專練(二) 技法5　構(gòu)造法 1．已知m，n∈(2，e)，且－<ln，則(　　) A．m>n B．m<n C．m>2＋ D．m，n的大小關(guān)系不確定 答案：A 解析：由不等式可得－<ln m－ln n， 即＋ln n<＋ln m. 設(shè)f(x)＝＋ln x(x∈(2，e))， 則f′(x)＝－＋＝. 因為x∈(2，e)，所以f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在(2，e)上單調(diào)遞增． 因為f(n)<f(m)，所以n<m.故選A. 2．已知f(x)為定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>xf′(x)恒成立，則不等式x2f－f(x)>0的解集為________． 答案：(1，＋∞) 解析：設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝， 又因為f(x)>xf′(x)， 所以g′(x)＝<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函數(shù)g(x)＝為(0，＋∞)上的減函數(shù)， 又因為x2f－f(x)>0?>?g>g(x)， 則有<x，解得x>1. 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________. 答案：1　121 解析：∵an＋1＝2Sn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1， ∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3， ∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列， ∴＝3. 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1， ∴S5＋＝×34＝×34＝， ∴S5＝121. 4．如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則球O的體積等于________． 答案：π 解析：如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體， 設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R， 則正方體的體對角線長即為球O的直徑， 所以|CD|＝＝2R， 所以R＝， 故球O的體積V＝＝π. 技法6　等價轉(zhuǎn)化法 5．設(shè)x∈R，若“1≤x≤3”是“|x－a|<2”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．[1,3) C．(1,3] D．[1,3] 答案：A 解析：由|x－a|<2，解得a－2<x<a＋2. 因為“1≤x≤3”是“|x－a|<2”的充分不必要條件，所以[1,3](a－2，a＋2)， 所以解得1<a<3，所以實數(shù)a的取值范圍是(1,3)．故選A. 6．[2019·蘭州市診斷考試]已知函數(shù)f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，若對于x∈[1,2]，f(ax2)<f(3)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．－<a< B．－3<a<3 C．a(chǎn)< D．a(chǎn)<3 答案：A 解析：易知f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上為增函數(shù)，故原問題等價于|ax2|<3對x∈[1,2]恒成立，即|a|<對x∈[1,2]恒成立，所以|a|<，解得－<a<，故選A. 7．[2019·福建廈門3月質(zhì)檢]在正三棱錐S－ABC中，AB＝2，SA＝2，E，F(xiàn)分別為AC，SB的中點．平面α過點A，α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，則異面直線l和EF所成角的余弦值為________． 答案： 解析：畫出圖象如圖所示，因為平面α過點A，α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，平面SBC∩平面ABC＝BC，所以l∥BC. 取AB的中點D，連接DE，DF，則DE∥BC，所以l∥DE. 所以異面直線l和EF所成角即為∠DEF或其補(bǔ)角． 取BC的中點O，連接SO，AO，則SO⊥BC，AO⊥BC， 又SO∩AO＝O，所以BC⊥平面SOA， 又SA?平面SOA，所以BC⊥SA， 所以DE⊥DF. 在Rt△DEF中，易知DE＝，DF＝， 所以EF＝2，cos∠DEF＝＝. 所以異面直線l和EF所成角的余弦值為. 8．[2019·福建泉州質(zhì)檢]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與C交于A，B兩點，交l于D.過A，B分別作x軸的平行線，分別交l于M，N兩點．若＝4，△AND的面積等于，則C的方程為(　　) A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x 答案：D 解析：畫出圖象如圖所示，設(shè)|BF|＝m，l與x軸的交點為F′，由＝4，得|AB|＝4m，|AF|＝3m，根據(jù)拋物線定義，得|AM|＝3m，|BN|＝m，過點B作BG⊥AM， 垂足為G，則|MG|＝m，|AG|＝2m， 所以∠BAG＝60°. 所以|AD|＝6m，F(xiàn)為AD的中點，|BD|＝2m，|ND|＝m， 所以S△ADN＝|AM|·|DN|＝·3m·m＝， 所以m＝，易知|FF′|＝m＝4，所以p＝4. 所以C的方程為y2＝8x，故選D. 技法7　待定系數(shù)法 9．設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等實根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式________． 答案：f(x)＝x2＋2x＋1 解析：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程f(x)＝0有兩個相等實根， ∴Δ＝4－4c＝0，解得c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1. 10．衣柜里的樟腦丸，會因為揮發(fā)而體積變小，剛放入的新樟腦丸體積為a，經(jīng)過t天后樟腦丸的體積V(t)與天數(shù)t的關(guān)系為V(t)＝a·e－kt，若新樟腦丸經(jīng)過80天后，體積變?yōu)閍，則函數(shù)V(t)的解析式為________． 答案：V(t)＝a· (t≥0) 解析：因為樟腦丸經(jīng)過80天后，體積變?yōu)閍，所以a＝a·e－80k，所以e－80k＝，解得k＝－ln ，所以V(t)＝a·＝a·，所以函數(shù)V(t)的解析式為V(t)＝a·(t≥0)． 11．已知焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且其焦點到漸近線的距離為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：D 解析：由題意可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)， 因為雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以雙曲線的一條漸近線方程為y＝x， 即x－y＝0，所以＝2，解得c＝4，由解得 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1，故選D. 12．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分圖象如圖所示，其中|PQ|＝2.則f(x)的解析式為________． 答案：f(x)＝2sin 解析：由題圖可知A＝2，P(x1，－2)，Q(x2,2)，所以|PQ|＝＝＝2. 整理得|x1－x2|＝2，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2|x1－x2|＝4，即＝4，解得ω＝. 又函數(shù)圖象過點(0，－)， 所以2sin φ＝－，即sin φ＝－. 又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin. 技法8　換元法 13．求函數(shù)y＝(x>－1)的最值(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：設(shè)t＝x＋1，∴x＝t－1，∴y＝＝＝t＋＋1≥2＋1＝3. 14．函數(shù)f(x)＝cos2x－2cos2的一個單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：f(x)＝cos2x－2cos2＝cos2x－cos x－1， 令t＝cos x∈[－1,1]，原函數(shù)可以看作g(t)＝t2－t－1，t∈[－1,1]． 由于對稱軸為t＝，對于g(t)＝t2－t－1， 當(dāng)t∈時，g(t)為減函數(shù)，當(dāng)t∈時，g(t)為增函數(shù)， 當(dāng)x∈時，t＝cos x為減函數(shù)，且t∈， ∴原函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選A. 15．不等式log2(2x－1)·log2(2x＋1－2)<2的解集是________． 答案： 解析：設(shè)log2(2x－1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)<2，解得－2<y<1，所以x∈. 16．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f2(x)－mf(x)＋m2－3＝0有5個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為(　　) A．[－，2) B．(－，2) C．[，2) D．(，2) 答案：D 解析：畫出f(x)的大致圖象如圖所示，令t＝f(x)(t≥0)，則關(guān)于t的二次方程為t2－mt＋m2－3＝0，設(shè)g(t)＝t2－mt＋m2－3. 當(dāng)方程的一個根為t＝1時，解得m＝2或m＝－1，此時方程變?yōu)閠2－2t＋1＝0或t2＋t－2＝0，均不合題意，故舍去． 由圖象可知，當(dāng)函數(shù)g(t)＝t2－mt＋m2－3的一個零點在(0,1)上，另一個零點在(1，＋∞)上時，滿足題意，所以解得m∈(，2)． 綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為(，2)，故選D. 8