課后限時集訓(xùn)(三十六)　綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法 (建議用時：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達標(biāo) 一、選擇題 1．用反證法證明命題：“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°”時，應(yīng)假設(shè) (　　) A．三個內(nèi)角都不大于60° B．三個內(nèi)角都大于60° C．三個內(nèi)角至多有一個大于60° D．三個內(nèi)角至多有兩個大于60° B　[至少有一個包含“一個、兩個和三個”，故其對立面三個內(nèi)角都大于60°，故選B．] 2．(2019·西安模擬)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＞Q　　　　　 B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值決定 C　[假設(shè)P≥Q，則＋≥＋， 即2＋2a＋7≥2＋2a＋7， 即≥， 即a(a＋7)≥(a＋3)(a＋4)， 即a2＋7a≥a2＋7a＋12， 顯然不成立，故P＜Q.故選C.] 3．(2019·哈爾濱模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”時，由n＝k(k≥2)時不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應(yīng)增加的項數(shù)是(　　) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 C　[n＝k＋1時，左邊＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，增加了＋＋…＋，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k項，故選C.] 4．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)遞減，若x1＋x2＞0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒為負值 B．恒等于零 C．恒為正值 D．無法確定正負 A　[由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)遞減，可知f(x)是R上的減函數(shù)，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)＜0，故選A.] 5．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時，均有f(k)≥k2成立 D　[由條件可知不等式的性質(zhì)只對大于等于號成立，所以A錯誤；若f(1)≥1成立，則得到f(2)≥4，與f(2)<4矛盾，所以B錯誤；當(dāng)f(3)≥9成立，無法推導(dǎo)出f(1)，f(2)，所以C錯誤；若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時，均有f(k)≥k2成立，所以D正確．] 二、填空題 6．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的條件的序號是________． ①③④　[要使＋≥2，只需＞0成立，即a，b不為0且同號即可，故①③④能使＋≥2成立．] 7．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的自然數(shù)n都有：(Sn－1)2＝anSn，通過計算S1，S2，S3，猜想Sn＝________. 　[由(S1－1)2＝S，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.猜想Sn＝.] 8．在不等邊三角形ABC中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足__________． a2>b2＋c2　[由余弦定理cos A＝<0，得b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.] 三、解答題 9．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證： lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. [證明]　∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴≥＞0，≥＞0，≥＞0. 又上述三個不等式中等號不能同時成立． ∴··＞abc成立． 上式兩邊同時取常用對數(shù)， 得lg＞lg abc， ∴l(xiāng)g＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 10．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜想{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論． (2)證明：＋＋…＋＜. [解]　(1)由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時，結(jié)論成立，即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2. 那么當(dāng)n＝k＋1時， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， bk＋1＝＝(k＋2)2.所以當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數(shù)都成立． (2)＝＜. 當(dāng)n≥2時，由(1)知 an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)·n. 故＋＋…＋ ＜＋ ＝＋ ＝＋＜＋＝. B組　能力提升 1．設(shè)x，y，z＞0，則三個數(shù)＋，＋，＋(　　) A．都大于2　　　　　　 B．至少有一個大于2 C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于2 C　[因為＋＋＝＋＋≥6， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時等號成立． 所以三個數(shù)中至少有一個不小于2，故選C.] 2．已知函數(shù)f(x)＝x，a，b是正實數(shù)，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關(guān)系為(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A A　[∵≥≥，又f(x)＝x在R上是減函數(shù)． ∴f≤f()≤f，即A≤B≤C.] 3．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)＝________；當(dāng)n＞4時，f(n)＝________(用n表示)． 5　(n＋1)(n－2)　[由題意知f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，可以歸納出每增加一條直線，交點增加的個數(shù)為原有直線的條數(shù)，所以f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，猜測得出f(n)－f(n－1)＝n－1(n≥4)．有f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)，所以f(n)＝(n＋1)(n－2)．] 4．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知對任意的n∈N*，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0，且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖像上． (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)． 證明：對任意的n∈N*，不等式··…·＞成立． [解]　(1)由題意，Sn＝bn＋r， 當(dāng)n≥2時，Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b＞0，且b≠1，所以n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1. (2)證明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所證不等式為··…·＞. ①當(dāng)n＝1時，左式＝，右式＝， 左式＞右式，所以結(jié)論成立． ②假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即··…·＞， 則當(dāng)n＝k＋1時，··…··＞·＝， 要證當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論成立， 只需證≥， 即證≥， 由基本不等式可得 ＝≥成立， 故≥成立，所以當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論成立． 根據(jù)①②可知，n∈N*時， 不等式··…·＞成立． - 6 -