熱點(diǎn)(十)　直線與圓 1．(點(diǎn)與圓的位置關(guān)系)已知點(diǎn)(a，b)在圓C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，則ax＋by＝r2與C的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相離 C．內(nèi)含 D．相交 答案：D 解析：由已知得a2＋b2>r2，所以圓心到直線ax＋by＝r2的距離d＝<r，故直線ax＋by＝r2與C的位置關(guān)系是相交，故選D. 2．(圓的切線)過點(diǎn)(3,1)的圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 答案：B 解析：由題意知點(diǎn)(3,1)在圓上，代入圓的方程可得r2＝5，圓的方程為(x－1)2＋y2＝5， 則過點(diǎn)(3,1)的切線方程為(x－1)×(3－1)＋y×(1－0)＝5， 即2x＋y－7＝0.故選B. 3．(中點(diǎn)弦)若點(diǎn)P(1,1)為圓x2＋y2－6x＝0的弦AB的中點(diǎn)，則弦AB所在直線的方程為(　　) A．2x＋y－3＝0 B．x＋2y－3＝0 C．2x－y－1＝0 D．x－2y＋1＝0 答案：C 解析：圓x2＋y2－6x＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝9， 又因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)為圓x2＋y2－6x＝0的弦AB的中點(diǎn)， 圓心與點(diǎn)P確定的直線的斜率為＝－， 所以弦AB所在直線的斜率為2， 所以直線AB的直線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 4．(圓的切線)過點(diǎn)P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為(　　) A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ 答案：B 解析：圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1，以|PC|＝＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－.故選B. 5．(點(diǎn)到直線的距離公式)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－ B．－ C. D．2 答案：A 解析：由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圓心坐標(biāo)為(1,4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝＝1 ，解之得a＝－.故選A. 6．(最值問題)已知點(diǎn)P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為(　　) A．3 B. C．2 D．2 答案：D 解析：圓C：x2＋y2－2y＝0的圓心為(0,1)，半徑r＝1.由圓的性質(zhì)，知S四邊形PACB＝2S△PBC. ∵四邊形PACB的最小面積是2，∴S△PBC的最小值為1， 則rdmin＝1(d是切線長)，∴dmin＝2. ∵圓心到直線的距離就是PC的最小值， ∴|PC|min＝＝＝. ∵k>0，∴k＝2.故選D. 7．[2019·鄭州一中高三測試](直線與圓相切)已知圓(x－a)2＋y2＝1與直線y＝x相切于第三象限，則a的值是(　　) A. B．－ C．± D．－2 答案：B 解析：依題意得，圓心(a,0)到直線x－y＝0的距離等于半徑，即有＝1，|a|＝.又切點(diǎn)位于第三象限，結(jié)合圖形(圖略)可知，a＝－，故選B. 8．(對稱問題)一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 答案：D 解析：點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(diǎn)(2，－3)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，得圓心到直線的距離d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故選D. 9．[2019·河南鄭州模擬](相交弦長)在圓x2＋y2－2x－8y＋1＝0內(nèi)，過點(diǎn)E(0,1)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 答案：B 解析：圓的方程可化為(x－1)2＋(y－4)2＝16，∴圓心M(1,4)，半徑r＝4，如圖所示，顯然E在圓的內(nèi)部，設(shè)過E點(diǎn)的弦長為l，則l＝2＝2(d表示弦心距)． 由圖可知0≤d≤|ME|＝， ∴當(dāng)d＝0時(shí)，lmax＝2×4＝8＝|AC|(此時(shí)AC為圓的直徑)； 當(dāng)d＝時(shí)，lmin＝2＝2＝|BD|(此時(shí)AC⊥BD)． ∴S四邊形ABCD＝|AC||BD|＝×8×2＝8，故B正確． 10．(點(diǎn)的存在性問題)已知直線3x＋4y－15＝0與圓O：x2＋y2＝25交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在圓O上，且S△ABC＝8，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：圓心O到已知直線的距離d＝＝3， 因此|AB|＝2＝8，設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為h，則S△ABC＝×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圓的半徑)，因此與直線AB距離為2的兩條直線中一條與圓相切，一條與圓相交，故符合條件的點(diǎn)C有三個(gè)．故選C. 11．(圓的公切線)兩圓x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為(　　) A．1 B．3 C. D. 答案：A 解析：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依題意可得，兩圓外切，則兩圓圓心距離等于兩圓的半徑之和， 則＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9， 所以＋＝＝≥＝1，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝±b時(shí)取等號，故選A. 12．(點(diǎn)的存在性問題)已知圓C：x2＋y2＝1，點(diǎn)P(x0，y0)在直線l：3x＋2y－4＝0上，若在圓C上總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使＋＝，則x0的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：如圖，∵＋＝， ∴OP與AB互相垂直平分，∴ 圓心到直線AB的距離為<1，∴x＋y<4.① 又3x0＋2y0－4＝0，∴y0＝2－x0，代入①得x＋2<4，解得0<x0<， ∴實(shí)數(shù)x0的取值范圍是.故選A. 13．(弦長公式)直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為________． 答案：2 解析：由題意得，圓x2＋(y－2)2＝4的圓心為(0,2)，半徑為2， 圓心到直線x－y＝0的距離d＝＝. 設(shè)截得的弦長為l，則由2＋()2＝22，得l＝2. 14．(點(diǎn)的存在性問題)已知圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l：x＋y－6＝0，A為直線l上一點(diǎn)，若圓M上存在兩點(diǎn)B，C，使得∠BAC＝60°，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍為________． 答案：[1,5] 解析：由題意知，過點(diǎn)A的兩直線與圓M相切時(shí)，夾角最大，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，MA＝＝＝4.設(shè)A(x,6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍為[1,5]． 15．(距離最值問題)點(diǎn)P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點(diǎn)Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是________． 答案：3－5 解析：把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得 (x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4. 圓C1的圓心坐標(biāo)得(4,2)，半徑長是3；圓C2的圓心坐標(biāo)是(－2，－1)，半徑是2.圓心距d＝＝3. 所以|PQ|的最小值是3－5. 16．(參數(shù)范圍問題)設(shè)集合A＝(x，y)，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案： 解析：∵A∩B≠?，∴A≠?，∴m2≥，∴≥或m≤0. 顯然B≠?. 要使A∩B≠?，只需圓(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)與x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交點(diǎn)，即≤|m|或≤|m|， ∴≤m≤2＋. 又∵m≥或m≤0，∴≤m≤2＋. 當(dāng)m＝0時(shí)，(2,0)不在0≤x＋y≤1內(nèi)． 綜上所述，滿足條件的m的取值范圍為. 6