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 [考情分析]　坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考選考內(nèi)容之一，要求考查：一是直線與圓的極坐標(biāo)方程，以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；二是直線、圓與圓錐曲線的參數(shù)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化． 熱點(diǎn)題型分析 熱點(diǎn)1　極坐標(biāo)方程 1．圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，則圓的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程： (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r時(shí)，ρ＝r； (2)當(dāng)圓心為M(a,0)，半徑為a時(shí)，ρ＝2acosθ； (3)當(dāng)圓心為M，半徑為a時(shí)，ρ＝2asinθ. 2．直線的極坐標(biāo)方程

2、若直線過點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且極軸與此直線所成的角為α，則此直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程： (1)直線過極點(diǎn)：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a； (3)直線過點(diǎn)M，且平行于極軸：ρsinθ＝b. (2019·全國卷Ⅱ)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當(dāng)θ0＝時(shí)，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)M在曲線C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程． 解　

3、(1)因?yàn)镸(ρ0，θ0)在曲線C上， 當(dāng)θ0＝時(shí)，ρ0＝4sin＝2. 由已知，得|OP|＝|OA|cos＝2. 設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點(diǎn)． 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線ρcos＝2上， 所以l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2. (2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中， |OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ. 因?yàn)镻在線段OM上，且AP⊥OM， 所以θ的取值范圍是. 所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，θ∈. 1．直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只要運(yùn)用公式x＝ρcosθ和y＝ρsinθ直接帶入并化簡

4、即可． 2．極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)時(shí)常通過變形，構(gòu)造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意變形過程的檢驗(yàn)． (2018·江蘇高考)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsin＝2，曲線C的方程為ρ＝4cosθ，求直線l被曲線C截得的弦長． 解　因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，所以曲線C是以直角坐標(biāo)(2,0)為圓心，直徑為4的圓．因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為 ρsin＝2，則直線l過A(4,0)(直角坐標(biāo))，傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)．設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為

5、B，則∠OAB＝.連接OB，因?yàn)镺A為直徑，從而∠OBA＝，所以AB＝4cos＝2.因此，直線l被曲線C截得的弦長為2. 熱點(diǎn)2　參數(shù)方程 1．直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．t的幾何意義是直線上的點(diǎn)P到點(diǎn)P0(x0，y0)的數(shù)量，即|t|＝|PP0|(t可正、可負(fù)、可零)．若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則|M1M2|＝|t1－t2|；線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為. 2．圓的參數(shù)方程 圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． 3．橢圓的參數(shù)方程 橢圓＋＝1(a>b>0)

6、的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))； 橢圓＋＝1(a>b>0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程． 解　(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)． 當(dāng)α≠時(shí)，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為. 設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則t

7、P＝， 且tA，tB滿足t2－2tsinα＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 . 將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有： (1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個(gè)方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法； (2)三角恒等消參法：利用sin2α＋cos2α＝1消去參數(shù)，圓和橢圓的參數(shù)方程都是運(yùn)用三角恒等消參法； (3)常見的消參關(guān)系式：t·＝1；2－2＝4；2＋2＝1. (2019·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為

8、極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0. (1)求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l距離的最小值． 解　(1)因?yàn)椋?<≤1， 且x2＋2＝2＋＝1， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1(x≠－1)， 直線l的直角坐標(biāo)方程為2x＋y＋11＝0. (2)由(1)可設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，－π<α<π)． 曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離為 ＝. 當(dāng)α＝－時(shí)，4cos＋11取得最小值7， 故曲線C上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為. 熱點(diǎn)3　極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程的

9、綜合應(yīng)用問題的一般思路： (1)在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長、切線等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩時(shí)，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決．轉(zhuǎn)化時(shí)要注意兩坐標(biāo)系的關(guān)系，注意ρ，θ的取值范圍，取值范圍不同對(duì)應(yīng)的曲線不同； (2)解答參數(shù)方程的有關(guān)問題時(shí)，首先要弄清參數(shù)是誰，代表的幾何意義是什么；其次要認(rèn)真觀察方程的表現(xiàn)形式，以便于尋找最佳化簡途徑． (2016·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C

10、2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)． 解　(1)C1的普通方程為＋y2＝1，C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cosα，sinα)．因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值， d(α)＝＝. 當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，d(α)取得最小值，最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為. 解決極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合問題時(shí)應(yīng)注意下面三點(diǎn)： (1)在對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程的應(yīng)用不夠熟練的情況下，可以先化成普通方程或直角坐標(biāo)方程，這樣思路可能更加清晰； (2)

11、對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡捷．如利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解決與距離有關(guān)的問題；利用圓或橢圓參數(shù)方程中的參數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)處理有關(guān)最值的問題； (3)利用極坐標(biāo)方程解決問題時(shí)，要注意題目所給的限制條件和隱含條件． 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0≤φ<π)，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝8sinθ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)φ變化時(shí)，求|AB|的最小值． 解　(1)由消去t， 得xsinφ－ycosφ＋2c

12、osφ＝0， 所以直線l的普通方程為xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0. 由ρcos2θ＝8sinθ，得(ρcosθ)2＝8ρsinθ， 把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得x2＝8y， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝8y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入x2＝8y， 得t2cos2φ－8tsinφ－16＝0， 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝－， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ＝ ＝. 當(dāng)φ＝0時(shí)，|AB|的最小值為8. 專題作業(yè) 1．(2019·南昌模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))

13、，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)若直線l1，l2的極坐標(biāo)方程分別為θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，設(shè)直線l1，l2與曲線C的交點(diǎn)為O，M，N，求△OMN的面積． 解　(1)由曲線C的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，得C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， 所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ. (2)不妨設(shè)直線l1：θ＝(ρ∈R)與曲線C的交點(diǎn)為O，M，則ρM＝|OM|＝4sin＝2. 又直線l2：θ＝(ρ∈R)與曲線C的交點(diǎn)為O，N，則ρN＝|ON|＝4sin＝2.又∠MON＝，

14、所以S△OMN＝|OM||ON|＝×2×2＝2. 2．(2018·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率． 解　(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1. 當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2－tanα， 當(dāng)cosα＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.① 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(

15、1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，所以x1＋x2＝(1＋t1cosα)＋(1＋t2cosα)＝2，所以(t1＋t2)cosα＝0，又cosα≠0，所以t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，所以tanα＝－2，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2. 3．(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M為l3

16、與C的交點(diǎn)，求M的極徑． 解　(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)，得 消去k，得x2－y2＝4(y≠0)， 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)， 聯(lián)立 得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)． 故tanθ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以交點(diǎn)M的極徑為. 4．(2019·鄭州第二次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標(biāo)系xO

17、y中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝a，且l過點(diǎn)A，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)求曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值； (2)過點(diǎn)B(－1,1)且與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M，N兩點(diǎn)，求|BM|·|BN|的值． 解　(1)由直線l過點(diǎn)A可得cos＝a， 故a＝， 則易得直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離 d＝＝， 其中sinφ＝，cosφ＝， 所以dmax＝＝. 即曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為. (2)由(1)知直線l的傾斜角為， 則直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 易知曲線C1的普通方程為＋＝1. 把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程可得 t2＋7t－5＝0， 設(shè)M，N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 所以t1t2＝－，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知 |BM|·|BN|＝|t1t2|＝. - 9 -