《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)19 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題 文 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)19 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題 文 北師大版(3頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、課后限時(shí)集訓(xùn)19
利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題
建議用時(shí):45分鐘
1.(2019·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ln x-x-1.證明:
(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);
(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).
[解](1)證明:f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).
f′(x)=+ln x-1=ln x-.
因?yàn)閥=ln x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,y=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
所以f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
又f′(1)=-1<0,f′(2)=ln 2-=>0,
故存在唯一x0∈(1,2),使得f′(x0)=0.
又當(dāng)x
2、(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>x0時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
因此,f(x)存在唯一的極值點(diǎn).
(2)證明:由(1)知f(x0)0,
所以,f(x)=0在(x0,+∞)內(nèi)存在唯一根x=α.
由α>x0>1得<1<x0.
又f=ln --1==0,
故是f(x)=0在(0,x0)的唯一根.
綜上,f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).
2.已知函數(shù)f(x)=x3+x2+ax+b.
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)的圖像與直線y=ax恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的
3、值.
[解](1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x3+x2-x+b,
則f′(x)=3x2+2x-1,
由f′(x)>0,得x<-1或x>,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和.
(2)函數(shù)f(x)的圖像與直線y=ax恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn),等價(jià)于f(x)-ax=0有兩個(gè)不等的實(shí)根.
令g(x)=f(x)-ax=x3+x2+b,則g′(x)=3x2+2x.
由g′(x)>0,得x<-或x>0;
由g′(x)<0,得-<x<0.
所以函數(shù)g(x)在和(0,+∞)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)g(x)取得極大值g=+b;當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)g(x)取得極小值為g(
4、0)=b.
要滿足題意,則需g=+b=0或g(0)=b=0,所以b=-或b=0.
3.(2019·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1(a∈R)(e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論g(x)=f(x)·在區(qū)間[0,1]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
[解](1)∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a,
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0恒成立,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)<0,得x<ln a,令f′(x)>0,得x>ln a,
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,ln a),單調(diào)
5、遞增區(qū)間為(ln a,+∞).
(2)令g(x)=0,得f(x)=0或x=,
先考慮f(x)在區(qū)間[0,1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),
①當(dāng)a≤1時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增且f(0)=0,
∴f(x)在[0,1]上有一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)a≥e時(shí),f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,
∴f(x)在[0,1]上有一個(gè)零點(diǎn).
③當(dāng)1<a<e時(shí),f(x)在(0,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,1)上單調(diào)遞增.
而f(1)=e-a-1,當(dāng)e-a-1≥0,即1<a≤e-1時(shí),f(x)在[0,1]上有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)e-a-1<0,即e-1<a<e時(shí),f(x)在[0,1]上有一個(gè)零點(diǎn).
再考慮x=時(shí),由f=0,得a=2(-1).
綜上所述,當(dāng)a≤1或a>e-1或a=2(-1)時(shí),g(x)在[0,1]上有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)1<a≤e-1且a≠2(-1)時(shí),g(x)在[0,1]上有三個(gè)零點(diǎn).
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