《2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓13 函數(shù)模型及其應用 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓13 函數(shù)模型及其應用 理 北師大版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課后限時集訓13
函數(shù)模型及其應用
建議用時:45分鐘
一、選擇題
1.如圖,在不規(guī)則圖形ABCD中,AB和CD是線段,AD和BC是圓弧,直線l⊥AB于E,當l從左至右移動(與線段AB有公共點)時,把圖形ABCD分成兩部分,設AE=x,左側部分面積為y,則y關于x的大致圖像為( )
A B C D
D [因為左側部分面積為y,隨x的變化而變化,最初面積增加得快,后來均勻增加,最后緩慢增加,只有D選項適合.]
2.某新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺,第二個月銷售200臺,第三個月銷售400臺,第四個月銷售790臺,則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y
2、與投放市場的月數(shù)x之間關系的是( )
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100log2x+100
C [根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知,應為指數(shù)函數(shù)模型.故選C.]
3.某商品價格前兩年每年遞增20%,后兩年每年遞減20%,則四年后的價格與原來價格比較,變化的情況是( )
A.減少7.84% B.增加7.84%
C.減少9.5% D.不增不減
A [設某商品原來價格為a,四年后價格為:
a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.921 6a,
(0.921 6-1)a=-0
3、.078 4a,
所以四年后的價格與原來價格比較,減少7.84%.]
4.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為( )
A. B.
C. D.-1
D [設年平均增長率為x,原生產(chǎn)總值為a,則a(1+p)·(1+q)=a(1+x)2,解得x=-1,故選D.]
5.某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關系f(x)=已知某家庭2019年前三個月的煤氣費如下表:
月份
用氣量
煤氣費
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
若
4、四月份該家庭使用了20 m3的煤氣,則其煤氣費為( )
A.11.5元 B.11元
C.10.5元 D.10元
A [根據(jù)題意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+(20-5)=11.5,故選A.]
二、填空題
6.一個工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元)與產(chǎn)量x(單位:臺)之間的函數(shù)關系是y=0.1x2+10x+300(0<x≤240,x∈N),若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元,生產(chǎn)的產(chǎn)品全部賣出,則該工廠獲得最大利潤(利潤=銷售收入-產(chǎn)品成本)時的產(chǎn)量是
5、________臺.
75 [由題意可知,利潤f(x)=25x-y=-0.1x2+15x-300,(0<x≤240,x∈N)
∴當x=75時,f(x)取到最大值.]
7.有一批材料可以建成200 m長的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場池,中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示),則圍成的矩形場地的最大面積為________m2.(圍墻厚度不計)
2 500 [設圍成的矩形場地的長為x m,則寬為 m,
則S=x·=(-x2+200x).
當x=100時,Smax=2 500(m2).]
8.已知投資x萬元經(jīng)銷甲商品所獲得的利潤為P=;投資x萬元經(jīng)銷乙商品
6、所獲得的利潤為Q= (a>0).
若投資20萬元同時經(jīng)銷這兩種商品或只經(jīng)銷其中一種商品,使所獲得的利潤不少于5萬元,則a的最小值為________.
[設投資乙商品x萬元(0≤x≤20),則投資甲商品(20-x)萬元.
利潤分別為Q= (a>0),P=,
因為P+Q≥5,0≤x≤20時恒成立,
則化簡得a≥,0≤x≤20時恒成立.
(1)x=0時,a為一切實數(shù);
(2)0<x≤20時,分離參數(shù)a≥,0<x≤20時恒成立,
所以a≥,a的最小值為.]
三、解答題
9.某種出口產(chǎn)品的關稅稅率為t,市場價格x(單位:千元)與市場供應量p(單位:萬件)之間近似滿足關系式:p=2(
7、1-kt)(x-b)2,其中k,b均為常數(shù).當關稅稅率t=75%時,若市場價格為5千元,則市場供應量約為1萬件;若市場價格為7千元,則市場供應量約為2萬件.
(1)試確定k,b的值.
(2)市場需求量q(單位:萬件)與市場價格x(單位:千元)近似滿足關系式:q=2-x,當p=q時,市場價格稱為市場平衡價格,當市場平衡價格不超過4千元時,試確定關稅稅率的最大值.
[解] (1)由已知得:
?
解得b=5,k=1.
(2)當p=q時,2(1-t)(x-5) 2=2-x,
所以(1-t)(x-5)2=-x?t=1+=1+.
而f(x)=x+在(0,4]上單調遞減,
所以當x=4時,
8、f(x)有最小值,
故當x=4時,關稅稅率的最大值為500%.
10.為響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”的號召,小李同學大學畢業(yè)后,決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過調查,生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本5萬元,每年生產(chǎn)x萬件,需另投入流動成本C(x)萬元,且C(x)=每件產(chǎn)品售價為10元,經(jīng)分析,生產(chǎn)的產(chǎn)品當年能全部售完.
(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式(年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本).
(2)年產(chǎn)量為多少萬件時,小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?最大利潤是多少?
[解] (1)因為每件產(chǎn)品售價為10元,所以x萬件產(chǎn)品銷售收入為1
9、0x萬元.
依題意得,當0<x<8時,P(x)=10x--5=-x2+6x-5;
當x≥8時,P(x)=10x--5=30-.
所以P(x)=
(2)當0<x<8時,P(x)=-(x-6)2+13,當x=6時,P(x)取得最大值P(6)=13;
當x≥8時,P′(x)=-1+<0,所以P(x)為減函數(shù),當x=8時,P(x)取得最大值P(8)=.
由13<可知當年產(chǎn)量為8萬件時,小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大,最大利潤為萬元.
1.(2019·全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要
10、解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1,月球質量為M2,地月距離為R,L2點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:+=(R+r).設α=.由于α的值很小,因此在近似計算中≈3α3,則r的近似值為( )
A. R B. R
C. R D. R
D [由+=(R+r),得+=M1.因為α=,所以+=(1+α)M1,得=.由≈3α3,得3α3≈,即33≈,
所以r≈·R,故選D.]
2.某汽車銷售公司在A
11、,B兩地銷售同一種品牌的汽車,在A地的銷售利潤(單位:萬元)為y1=4.1x-0.1x2,在B地的銷售利潤(單位:萬元)為y2=2x,其中x為銷售量(單位:輛),若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車,則能獲得的最大利潤是( )
A.10.5萬元 B.11萬元
C.43萬元 D.43.025萬元
C [設公司在A地銷售該品牌的汽車x(0≤x≤16且x∈N)輛,則在B地銷售該品牌的汽車(16-x)輛,所以可得利潤y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-·2+×+32.
因為x∈[0,16]且x∈N,
所以當x=10或11時,總利潤取得最大值
12、43萬元.]
3.某工廠投資100萬元開發(fā)新產(chǎn)品,第一年獲利10萬元,從第二年開始每年獲利比上一年增加20%.若從第n年開始,前n年獲利總和超過投入的100萬元,則n=________.(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
7 [由從第n年開始,前n年獲利總和超過投入的100萬元,得10+10×(1+20%)1+10×(1+20%)2+…+10(1+20%)n-1>100,即>100,所以n>=≈≈6.即從第7年開始,前7年獲利總和超過投入的100萬元.]
4.十九大提出對農村要堅持精準扶貧,至2020年底全面脫貧.現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實施脫貧工作,經(jīng)
13、摸底排查,該村現(xiàn)有貧困農戶100家,他們均從事水果種植,2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元.扶貧工作組一方面請有關專家對水果進行品種改良,提高產(chǎn)量;另一方面,抽出部分農戶從事水果包裝、銷售工作,其人數(shù)必須小于種植的人數(shù).從2018年初開始,若該村抽出5x戶(x∈Z,1≤x≤9)從事水果包裝、銷售工作,經(jīng)測算,剩下從事水果種植的農戶的年純收入每戶平均比上一年提高,而從事包裝、銷售的農戶的年純收入每戶平均為萬元(參考數(shù)據(jù):1.13=1.331,1.153≈1.521,1.23=1.728).
(1)至2020年底,為使從事水果種植的農戶能實現(xiàn)脫貧(每戶年均純收入不低于1萬6千元),至少要抽
14、出多少戶從事包裝、銷售工作?
(2)至2018年底,該村每戶年均純收入能否達到1.35萬元?若能,請求出從事包裝、銷售的戶數(shù);若不能,請說明理由.
[解] (1)至2020年底,種植戶平均收入=≥1.6,
即3≥1.6,
即x≥20(-1).
由題中所給數(shù)據(jù),知1.15<<1.2,所以3<20(-1)<4.
所以x的最小值為4,此時5x≥20,即至少要抽出20戶從事包裝、銷售工作.
(2)至2018年底,假設該村每戶年均純收入能達到1.35萬元.每戶的平均收入為
≥1.35,化簡得3x2-30x+70≤0.
因為x∈Z且1≤x≤9 ,所以x∈{4,5,6}.
所以當從事包裝
15、、銷售的戶數(shù)達到20至30戶時,能達到,否則,不能.
1.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.
①當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付________元;
②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為________.
130 15 [①一次購買草莓和西瓜各一盒需付款140元,若x=10,則超過
16、120元可少付10元,故顧客實際需要支付130元.
②設顧客一次購買水果促銷前總價為y元.
當y<120時,不享受優(yōu)惠,即x=0,此時0.8y≥0.7y,滿足要求.
當y≥120時,享受優(yōu)惠x元,則0.8(y-x)≥0.7y,得x≤y恒成立.又∵y≥120,∴y≥15,∴x≤15,即x的最大值為15.]
2.某種特色水果每年的上市時間從4月1號開始僅能持續(xù)5個月的時間.上市初期價格呈現(xiàn)上漲態(tài)勢,中期價格開始下降,后期價格在原有價格基礎之上繼續(xù)下跌.現(xiàn)有三種價格變化的模擬函數(shù)可供選擇:①f(x)=p·qx;②f(x)=px2+qx+7;③f(x)=logq(x+p).其中p,q均為常數(shù)且
17、q>1.(注:x表示上市時間,f(x)表示價格,記x=0表示4月1號,x=1表示5月1號,…,以此類推x∈[0,5])
(1)在上述三個價格模擬函數(shù)中,哪一個更能體現(xiàn)該種水果的價格變化態(tài)勢,請你選擇,并簡要說明理由;
(2)對(1)中所選的函數(shù)f(x),若f(2)=11,f(3)=10,記g(x)=,經(jīng)過多年的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),當函數(shù)g(x)取得最大值時,拓展外銷市場的效果最為明顯,請預測明年拓展外銷市場的時間是幾月1號?
[解] (1)根據(jù)題意,該種水果價格變化趨勢是先單調遞增后一直單調遞減,基本符合開口向下的二次函數(shù)變化趨勢,故應該選擇②f(x)=px2+qx+7.
(2)由f(2)=11,f(3)=10解得f(x)=-x2+4x+7.
g(x)==-
=-.
因為-≤-2,
當且僅當x+1=3,
即x=2時等號成立.
所以明年拓展外銷的時間應為6月1號.
7