平面向量、三角函數(shù)與解三角形(1) 1．[2019·河北保定摸底]已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π，x∈R)在一個周期內(nèi)的部分對應(yīng)值如下表： x － － 0 f(x) －2 0 2 0 －2 (1)求f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝f(x)－2sin x的最大值及其對應(yīng)的x的值． 解析：(1)由表格可知，A＝2，f(x)的周期T＝－＝π， 所以ω＝＝2. 又2sin(2×0＋φ)＝2，得sin φ＝1， 因為－π<φ<π，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin＝2cos 2x. (2)g(x)＝f(x)－2sin x＝cos 2x－2sin x＝1－2sin2x－2sin x＝－22＋. 又sin x∈[－1,1]，所以當(dāng)sin x＝－時，g(x)取得最大值， 此時x＝2kπ－或x＝2kπ＋(k∈Z)． 2．[2018·北京卷]已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值． 解析：(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋， 所以f(x)的最小正周期為T＝＝π. (2)由(1)知f(x)＝sin＋. 由題意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－. 要使得f(x)在區(qū)間上的最大值為， 即sin在區(qū)間上的最大值為1. 所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值為. 3．[2019·濟南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估]我國《物權(quán)法》規(guī)定：建造建筑物，不得違反國家有關(guān)工程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)，妨礙相鄰建筑物的通風(fēng)、采光和日照．已知某小區(qū)的住宅樓的底部均在同一水平面上，且樓高均為45 m，依據(jù)規(guī)定，該小區(qū)內(nèi)住宅樓樓間距應(yīng)不小于52 m．若該小區(qū)內(nèi)某居民在距離樓底27 m高處的某陽臺觀測點，測得該小區(qū)內(nèi)正對面住宅樓樓頂?shù)难鼋桥c樓底的俯角之和為45°，求該小區(qū)的住宅樓實際樓間距？ 解析： 設(shè)兩住宅樓實際樓間距為x m．如圖，根據(jù)題意可得，tan∠DCA＝，tan∠DCB＝＝，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以該小區(qū)的住宅樓實際樓間距為54 m. 4．[2019·長沙，南昌聯(lián)合模擬]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bsin B＝asin A＋(c－a)sin C. (1)求B； (2)若3sin C＝2sin A，且△ABC的面積為6，求b. 解析：(1)由bsin B＝asin A＋(c－a)sin C及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理，得cos B＝＝＝， 因為B∈(0，π)，所以B＝. (2)由(1)得B＝，所以△ABC的面積為acsin B＝ac＝6，得ac＝24. 由3sin C＝2sin A及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6， c＝4. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝36＋16－24＝28，所以b＝2. 5．[2019·湖北八校第一次聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝sin 2x－cos2x＋(x∈R)，△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f(A)＝1. (1)求角A的大小； (2)若△ABC的面積為，且a＝，求b＋c的值． 解析：(1)依題意得f(x)＝sin 2x－cos2x＋＝sin 2x－＋＝sin 2x－cos 2x＝sin. 因為A∈(0，π)，所以2A－∈， 所以由f(A)＝sin＝1，得2A－＝，所以A＝. (2)因為S△ABC＝bcsin＝，所以bc＝4.?、? 又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos＝13， 化簡得(b＋c)2－3bc＝13.?、? 將①式代入②式，得b＋c＝5. 6．[2019·河北衡水中學(xué)三調(diào)]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知向量m＝，n＝，且滿足|m＋n|＝. (1)求角A的大??； (2)若b＋c＝a，試判斷△ABC的形狀． 解析：(1)∵|m＋n|＝，∴m2＋n2＋2m·n＝3，又m＝，n＝， ∴1＋1＋2＝3， ∴coscos＋sinsin＝， 即cos＝， ∴cosA＝，∵0°<A<180°，∴A＝60°. (2)∵cos A＝，∴由余弦定理得＝?、?， 又b＋c＝a?、冢?lián)立①②得bc＝b2＋c2－2，即2b2－5bc＋2c2＝0，解得b＝2c或c＝2b. ①若b＝2c，∵b＋c＝a，則a＝c， ∴a2＋c2＝(c)2＋c2＝4c2＝b2，∴此時△ABC是以角B為直角的直角三角形． ②若c＝2b，∵b＋c＝a，則a＝b，∴a2＋b2＝(b)2＋b2＝4b2＝c2， ∴此時△ABC是以角C為直角的直角三角形． 4