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1、加QQ719283511第一章 行列式 1. 利用對角線法則計算下列三階行列式: (1); 解 =2(-4)3+0(-1)(-1)+118 -013-2(-1)8-1(-4)(-1) =-24+8+16-4=-4. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). 4. 計算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 6. 證明: (1)=(a-b)3; 證明 =(a-b)3 . (2); 證明 . 8. 計算下列各行列式(Dk為k階行列式): (1), 其中對角線上元

2、素都是a, 未寫出的元素都是0; 解 (按第n行展開) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n第二章矩陣及其運算1. 計算下列乘積:(5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 2. 設, , 求3AB-2A及ATB. 解 , . 3. 已知兩個線性變換 , , 求從z1, z2, z3到x1, x2, x3的線性變換. 解 由已知 , 所以有. 4. 設, , 問: (1)AB=BA嗎

3、? 解 ABBA. 因為, , 所以ABBA. (3)(A+B)(A-B)=A2-B2嗎? 解 (A+B)(A-B)A2-B2. 因為, , , 而 , 故(A+B)(A-B)A2-B2. 5. 舉反列說明下列命題是錯誤的: (1)若A2=0, 則A=0; 解 取, 則A2=0, 但A0. (2)若A2=A, 則A=0或A=E; 解 取, 則A2=A, 但A0且AE. (3)若AX=AY, 且A0, 則X=Y . 解 取 , , , 則AX=AY, 且A0, 但XY .7. 設, 求Ak . 解 首先觀察 , , , , , . 用數(shù)學歸納法證明: 當k=2時, 顯然成立. 假設k時成立，則k

4、+1時， , 由數(shù)學歸納法原理知: . 8. 設A, B為n階矩陣，且A為對稱矩陣，證明BTAB也是對稱矩陣. 證明 因為AT=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 從而BTAB是對稱矩陣. 11. 求下列矩陣的逆矩陣: (1); 解 . |A|=1, 故A-1存在. 因為 , 故 . (3); 解 . |A|=20, 故A-1存在. 因為 , 所以 . (4)(a1a2 an 0) . 解 , 由對角矩陣的性質(zhì)知 . 12. 利用逆矩陣解下列線性方程組: (1); 解 方程組可表示為 , 故 , 從而有 . 19.設P-1AP=L, 其中, , 求A11. 解

5、 由P-1AP=L, 得A=PLP-1, 所以A11= A=PL11P-1. |P|=3, , , 而 , 故 .20. 設AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E-6A+A2). 解 j(L)=L8(5E-6L+L2) =diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P-1 . 21. 設Ak=O (k為正整數(shù)), 證明(E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 證明 因為Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因為 E-Ak=(

6、E-A)(E+A+A2+ +Ak-1), 所以 (E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E, 由定理2推論知(E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 證明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(E-A)+(A-A2)+A2- -Ak-1+(Ak-1-Ak) =(E+A+A2+ +A k-1)(E-A), 故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+ +Ak-1)(E-A),兩端同時右乘(E-A)-1, 就有 (E-A)-1(E-A)=E+A+A2+ +Ak-1. 22. 設方陣A滿足A2-A-2E=O, 證明A及A+2E都

7、可逆, 并求A-1及(A+2E)-1. 證明 由A2-A-2E=O得 A2-A=2E, 即A(A-E)=2E, 或 , 由定理2推論知A可逆, 且. 由A2-A-2E=O得 A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E, 或 由定理2推論知(A+2E)可逆, 且. 證明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 兩端同時取行列式得 |A2-A|=2, 即 |A|A-E|=2, 故 |A|0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|20, 故A+2E也可逆.由 A2-A-2E=O A(A-E)=2E A-1A(A-E)=2A-1E, 又由 A2-A-2E=

8、O(A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4 E, 所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1, . 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1. 把下列矩陣化為行最簡形矩陣: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2(-1), r3(-2). ) (下一步: r3-r2. ) (下一步: r33. ) (下一步: r2+3r3. ) (下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) . (3); 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) (下一步: r2(-4),

9、r3(-3) , r4(-5). ) (下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . 3. 已知兩個線性變換 , , 求從z1, z2, z3到x1, x2, x3的線性變換. 解 由已知 , 所以有. 4. 試利用矩陣的初等變換, 求下列方陣的逆矩陣: (1); 解 故逆矩陣為. (2). 解 故逆矩陣為. 5. (2)設, , 求X使XA=B. 解 考慮ATXT=BT. 因為 , 所以 , 從而 . 9. 求作一個秩是4的方陣, 它的兩個行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易構成一個有4個非零行的5階下三角矩陣: ,

10、此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量. 12. 設, 問k為何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3. 解 . (1)當k=1時, R(A)=1; (2)當k=-2且k1時, R(A)=2; (3)當k1且k-2時, R(A)=3. P106/1.已知向量組 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 證明B組能由A組線性表示, 但A組不能由B組線性表示. 證明 由

11、知R(A)=R(A, B)=3, 所以B組能由A組線性表示. 由 知R(B)=2. 因為R(B)R(B, A), 所以A組不能由B組線性表示.4. 判定下列向量組是線性相關還是線性無關: (1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為A. 因為 , 所以R(A)=2小于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相關. (2)以所給向量為列向量的矩陣記為B. 因為 , 所以R(B)=3等于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相無關.5. 問a取什么值時下列

12、向量組線性相關？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 解 以所給向量為列向量的矩陣記為A. 由 知, 當a=-1、0、1時, R(A)3, 此時向量組線性相關.9.設b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 證明向量組b1, b2, b3, b4線性相關. 證明 由已知條件得 a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,于是 a1 =b1-b2+a3 =b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3-b4+a1,從而 b1-b2+b3-b4=0, 這說明向量組b1, b

13、2, b3, b4線性相關.11.(1) 求下列向量組的秩, 并求一個最大無關組: (1)a1=(1, 2, -1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(-2, -4, 2, -8)T; 解由 , 知R(a1, a2, a3)=2. 因為向量a1與a2的分量不成比例, 故a1, a2線性無關, 所以a1, a2是一個最大無關組. 12.利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關組: (1); 解 因為,所以第1、2、3列構成一個最大無關組. (2). 解 因為,所以第1、2、3列構成一個最大無關組.13. 設向量組(a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (

14、1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T的秩為2, 求a, b. 解 設a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T. 因為, 而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 20.求下列齊次線性方程組的基礎解系: (1); 解對系數(shù)矩陣進行初等行變換, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(4, 0)T, 得(x1, x2)T=(-16, 3)T; 取(x3, x4)T=(0, 4)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T. 因此方程組的基礎解系為 x1=(-16, 3, 4, 0)T, x

15、2=(0, 1, 0, 4)T. (2). 解 對系數(shù)矩陣進行初等行變換, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(19, 0)T, 得(x1, x2)T=(-2, 14)T; 取(x3, x4)T=(0, 19)T, 得(x1, x2)T=(1, 7)T. 因此方程組的基礎解系為 x1=(-2, 14, 19, 0)T, x2=(1, 7, 0, 19)T. 26. 求下列非齊次方程組的一個解及對應的齊次線性方程組的基礎解系: (1); 解 對增廣矩陣進行初等行變換, 有. 與所給方程組同解的方程為. 當x3=0時, 得所給方程組的一個解h=(-8, 13, 0, 2)T. 與對應的齊次方程組同解的方程為. 當x3=1時, 得對應的齊次方程組的基礎解系x=(-1, 1, 1, 0)T. (2). 解 對增廣矩陣進行初等行變換, 有 . 與所給方程組同解的方程為. 當x3=x4=0時, 得所給方程組的一個解h=(1, -2, 0, 0)T. 與對應的齊次方程組同解的方程為. 分別取(x3, x4)T=(1, 0)T, (0, 1)T, 得對應的齊次方程組的基礎解系x1=(-9, 1, 7, 0)T. x2=(1, -1, 0, 2)T.