第7講 函數(shù)的圖象 1．函數(shù)y＝x2－2|x|的圖象是(　　) 解析：選B.由y＝x2－2|x|知是偶函數(shù)，故圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，排除C.當(dāng)x≥0時(shí)，y＝x2－2x＝(x－1)2－1.即當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－1，排除A、D，故選B. 2．若函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，則f(－3)等于(　　) A．－　 B．－ C．－1 D．－2 解析：選C.由圖象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，所以f(x)＝，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故選C. 3．已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞) B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1) C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1，1) D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0) 解析：選C.將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對(duì)值得f(x)＝畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1，1)上單調(diào)遞減． 4.已知函數(shù)y＝f(x)的大致圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的解析式可能為(　　) A．f(x)＝exln x B．f(x)＝e－xln|x| C．f(x)＝exln|x| D．f(x)＝e|x|ln|x| 解析：選C.如題干圖所示，函數(shù)定義域中有負(fù)數(shù)，排除選項(xiàng)A.函數(shù)不是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)D.當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，與B選項(xiàng)不符合，故排除選項(xiàng)B.當(dāng)x→－∞時(shí)，由f(x)增長(zhǎng)速度放緩，也可以排除選項(xiàng)B，D. 5．已知函數(shù)y＝f(1－x)的圖象如圖所示，則y＝f(1＋x)的圖象為(　　) 解析：選B.因?yàn)閥＝f(1－x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，a)，故f(0)＝a.所以y＝f(1＋x)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，a)，選B. 6.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，則f的值等于________． 解析：由圖象知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2. 答案：2 7．若函數(shù)f(x)＝的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)a＝________． 解析：函數(shù)f(x)＝＝a＋，當(dāng)a＝2時(shí)， f(x)＝2(x≠1)，函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱(chēng)，故a≠2，其圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(1，a)，所以a＝1. 答案：1 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對(duì)于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：如圖，作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象，觀察圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)－a≤1，即a≥－1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 9．已知函數(shù)f(x)＝. (1)畫(huà)出f(x)的草圖； (2)指出f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解：(1)f(x)＝＝1－，函數(shù)f(x)的圖象是由反比例函數(shù)y＝－的圖象向左平移1個(gè)單位后，再向上平移1個(gè)單位得到的，圖象如圖所示． (2)由圖象可以看出，函數(shù)f(x)有兩個(gè)單調(diào)增區(qū)間： (－∞，－1)，(－1，＋∞)． 10．已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0. (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)作出函數(shù)f(x)的圖象； (3)若方程f(x)＝a只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍． 解：(1)因?yàn)閒(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4. (2)f(x)＝x|x－4|＝ f(x)的圖象如圖所示． (3)從f(x)的圖象可知，當(dāng)a>4或a<0時(shí)，f(x)的圖象與直線y＝a只有一個(gè)交點(diǎn)，方程f(x)＝a只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即a的取值范圍是(－∞，0)∪(4，＋∞)． 1．已知函數(shù)f(x)＝則對(duì)任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　) A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0 C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0 解析：選D.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示： 且f(－x)＝f(x)，從而函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 又0<|x1|<|x2|， 所以f(x2)>f(x1)， 即f(x1)－f(x2)<0. 2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ex－(x<0)與g(x)＝x2＋ln(x＋a)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A. B．(－∞，) C. D. 解析：選B.由題意知，設(shè)x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＝g(－x0)，　 即x＋ex0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)， 所以ex0－ln(－x0＋a)－＝0. 令y1＝ex－，y2＝ln(－x＋a)，要使得函數(shù)圖象的交點(diǎn)A在y軸左側(cè)，如圖，則ln a<＝ln e，所以a<e. 3．(2019·遼寧沈陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋m)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于x＋y＝0對(duì)稱(chēng)，且g(0)＋g(－ln 2)＝1，則m＝________． 解析：設(shè)點(diǎn)(x，y)在g(x)的圖象上，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于x＋y＝0對(duì)稱(chēng)，則(－y，－x)在f(x)的圖象上，所以－x＝ln(－y＋m)，即y＝m－e－x，因此g(x)＝m－e－x.又因?yàn)間(0)＝m－1，g(－ln 2)＝m－2，所以m－1＋m－2＝1，解得m＝2. 答案：2 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 解析：法一：因?yàn)閒(2－x)＝|3－x|＋|2－x－a|＝|x＋a－2|＋|x－3|.又函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)． 故f(x)＝f(2－x)， 即|x＋1|＋|x－a|＝|x＋a－2|＋|x－3|對(duì)x∈R恒成立，則即a＝3. 法二：由絕對(duì)值的幾何意義知函數(shù)圖象的兩個(gè)“轉(zhuǎn)折”點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為－1和a，x＝－1，x＝a關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，故a－1＝2，則a＝3. 答案：3 5．已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)＝x＋＋2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0，1)對(duì)稱(chēng)． (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在區(qū)間(0，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)設(shè)f(x)圖象上任一點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P關(guān)于(0，1)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′(－x，2－y)在h(x)的圖象上，即2－y＝－x－＋2， 即y＝f(x)＝x＋(x≠0)． (2)g(x)＝f(x)＋＝x＋， g′(x)＝1－. 因?yàn)間(x)在(0，2]上為減函數(shù)，所以1－≤0在(0，2]上恒成立， 即a＋1≥x2在(0，2]上恒成立， 所以a＋1≥4，即a≥3， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，＋∞)． 6．已知函數(shù)f(x)＝2x，x∈R. (1)當(dāng)m取何值時(shí)，方程|f(x)－2|＝m有一個(gè)解？?jī)蓚€(gè)解？ (2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范圍． 解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，畫(huà)出F(x)的圖象如圖所示， 由圖象看出，當(dāng)m＝0或m≥2時(shí)，函數(shù)F(x)與G(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，原方程有一個(gè)解； 當(dāng)0<m<2時(shí)，函數(shù)F(x)與G(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程有兩個(gè)解． (2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t， 因?yàn)镠(t)＝－在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)， 所以H(t)>H(0)＝0. 因此要使t2＋t>m在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立， 應(yīng)有m≤0， 即所求m的取值范圍為(－∞，0]． 6