熱點(五)　基本不等式 1．(基本不等式)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，則xy的最大值是(　　) A. B．4 C. D．8 答案：C 解析：∵2xy≤2＝2＝，∴xy≤，故選C. 2．(基本不等式)若正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則(　　) A.＋有最大值4 B．a(chǎn)b有最小值 C．a(chǎn)2＋b2有最小值 D.＋有最大值 答案：D 解析：對于A，取a＝0.01，b＝0.99，則＋>100>4，故A錯誤；對于B，取a＝0.01，b＝0.99，則ab＝0.009 9<，故B錯誤；對于C，取a＝b＝0.5，則a2＋b2＝0.5<，故C錯誤；對于D，因為a＋b＝1≥2，所以ab≤，又因為(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2，所以(＋)2≤2，即＋≤， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立，故選D. 3．(基本不等式)若a>0，b>0，且a＋b＝1，則＋的最小值為(　　) A．5 B. C．4 D. 答案：B 解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)·＝2＋＋＋＝＋＋≥＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時等號成立，∴＋的最小值為，故選B. 4．(基本不等式)若ab>0，且＋＝1，則a＋b的最小值是(　　) A．4 B．7＋4 C．8 D．7＋8 答案：B 解析：a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥2＋7＝4＋7，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2＋4，a＝3＋2時，取“＝”，故選B. 5．(基本不等式)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，則＋的最小值為(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案：C 解析：依題意得＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，等號成立．故選C. 6．(基本不等式)若正數(shù)x，y滿足x＋4y－xy＝0，則x＋y的最小值為(　　) A．9 B．8 C．5 D．4 答案：A 解析：∵x>0，y>0，x＋4y＝xy，∴＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6，y＝3時，取等號，∴x＋y的最小值為9，故選A. 7．(基本不等式)已知0<a<1，則＋的最小值是(　　) A．4 B．8 C．9 D．10 答案：C 解析：∵0<a<1，∴根據(jù)基本不等式，得 ＋＝[(1－a)＋a]＝5＋＋≥5＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)0<a<1且＝，即a＝時，取等號. 故選C. 8．(與向量結(jié)合)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，則9x＋3y的最小值為(　　) A．2 B．2 C．6 D．9 答案：C 解析：∵a⊥b，∴(x－1,2)·(4，y)＝0，∴4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2. ∴9x＋3y≥2＝2＝2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝1時取等號，故選C. 9．(與數(shù)列結(jié)合)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a6＝3，則a4＋a8(　　) A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3 答案：A 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)． ∵a6＝3，∴a4＝＝，a8＝a6q2＝3q2， ∴a4＋a8＝＋3q2≥2＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝3q2，即q＝1時，等號成立，故選A. 10．(與直線方程結(jié)合)已知a>0，b>0，直線ax＋by＝1過點(1,3)，則＋的最小值為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：A 解析：依題意得a＋3b＝1，因為a>0，b>0， 所以＋＝(a＋3b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時取等號，故選A. 11．(與三角函數(shù)結(jié)合)＋的最小值為(　　) A．18 B．16 C．8 D．6 答案：B 解析：＋＝(sin2α＋cos2α) ＝9＋1＋＋≥9＋1＋2＝16，故選B. 12．(與數(shù)列結(jié)合)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2an－2，若存在兩項am，an，使得aman＝64，則＋的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：∵Sn＝2an－2，∴Sn－1＝2an－1－2(n≥2)． 兩式相減，化簡可得an＝2an－1(n≥2)， 由S1＝2a1－2＝a1可得a1＝2， ∴數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列． ∵aman＝64，∴(a1qm－1)(a1qn－1)＝64， 即4×2m＋n－2＝64，∴m＋n＝6， ∴＋＝(m＋n)＝ ≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝，n＝時，等號成立． ∵m，n為正整數(shù)，∴上述不等式的等號取不到，則＋>， 驗證可得，當(dāng)m＝2，n＝4時，＋取最小值，為，故選B. 13．(基本不等式)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，若不等式a≤＋恒成立，則實數(shù)a的最大值為________． 答案：16 解析：∵x>0，y>0，且x＋y＝1， ∴＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)y＝3x＝時取等號． ∵不等式a≤＋恒成立?min≥a， ∴a∈(－∞，16]，即實數(shù)a的最大值為16. 14．(基本不等式)已知a，b∈R，且2a－3b＝1，則9a＋的最小值是________． 答案：2 解析：因為2a－3b＝1，所以9a＋≥2＝2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)9a＝，即2a＝－3b＝時，取等號，所以9a＋的最小值是2. 15．(基本不等式)已知x，y均為正實數(shù)，且＝(7＋2)，則x＋3y的最小值為________． 答案：2 解析：∵＝＋＝(7＋2)， ∴x＋3y＝＝. 又∵x，y均為正實數(shù)，∴＋≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時，取“＝”， ∴x＋3y≥＝2.∴x＋3y的最小值為2. 16．(與函數(shù)結(jié)合)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－1|，若正數(shù)a，b滿足a＋2b＝f(－1)，求＋的最小值． 答案：8 解析：由題意，a＋2b＝f(－1)＝1， 所以＋＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時，等號成立， 所以＋的最小值為8. 6