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2019年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題33 拋物線及其性質(zhì) 理

上傳人:Sc****h 文檔編號:116669333 上傳時間:2022-07-06 格式:DOC 頁數(shù):15 大小:306.50KB
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1、專題33 拋物線及其性質(zhì) 一、考綱要求: 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率). 2.理解數(shù)形結(jié)合思想. 3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用. 二、概念掌握和解題上注意點: 1.應(yīng)用拋物線定義的兩個關(guān)鍵點 (1))由拋物線定義,把拋物線上點到焦點距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化. (2))注意靈活運(yùn)用拋物線上一點P(x,y)到焦點F的距離|PF|=|x|+或|PF|=|y|+. 2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1))求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法,因為未知數(shù)只有p,所以只需一個條件確定p值即可. (2))拋物線方程有四種標(biāo)

2、準(zhǔn)形式,因此求拋物線方程時,需先定位,再定量. 3.研究拋物線的焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程,必須把拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程,正確的求出p. 4.解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的三種常用方法 (1))直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. (2))有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須用弦長公式. (3))涉及拋物線的弦長、弦中點等相關(guān)問題時,一般采用“設(shè)而不求,整體代入”的解法. 提醒:涉及弦的中點、弦所在直線的斜率時一般用“點差法”求解. 三、高考考題題例分析

3、 例1.(2018課標(biāo)卷I)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(﹣2,0)且斜率為的直線與C交于M,N兩點,則?=( ?。? A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 例2.(2018課標(biāo)卷II)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 【答案】(1)y=x﹣1;(2)(x﹣3)2+(y﹣2)2=16. 【解析】:(1)方法一:拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,0),當(dāng)直線的斜率不存在時,|AB|=4,不滿足; 設(shè)直線AB的方程為:y=k(x

4、﹣1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則,整理得:k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,則x1+x2=,x1x2=1, 由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得:k2=1,則k=1, ∴直線l的方程y=x﹣1; 方法二:拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,0),設(shè)直線AB的傾斜角為θ,由拋物線的弦長公式|AB|===8,解得:sin2θ=, ∴θ=,則直線的斜率k=1, ∴直線l的方程y=x﹣1; (2)過A,B分別向準(zhǔn)線x=﹣1作垂線,垂足分別為A1,B1,設(shè)AB的中點為D,過D作DD1⊥準(zhǔn)線l,垂足為D,則|DD1|=(|AA1|+|BB1|) 由拋物線的定義可

5、知:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,則r=|DD1|=4, 以AB為直徑的圓與x=﹣1相切,且該圓的圓心為AB的中點D, 由(1)可知:x1+x2=6,y1+y2=x1+x2﹣2=4, 則D(3,2), 過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程(x﹣3)2+(y﹣2)2=16. 例7.(2017課標(biāo)卷II)已知是拋物線的焦點,是上一點,的延長線交軸于點。若為的中點,則。 【答案】6 【解析】試題分析: 點A, 例8.(2017北京卷)已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點(0,)作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直

6、線OP,ON交于點A,B,其中O為原點. (Ⅰ)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (Ⅱ)求證:A為線段BM的中點. 【答案】(Ⅰ)方程為,拋物線C的焦點坐標(biāo)為(,0),準(zhǔn)線方程為.(Ⅱ)詳見解析. , 所以. 故A為線段BM的中點. 例9.(2017浙江卷)如圖,已知拋物線,點A,,拋物線上的點.過點B作直線AP的垂線,垂足為Q. (Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍; (Ⅱ)求的最大值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) 試題解析: (Ⅰ)設(shè)直線AP的斜率為k,則,∵,∴直線AP斜率的取值范圍是. (Ⅱ)聯(lián)立直線AP與BQ的方程 解得點

7、Q的橫坐標(biāo)是,因為|PA|== |PQ|=,所以|PA||PQ|= 令,因為,所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,因此當(dāng)k=時,取得最大值. 15.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,其準(zhǔn)線與雙曲線y2-x2=1相交于A,B兩點,若△ABF為等邊三角形,則p=__________. 【答案】2  16.已知直線l:y=kx+t與圓:x2+(y+1)2=1相切,且與拋物線C:x2=4y交于不同的兩點M,N,則實數(shù)t的取值范圍是________________. 【答案】t>0或t<-3  【解析】因為直線l與圓相切,所以=1?k2=t2+2t.再把直線l的方程代入拋

8、物線方程并整理得x2-4kx-4t=0, 于是Δ=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0, 解得t>0或t<-3. 三、解答題 17.如圖所示,已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點. (1)若線段AB的中點在直線y=2上,求直線l的方程; (2)若線段|AB|=20,求直線l的方程. 【答案】(1) y=x-1;(2) x±2y-1=0. 【解析】 (1)由已知得拋物線的焦點為F(1,0).因為線段AB的中點在直線y=2上,所以直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x0,y

9、0), 則由得 (y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4. 又y0=2,所以k=1,故直線l的方程是y=x-1. 18.已知拋物線y2=2px(p>0),過點C(-2,0)的直線l交拋物線于A,B兩點,坐標(biāo)原點為O,·=12. (1)求拋物線的方程; (2)當(dāng)以|AB|為直徑的圓與y軸相切時,求直線l的方程. 【答案】(1) y2=4x;(2) x+y+2=0或x-y+2=0. 【解析】 (1)設(shè)l:x=my-2,代入y2=2px中, 得y2-2pmy+4p=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=4p,

10、則x1x2==4, 因為·=x1x2+y1y2=4+4p=12,可得p=2, 則拋物線的方程為y2=4x. (2)由(1)知y2=4x,p=2,可知y1+y2=4m,y1y2=8. 設(shè)AB的中點為M, 則|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4.① 又|AB|=|y1-y2|=.② 由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2, 解得m2=3,m=±, 所以直線l的方程為 x+y+2=0或x-y+2=0. 19.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點P,M關(guān)于點P的對稱點為N,連

11、接ON并延長交C于點H. (1)求; (2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點?說明理由. 【答案】(1)2;(2)見解析 【解析】(1)如圖,由已知得M(0,t),P. 20.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線C與直線l1:y=-x的一個交點的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程; (2)不過原點的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不同的兩點A,B,若線段AB的中點為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積. 【答案】(1) y2=8x;(2) 24. 【解析】 (1)易知直線與拋物線的交點坐標(biāo)為(8,-8), ∴(-8)2=2p×8,

12、 ∴2p=8, ∴拋物線方程為y2=8x. 21.如圖所示,已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點. (1)若線段AB的中點在直線y=2上,求直線l的方程; (2)若線段|AB|=20,求直線l的方程. 【答案】(1) y=x-1;(2) x±2y-1=0. 【解析】(1)由已知得拋物線的焦點為F(1,0).因為線段AB的中點在直線y=2上,所以直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x0,y0), 則由得 (y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4. 又y0=

13、2,所以k=1,故直線l的方程是y=x-1. 即x±2y-1=0. 22.拋物線y2=4x的焦點為F,過點F的直線交拋物線于A,B兩點. (1)若=2 ,求直線AB的斜率; (2)設(shè)點M在線段AB上運(yùn)動,原點O關(guān)于點M的對稱點為C,求四邊形OACB面積的最小值. 【答案】(1) ±2;(2)4 【解析】 (1)依題意知F(1,0),設(shè)直線AB的方程為x=my+1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得 y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4. 因為=2 , 所以y1=-2y2. 聯(lián)立上述三式,消去y1,y2得m=±. 所以直線AB的斜率是±2. (2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱,得M是線段OC的中點, 所以當(dāng)m=0時,四邊形OACB的面積最小,最小值是4. 15

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