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1、專題六 應用題江蘇新高考“在考查基礎知識的同時，側(cè)重考查能力”是高考的重要意向，而應用能力的考查又是近二十年來的能力考查重點.江蘇卷一直在堅持以建模為主.所以如何由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的建模過程的探索應是復習的關鍵.應用題的載體很多，前幾年主要考函數(shù)建模，以三角、導數(shù)、不等式知識解決問題.2013年應用考題(3)是解不等式模型，2014年應用考題(2)可以理解為一次函數(shù)模型，也可以理解為條件不等式模型，這樣在建模上增添新意，還是有趣的，2015、2016年應用考題(2)都先構造函數(shù)，再利用導數(shù)求解.2016、2017年應用考題是立體幾何模型，2017年應用考題需利用空間中的垂直關系和解三角形

2、的知識求解.?？碱}型突破函數(shù)模型的構建及求解例1(2016江蘇高考)現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.因為A1B1AB6，所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積V錐A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2O1O628288(m3)所以倉庫的容積V

3、V錐V柱24288312(m3)(2)設A1B1a m，PO1h m，則0h6，O1O4h.連結(jié)O1B1.因為在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是倉庫的容積VV柱V錐a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，從而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍去)當0h2時，V0，V是單調(diào)增函數(shù)；當2h6時，V0，V是單調(diào)減函數(shù)故當h2時，V取得極大值，也是最大值因此，當PO12 m時，倉庫的容積最大方法歸納解函數(shù)應用題的四步驟變式訓練1(2017蘇錫常鎮(zhèn)二模)某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量w(單位：百千克)與肥料費用x(單位：百元)滿

4、足如下關系：w4，且投入的肥料費用不超過5百元此外，還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)2x百元已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克)，且市場需求始終供不應求記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為L(x)(單位：百元)(1)求利潤函數(shù)L(x)的函數(shù)關系式，并寫出定義域；(2)當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解：(1)L(x)16x2x643x(0 x5)(2)法一：L(x)643x6767243.當且僅當3(x1)時，即x3時取等號故L(x)max43.答：當投入的肥料費用為300元時，種植水蜜桃樹獲得的最大利潤是4 300元. 法二：L(x)3

5、，由L(x)0，得x3. 故當x(0,3)時，L(x)0，L(x)在(0,3)上單調(diào)遞增；當x(3,5)時，L(x)0，L(x)在(3,5)上單調(diào)遞減所以當x3時，L(x)取得極大值，也是最大值，故L(x)maxL(3)43.答：當投入的肥料費用為300元時，種植水蜜桃樹獲得的最大利潤是4 300元2(2017南通三模)如圖，半圓AOB是某愛國主義教育基地一景點的平面示意圖，半徑OA的長為1百米為了保護景點，基地管理部門從道路l上選取一點C，修建參觀線路CDEF，且CD，DE，EF均與半圓相切，四邊形CDEF是等腰梯形設DEt百米，記修建每1百米參觀線路的費用為f(t)萬元，經(jīng)測算f(t)(1

6、)用t表示線段EF的長；(2)求修建該參觀線路的最低費用解：(1)法一：設DE與半圓相切于點Q，則由四邊形CDEF是等腰梯形知OQl，DQQE，以OF所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy.由題意得，點E的坐標為， 設直線EF的方程為y1k(k0)，即kxy1tk0.因為直線EF與半圓相切，所以圓心O到直線EF的距離為1，解得k.代入y1k可得，點F的坐標為. 所以EF，即EF(0t2)法二：設EF切圓O于點G，連結(jié)OG，過點E作EHAB，垂足為H.因為EHOG，OFGEFH，GOFHEF，所以RtEHFRtOGF，所以HFFGEFt.由EF21HF212, 所

7、以EF(0t2)答：EF的長為百米(2)設修建該參觀線路的費用為y萬元當0t時，y55，由y50，得y在上單調(diào)遞減所以當t時，y取最小值為32.5.當t2時，y12t，所以y12，因為t0，所以當t時，y0，所以y在上單調(diào)遞減；在(1,2)上單調(diào)遞增所以當t1時，y取最小值為24.5.由知，y取最小值為24.5.答：修建該參觀線路的最低費用為24.5萬元. 基本不等式的實際應用例2(2017南京考前模擬)某企業(yè)準備投入適當?shù)膹V告費對產(chǎn)品進行促銷，在一年內(nèi)預計銷售Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關系為Q(x0)已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4.5萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元，且

8、能全部銷售完若每件銷售價定為：“平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的25%”之和. (1)試將年利潤W(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數(shù)；(2)當年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？最大利潤為多少？解(1)由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(32Q4.5)萬元， 每件銷售價為150%25%.年銷售收入為Qx.年利潤Wxxx16Qx16x(x0)(2)令x1t(t1)，則W16(t1)643t673.t1，24，即W55，當且僅當，即t8時，W有最大值55，此時x7.即當年廣告費為7萬元時，企業(yè)年利潤最大，最大值為55萬元方法歸納利用基本不等式求解實際應用題的注意點(1)此類

9、型的題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍對應函數(shù)的單調(diào)性求解變式訓練(2017蘇州期末)某濕地公園內(nèi)有一條河，現(xiàn)打算建一座橋(如圖1)將河兩岸的路連接起來，剖面設計圖紙(圖2)如下，其中，點A，E為x軸上關于原點對稱的兩點，曲線段BCD是橋的主體，C為橋頂，并且曲線段BCD在圖紙上的圖形對應函數(shù)的解析式為y(x2，2)，曲線段AB，DE均為開口向上的拋物線段，且A，E分別為兩拋物線的頂點設計時要求：保持兩曲線在各銜接處(B，D)的切線的

10、斜率相等(1)求曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式，并寫出定義域；(2)車輛從A經(jīng)B到C爬坡，定義車輛上橋過程中某點P所需要的爬坡能力為：M(該點P與橋頂間的水平距離)(設計圖紙上該點P處的切線的斜率)其中MP的單位：米若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車：游客踏乘；蓄電池動力；內(nèi)燃機動力，它們的爬坡能力分別為0.8米，1.5米，2.0米，用已知圖紙上一個單位長度表示實際長度1米，試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋？解：(1)由題意A為拋物線的頂點，設A(a,0)(a2)，則可設方程為y(xa)2(ax2，0)，y2(xa)曲線段BCD在圖紙上的圖形對應函數(shù)的解析式為y(x2,2)，y，且B(2

11、,1)，則曲線在B處的切線斜率為，a6，曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式為y(x6)2(6x2)(2)設P為曲線段AC上任意一點P在曲線段AB上時，則通過該點所需要的爬坡能力(MP)1(x)(x6) (x3)29，在6，3上為增函數(shù)，3，2上是減函數(shù)，所以爬坡能力最大為米；P在曲線段BC上時，則通過該點所需要的爬坡能力(MP)2(x)(x2,0)，設tx2，t0,4，(MP)2y.當t0時，y0；當0t4時，y1(t4取等號)，此時最大為1米由上可得，最大爬坡能力為米0.81.52，游客踏乘不能順利通過該橋，蓄電池動力和內(nèi)燃機動力能順利通過該橋.三角函數(shù)的實際應用例3(2017江蘇高考)如圖

12、，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺形玻璃容器的高均為32 cm，容器的底面對角線AC的長為10 cm，容器的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14 cm和62 cm.分別在容器和容器中注入水，水深均為12 cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計)(1)將l放在容器中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；(2)將l放在容器中，l的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度解(1)由正棱柱的定義知，CC1平面ABCD，所以平面A1ACC1平面ABCD，CC1AC.如圖，記玻璃棒的另一端落在CC1上點M

13、處因為AC10，AM40，所以MC30，從而sinMAC.記AM與水面的交點為P1，過P1作P1Q1AC，Q1為垂足，則P1Q1平面ABCD，故P1Q112，從而AP116.答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16 cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24 cm)(2)如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心由正棱臺的定義知，OO1平面EFGH，所以平面E1EGG1平面EFGH，O1OEG.同理，平面E1EGG1平面E1F1G1H1，O1OE1G1.記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處過G作GKE1G1，K為垂足，則GKOO132.因為EG14，E1G162，所以KG124，從而

14、GG140.設EGG1，ENG，則sin sincosKGG1.因為，所以cos .在ENG中，由正弦定理可得，解得sin .因為0，所以cos .于是sinNEGsin()sin()sin cos cos sin .記EN與水面的交點為P2，過P2作P2Q2EG，Q2為垂足，則P2Q2平面EFGH，故P2Q212，從而EP220.答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為20 cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20 cm)方法歸納解三角形應用題是數(shù)學知識在生活中的應用，要想解決好，就要把實際問題抽象概括，建立相應的數(shù)學模型，然后求解.解三角形應用題常見的兩種情況：(1)實際

15、問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解. 變式訓練如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PMPNMN2(單位：千米)記AMN.(1)將AN，AM用含的關系式表示出來；(2)如何設計(即AN，AM為多長)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響

16、最小(即工廠與村莊的距離AP最大)?解：(1)由已知得MAN60，AMN，MN2，在AMN中，由正弦定理得，所以ANsin ，AMsin(120)sin(60)(2)在AMP中，由余弦定理可得AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(60)4sin(60)cos(60)1cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，0120，當且僅當2150270，即60時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小，此時ANAM2.課時達標訓練1(2017蘇錫常鎮(zhèn)一模)某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)，設計要求彩門的面積為

17、S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數(shù))，彩門的下底BC固定在廣場地面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構成，設腰和下底的夾角為，不銹鋼支架的長度和記為l.(1)請將l表示成關于的函數(shù)lf()；(2)當為何值時l最??？并求l的最小值解：(1)過D作DHBC于點H(圖略)，則DCB，DHh, 設ADx，則DC，CH，BCx，因為Sh，則x.所以lf()2DCADh.答：l表示成關于的函數(shù)為lf()h.(2)f()hh，令f()h0，得.列表如下：f()0f()極小值所以lminfh.答：當時，l有最小值為h.2.如圖是某設計師設計的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120，OC

18、1，ABOBOC，且OAOB.現(xiàn)設計師在支架OB上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為M，且M與OB長成正比，比例系數(shù)為k(k為正常數(shù))；在AOC區(qū)域(陰影區(qū)域)內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為N，且N與AOC的面積成正比，比例系數(shù)為4k.設OAx，OBy.(1)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出OA的取值范圍；(2)求NM的最大值及相應的x的值解：(1)因為OAx，OBy，ABy1，由余弦定理得，x2y22xycos 120(y1)2，解得y.由x0，y0得，1x2，又xy，得x，得1x，所以OA的取值范圍是.(2)設MkOBky，N4kSAOC3kx，則NMk(3xy)k.設2xt，則NMkkk(1

19、04)k.當且僅當4t，即t時取等號，此時x2，所以當x2時，NM的最大值是(104)k.3(2017南京、鹽城二模)在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)設小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中ab.(1)當a90時，求紙盒側(cè)面積的最大值；(2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值解：(1)因為矩形紙板ABCD的面積為3 600，故當a90時，b40，從而包裝盒子的側(cè)面積S2x(902x)2x(402x

20、)8x2260 x，x(0,20)因為S8x2260 x8(x16.25)22 112.5，故當x16.25時，紙盒側(cè)面積最大，最大值為2 112.5平方厘米(2)包裝盒子的體積V(a2x)(b2x)xxab2(ab)x4x2，x，b60. Vxab2(ab)x4x2x(ab4x4x2)x(3 600240 x4x2)4x3240 x23 600 x，當且僅當ab60時等號成立設f(x)4x3240 x23 600 x，x(0,30)則f(x)12(x10)(x30)于是當0 x10時，f(x)0，所以f(x)在(0,10)上單調(diào)遞增；當10 x30時，f(x)0，所以f(x)在(10,30)

21、上單調(diào)遞減因此當x10時，f(x)有最大值f(10)16 000，此時ab60，x10.答：當ab60，x10時紙盒的體積最大，最大值為16 000立方厘米4.(2017南通、泰州一調(diào))如圖，某機械廠要將長6 m，寬2 m的長方形鐵皮ABCD進行裁剪已知點F為AD的中點，點E在邊BC上，裁剪時先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點C，D分別落在直線BC下方點M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點P)，再沿直線PE裁剪(1)當EFP時，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由解：(1)當EFP時，由條件得EFPEFDFEP，所以

22、FPE，即FNBC，所以四邊形MNPE為矩形，且四邊形MNPE的面積SPNMN2(m2). (2)法一：設EFD，由條件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.由得所以四邊形MNPE面積為S(NPME)MN26666262.當且僅當tan ，即tan ，時取“”此時，(*)成立答：當EFD時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為m2. 法二：設BEt m,3t6，則ME6t.因為EFPEFDFEP，所以PEPF，即tBP.所以BP，NP3PF3PE3(tBP)3t. 由得所以四邊形MNPE面積為S(NPME)MN2662.當且僅當(t3)，即t33時取“”. 此時

23、，(*)成立答：當點E距B點3 m時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為(62)m2.5.(2017南京三模)在一水域上建一個演藝廣場演藝廣場由看臺，看臺，三角形水域ABC，及矩形表演臺BCDE四個部分構成(如圖)看臺，看臺是分別以AB，AC為直徑的兩個半圓形區(qū)域，且看臺的面積是看臺的面積的3倍；矩形表演臺BCDE中，CD10米；三角形水域ABC的面積為400平方米設BAC.(1)求BC的長(用含的式子表示)；(2)若表演臺每平方米的造價為0.3萬元，求表演臺的最低造價解：(1)因為看臺的面積是看臺的面積的3倍，所以ABAC.在ABC中，SABCABACsin 400，所以AC2

24、 .由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 4AC22AC2 cos (42cos ) ，即BC 40.所以BC40 ，(0，)(2)設表演臺的總造價為W萬元因為CD10 m，表演臺每平方米的造價為0.3萬元，所以W3BC120 ，(0，)記f()，(0，)則f().由f()0，解得.當時，f()0；當時，f()0.故f()在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而當 時，f()取得最小值，最小值為f1. 所以Wmin120(萬元)答：表演臺的最低造價為120萬元6.如圖，OA是南北方向的一條公路，OB是北偏東45方向的一條公路，某風景區(qū)的一段邊界為曲線C.為方便游客觀光，擬過曲線C上某點P分

25、別修建與公路OA，OB垂直的兩條道路PM，PN，且PM，PN的造價分別為5萬元/百米、40萬元/百米建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，則曲線C符合函數(shù)yx(1x9)模型，設PMx，修建兩條道路PM，PN的總造價為f(x)萬元題中所涉及長度單位均為百米(1)求f(x)的解析式；(2)當x為多少時，總造價f(x)最低？并求出最低造價解：(1)在題中的平面直角坐標系中，因為曲線C的方程為yx(1x9)，PMx，所以點P的坐標為.又直線OB的方程為xy0，則點P到直線xy0的距離為.又PM的造價為5萬元/百米，PN的造價為40萬元/百米，所以兩條道路的總造價為f(x)5x405(1x9)(2)因為f(x)5，所以f(x)5.令f(x)0，得x4，列表如下：x(1,4)4(4,9)f(x)0f(x)極小值所以當x4時，函數(shù)f(x)有最小值，且最小值為f(4)530.即當x4時，總造價f(x)最低，且最低造價為30萬元(注：利用三次基本不等式f(x)555330，當且僅當，即x4時等號成立，照樣給分)15