熱點(diǎn)(十一)　離心率 1．(橢圓離心率)若一個橢圓長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由題意得2b＝a＋c，所以4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac,3a2－2ac－5c2＝0，兩邊同除以a2得到3－2e－5e2＝0，因?yàn)?<e<1，所以e＝.故選B. 2．(雙曲線離心率)已知實(shí)數(shù)4，m,9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為(　　) A. B. C.或 D.或 答案：C 解析：由已知得m＝±6，當(dāng)m＝6時，圓錐曲線是橢圓，a＝，b＝1，c＝，離心率e＝＝；當(dāng)m＝－6時，圓錐曲線是雙曲線，a＝1，b＝，c＝，離心率e＝＝，故選C. 3．(雙曲線漸近線)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案：A 解析：雙曲線－＝1的漸近線方程為bx±ay＝0. 又∵離心率＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a. ∴漸近線方程為ax±ay＝0，即y＝±x. 故選A. 4．[2018·全國卷Ⅰ，4](橢圓離心率)已知橢圓C：＋＝1的一個焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵ a2＝4＋22＝8，∴ a＝2，∴ e＝＝＝. 故選C. 5．(雙曲線離心率)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A. B. C. D．2 答案：A 解析：易知|MF1|＝，|MF2|＝2a＋， 因?yàn)閟in∠MF2F1＝，所以＝＝，化簡得b＝a，故雙曲線的離心率e＝＝.故選A. 6．(橢圓離心率)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝.故選A. 7．[2019·濟(jì)南市高考模擬試題](雙曲線離心率)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1作一條漸近線的垂線，垂足為M，延長F1M與雙曲線的右支相交于點(diǎn)N，若＝3，則此雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：不妨設(shè)一條漸近線方程為y＝x，則過F1且與此漸近線垂直的直線方程為y＝－(x＋c)，與y＝x聯(lián)立解得x＝－＝－，y＝－，所以M.由＝3，得＝4，設(shè)N(m，n)，由F1(－c,0)，得(m＋c，n)＝4，所以m＝－＋3c，n＝－，代入－＝1，得－＝1，即c22－16a4＝a2c2，整理得9c4＝25a2c2，即3c＝5a，所以e＝. 8．(參變量范圍)已知雙曲線＋＝1的離心率e∈(1,2)，則m的取值范圍是(　　) A．(－12,0) B．(－∞，0) C．(－3,0) D．(－60，－12) 答案：A 解析：顯然m<0，所以a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，因?yàn)閑∈(1,2)，所以e2∈(1,4)，所以＝∈(1,4)，所以m∈(－12,0)． 9. [2019·廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)](雙曲線離心率)如圖，在梯形ABCD中，已知|AB|＝2|CD|，＝，雙曲線過C，D，E三點(diǎn)，且以A，B為焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為(　　) A. B．2 C．3 D. 答案：A 解析：取AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，|AB|＝2|CD|＝2c，E(xE，yE)，則A(－c,0)，B(c,0)，C，D，由－＝1，得yC＝，故C. 因?yàn)椋?xE＋c，yE)，＝＝，＝，所以 又E在雙曲線上，故－＝1，化簡整理得4c2－b2＋3a2＝25a2，即c2＝7a2，故＝.選A. 10．(橢圓性質(zhì))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E，若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由題意設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋a)，分別令x＝－c與x＝0得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，記BM與OE的交點(diǎn)為N，由△OBN∽△FBM，得＝，即＝，整理，得＝，所以橢圓離心率e＝，故選A. 11．[2018·山東菏澤模擬](綜合運(yùn)用)若點(diǎn)P為共焦點(diǎn)的橢圓C1和雙曲線C2的一個交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是它們的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓離心率為e1，雙曲線離心率為e2.若·＝0，則＋＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 雙曲線方程為－＝1(m>0，n>0)，其中兩焦點(diǎn)距離為2c. 不妨令P在第一象限，由題意知 ∴|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m， 又·＝0，∴PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴2(a2＋m2)＝4c2， ∴＋＝＝2，故選B. 12．(雙曲線離心率)已知F是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，E是雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為(　　) A．(1,2) B．(1，) C．(1,3) D．(1，) 答案：A 解析：由題易知△ABE為等腰三角形，又△ABE是銳角三角形，所以只需∠AEF<45°即可，也就是|AF|<|EF|，即<a＋c，由e＝，a2＋b2＝c2，可得e2－e－2<0，結(jié)合雙曲線的離心率e>1可得1<e<2. 13．(雙曲線方程)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為M，離心率為，過點(diǎn)M與點(diǎn)(0，－2)的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則雙曲線的方程為________． 答案：－＝1 解析：由e＝＝，a2＋b2＝c2得b＝a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，由＝得a＝，所以b＝2，所以雙曲線的方程為－＝1. 14．(橢圓離心率)過點(diǎn)M(1,1)，斜率為－的直線l與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為________． 答案： 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題得， ∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0， ∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)， ∴＝＝，∴a2＝3b2， ∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝. 15．(橢圓離心率范圍)橢圓＋＝1(a>b>0)上存在一點(diǎn)P，使得∠F1PF2＝90°，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為________． 答案： 解析：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為C.由題意知∠F1CF2≥90°，則∠F1CO≥45°，所以c≥b.因?yàn)閑2＝，所以≤e<1. 16．(雙曲線離心率范圍)已知A(1,2)，B(－1,2)，動點(diǎn)P滿足⊥.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是________． 答案：(1,2) 解析：設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件，得動點(diǎn)P的軌跡方程為 (x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1， 它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓．又雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0， 由題意，可得>1，即>1， 所以e＝<2，又e>1，故1<e<2. 7