熱點(diǎn)(八)　平面向量 1．(平面向量基本定理)設(shè)D為△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，＝3，則(　　) A.＝－ B.＝＋ C.＝－＋ D.＝－ 答案：C 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，故選C. 2．(向量共線的坐標(biāo)表示)已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，則x＝(　　) A．9 B．6 C．5 D．3 答案：B 解析：因?yàn)橄蛄縜＝(4,2)，向量b＝(x,3)且a∥b， 所以4×3＝2x，x＝6，故選B. 3．(向量的模)已知|a|＝1，|b|＝2，a＝λb，λ∈R，則|a－b|等于(　　) A．1 B．3 C．1或3 D．|λ| 答案：C 解析：由a＝λb可知a∥b，即a與b的夾角為0或π， |a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cos 0＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|＝1＋4－4＝1， 或|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cos π＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|＝1＋4＋4＝9， ∴|a－b|＝1或3，故選C. 4．(數(shù)量積的應(yīng)用)設(shè)向量a＝(1，cos θ)與b＝(－1,2cos θ)垂直，則cos 2θ等于(　　) A. B. C．－1 D．0 答案：D 解析：向量a＝(1，cos θ)與b＝(－1,2cos θ)垂直，可得2cos2θ－1＝0，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝0，故選D. 5．(向量的線性運(yùn)算)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A．1 B. C. D. 答案：D 解析：在△ABD中，BD＝AB＝1. 又BC＝3，所以BD＝BC，∴＝＋＝＋. ∵O為AD的中點(diǎn)，∴＝＝＋. ∵＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝，故選D. 6．(共線定理的推廣＋角平分線性質(zhì))在△AOB中，G為AB邊上一點(diǎn)，OG是∠AOB的平分線，且＝＋m，m∈R，則＝(　　) A. B．1 C. D．2 答案：C 解析：如圖所示，△AOB中，＝＋m，由平面向量的基本定理得＋m＝1，解得m＝，∴＝＋，∴－＝＋(－)，∴＝，∴＝，∴＝，又OG是∠AOB的平分線，∴＝，∴＝.故選C. 7．(向量的夾角)已知向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝，|b|＝1，則向量b與a－b的夾角為(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0. 因此cos〈b，a－b〉＝＝＝－＝－.所以向量b與a－b的夾角為，故選B. 8．(數(shù)量積的應(yīng)用)已知向量a＝(，－)，b＝(cos α，sin α)，則|a－b|的最大值為(　　) A．1 B. C．3 D．9 答案：C 解析：因?yàn)閨a－b|＝＝＝， 所以當(dāng)sin＝1時(shí)，|a－b|取得最大值，最大值為＝3，故選C. 9．(數(shù)量積的應(yīng)用)在△ABC中，設(shè)||2－||2＝2·，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的(　　) A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心 答案：D 解析：||2－||2＝(＋)·(－)＝(＋)·＝2·， ∴·(＋－2)＝0?·(－＋－)＝·(＋)＝0， 設(shè)E為BC的中心，則＋＝2， ∴·2＝0?⊥?ME為BC的垂直平分線， ∴M的軌跡必過(guò)△ABC的外心，故選D. 10．(向量運(yùn)算與函數(shù))如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則·的最小值為(　　) A. B. C. D．3 答案：A 解析：連接BD，AC，由AB⊥BC，AD⊥CD，得∠BCD＝60°， 易證△ACD≌△ACB，所以CD＝BC，所以△BCD為等邊三角形，易知BD＝.設(shè)＝t(0≤t≤1)， ·＝(＋)·(＋)＝·＋·(＋)＋2＝＋·＋2＝3t2－t＋(0≤t≤1)． 所以當(dāng)t＝時(shí)，上式取得最大值，故選A. 11．(數(shù)量積的定義)在正三角形ABC中，AB＝2，＝，＝，且AD與BE相交于點(diǎn)O，則·＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：B 解析：如圖． 因?yàn)椋?，所以D是BC的中點(diǎn)， 所以＝＋， 因?yàn)椋?，所以＝? 設(shè)＝λ，λ>0，則＝λ＋λ， 因?yàn)锽，O，E三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)μ，使得 ＝μ＋(1－μ)＝μ＋(1－μ)， 所以解得 所以＝＋， ＝＋＝－＋， 所以·＝· ＝· ＝－||2－·＋||2 ＝－×22－×2×2×cos 60°＋×22 ＝－，故選B. 12．[2018·浙江卷](向量的綜合應(yīng)用)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是(　　) A.－1 B.＋1 C．2 D．2－ 答案：A 解析：解法一　∵ b2－4e·b＋3＝0， ∴ (b－2e)2＝1， ∴ |b－2e|＝1. 如圖所示，把a(bǔ)，b，e的起點(diǎn)作為公共點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，向量e所在直線為x軸，則b的終點(diǎn)在以點(diǎn)(2,0)為圓心，半徑為1的圓上，|a－b|就是線段AB的長(zhǎng)度． 要求|AB|的最小值，就是求圓上動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的最小值，也就是圓心M到直線OA的距離減去圓的半徑長(zhǎng)， 因此|a－b|的最小值為－1. 故選A. 解法二　設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點(diǎn)B的軌跡是以C(2,0)為圓心，1為半徑的圓．因?yàn)閍與e的夾角為，所以不妨令點(diǎn)A在射線y＝x(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故選A. 解法三　由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0. 設(shè)b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中點(diǎn)為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖．設(shè)a＝，作射線OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故選A. 13．(向量的模)已知向量a，b滿足a＝(1，－1)，a＋b＝(3,1)，則|b|＝________. 答案：2 解析：依題意b＝(a＋b)－a＝(3,1)－(1，－1)＝(2,2)，故|b|＝＝2. 14．(數(shù)量積)設(shè)a，b是互相垂直的單位向量，且(λa＋b)⊥(a＋2b)，則實(shí)數(shù)λ的值是________． 答案：－2 解析：依題意，有|a|＝|b|＝1，且a·b＝0， 又(λa＋b)⊥(a＋2b)，所以(λa＋b)·(a＋2b)＝0， 即λa2＋2b2＋(2λ＋1)a·b＝0，即λ＋2＝0，所以λ＝－2. 15．(向量的夾角)已知非零向量a，b滿足|2a＋b|＝|a＋2b|＝|a|，則a，b的夾角為_(kāi)_______． 答案： 解析：由題意，知|2a＋b|＝|a＋2b|， 即(2a＋b)2＝(a＋2b)2，即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2； 解得a2＝b2，∴|a|＝|b|. 又|a＋2b|＝|a|，∴(a＋2b)2＝3a2，∴a2＋4a·b＋4b2＝3a2， ∴a2＋4a2cos〈a，b〉＋4a2＝3a2， 又a≠0，∴1＋4cos〈a，b〉＋4＝3，∴cos〈a，b〉＝－， 又0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝. 16．(向量的投影)設(shè)e1，e2是單位向量，且e1，e2的夾角為，若a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，則e1·e2＝________；a在b方向上的投影為_(kāi)_______． 答案：－； 解析：由平面向量的數(shù)量積的定義，可得e1·e2＝|e1|·|e2|cos＝1×1×＝－， a·b＝(e1＋e2)·(2e1－e2)＝2e＋e1·e2－e＝2－－1＝， b2＝(2e1－e2)2＝4e－4e1·e2＋e＝4－4×＋1＝7，即|b|＝， 所以a在b方向上的投影為＝＝. 8