考點十五　直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線 一、選擇題 1．(2019·陜西寶雞中學(xué)二模)若直線x＋(1＋m)y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ 答案　A 解析?、佼攎＝－1時，兩直線分別為x－2＝0和x－2y－4＝0，此時兩直線相交，不符合題意．②當m≠－1時，兩直線的斜率都存在，由直線平行可得解得m＝1，故選A. 2．(2019·湖北黃岡調(diào)研)過點A(1,2)的直線在兩坐標軸上的截距相等，則該直線方程為(　　) A．y－x＝1 B．y＋x＝3 C．2x－y＝0或x＋y＝3 D．2x－y＝0或－x＋y＝1 答案　C 解析　當直線過原點時，方程為y＝2x，即2x－y＝0；當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為x＋y＝k，把點(1,2)代入直線的方程可得k＝3，故直線方程是x＋y－3＝0.綜上可得所求的直線方程為2x－y＝0或x＋y－3＝0，故選C. 3．(2019·東北三省三校第二次模擬)圓x2－4x＋y2＝0與圓x2＋y2＋4x＋3＝0的公切線共有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 答案　D 解析　x2－4x＋y2＝0?(x－2)2＋y2＝22，圓心坐標為(2,0)，半徑為2；x2＋y2＋4x＋3＝0?(x＋2)2＋y2＝12，圓心坐標為(－2,0)，半徑為1.兩圓圓心距為4，兩圓半徑和為3，因為4>3，所以兩圓的位置關(guān)系是外離，故兩圓的公切線共有4條，故選D. 4．(2019·河北邯鄲一模)位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5 m，跨徑為12 m，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準線的距離為(　　) A． m B． m C． m D． m 答案　D 解析　以橋頂為坐標原點，橋形的對稱軸為y軸建立直角坐標系xOy，結(jié)合題意可知，該拋物線x2＝－2py(p>0)經(jīng)過點(6，－5)，則36＝10p，解得p＝，故橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準線的距離為p＝，故選D. 5．已知雙曲線－＝1的離心率為，則a的值為(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－1 答案　C 解析　當焦點在x軸上時，a>0,2－a2>0，e2＝＝2，解得a＝1，當焦點在y軸上時，a<0，2－a2<0，e2＝＝2，解得a＝－2，綜上知a＝1或a＝－2. 6．已知圓(x－a)2＋y2＝1與直線y＝x相切于第三象限，則a的值是(　　) A． B．－ C．± D．－2 答案　B 解析　依題意得，圓心(a,0)到直線x－y＝0的距離等于半徑，即有＝1，|a|＝.又切點位于第三象限，結(jié)合圖形(圖略)可知，a＝－，故選B. 7．若拋物線y2＝2px(p>0)上的點A(x0，)到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于(　　) A． B．1 C． D．2 答案　D 解析　由題意3x0＝x0＋，x0＝，則＝2， ∵p>0，∴p＝2. 8．已知橢圓C：＋y2＝1與動直線l：2mx－2y－2m＋1＝0(m∈R)，則直線l與橢圓C交點的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．不確定 答案　C 解析　由題2mx－2y－2m＋1＝0，即m(2x－2)＋1－2y＝0可知直線l過定點，將代入＋y2，得＋＝<1，即點在橢圓內(nèi)部，故直線l與橢圓有兩個交點，故選C. 二、填空題 9．(2019·湖南株洲第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)設(shè)直線l：3x＋4y＋a＝0，與圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝25交于A，B，且|AB|＝6，則a的值是________． 答案　10或－30 解析　因為|AB|＝6，所以圓心到直線的距離為d＝＝＝4，所以＝4，即a＝10或a＝－30. 10．(2019·河南鶴壁模擬)與雙曲線－＝1具有相同的漸近線，且經(jīng)過點A(3，－2)的雙曲線方程是________． 答案?。? 解析　設(shè)與雙曲線－＝1具有相同的漸近線的雙曲線的方程為－＝m(m≠0)，代入點A(3，－2)，解得m＝，則所求雙曲線的方程為－＝，即－＝1. 11．已知橢圓C的焦點在x軸上，長軸長為4，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，則橢圓C的方程為________． 答案?。珁2＝1 解析　設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意得解得a＝2，b＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. 12．過拋物線y2＝4x的焦點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4x＋4y＝0截得的弦長是________． 答案　 解析　依題意，拋物線的焦點坐標是(1,0)，相應(yīng)的直線方程是y＝(x－1)，即x－y－＝0.題中的圓(x－2)2＋(y＋2)2＝16的圓心坐標是(2，－2)、半徑為4，則圓心(2，－2)到直線x－y－＝0的距離d＝＝，因此所求的弦長為2 ＝. 三、解答題 13．過原點O作圓x2＋y2－8x＝0的弦OA. (1)求弦OA的中點M的軌跡方程； (2)延長OA到N，使|OA|＝|AN|，求點N的軌跡方程． 解　(1)設(shè)M的坐標為(x，y)， 則A(2x,2y)，因為點A在圓x2＋y2－8x＝0上， 所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0， 即x2＋y2－4x＝0. 因此點M的軌跡方程為x2＋y2－4x＝0. (2)設(shè)N(x，y)，∵|OA|＝|AN|， ∴A為線段ON的中點，∴A， 又A在圓x2＋y2－8x＝0上， ∴2＋2－4x＝0， 即x2＋y2－16x＝0. 因此，點N的軌跡方程為x2＋y2－16x＝0. 14．(2019·安徽合肥第二次質(zhì)檢)已知點A(1,0)和動點B，以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O：x2＋y2＝4. (1)求動點B的軌跡方程； (2)已知點P(2,0)，Q(2，－1)，經(jīng)過點Q的直線l與動點B的軌跡交于M，N兩點，求證：直線PM與直線PN的斜率之和為定值. 解　(1)如圖，設(shè)以線段AB為直徑的圓的圓心為C，取A′(－1，0)．依題意，圓C內(nèi)切于圓O，設(shè)切點為D，則O，C，D三點共線， ∵O為AA′的中點，C為AB的中點， ∴|A′B|＝2|OC|. ∴|BA′|＋|BA|＝2|OC|＋2|AC| ＝2|OC|＋2|CD|＝2|OD|＝4>|AA′|＝2， ∴動點B的軌跡是以A，A′為焦點，長軸長為4的橢圓，設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0)， 則2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1， ∴b2＝a2－c2＝3，∴動點B的軌跡方程為＋＝1. (2)證明：①當直線l垂直于x軸時，直線l的方程為x＝2，此時直線l與橢圓＋＝1相切，與題意不符． ②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－2)． 由消去y整理得 (4k2＋3)x2－(16k2＋8k)x＋16k2＋16k－8＝0. ∵直線l與橢圓交于M，N兩點， ∴Δ＝(16k2＋8k)2－4(4k2＋3)(16k2＋16k－8)>0， 解得k<. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴kPM＋kPN＝＋ ＝＋ ＝2k－＝2k－ ＝2k－ ＝2k－ ＝2k＋3－2k＝3(定值)． 一、選擇題 1．圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2距離的最大值是(　　) A．1＋ B．2 C．1＋ D．2＋2 答案　A 解析　將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圓心為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝＝，故圓上的點到直線x－y＝2距離的最大值為d＋1＝＋1. 2．若過點P(2,1)的直線l與圓C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于兩點A，B，且∠ACB＝60°(其中C為圓心)，則直線l的方程是(　　) A．4x－3y－5＝0 B．x＝2或4x－3y－5＝0 C．4x－3y＋5＝0 D．x＝2或4x－3y＋5＝0 答案　B 解析　由題意可得，圓C的圓心為C(－1,2)，半徑為2，因為∠ACB＝60°，所以△ABC是邊長為2的正三角形，所以圓心C到直線l的距離為3.若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝2，與圓相交，且圓心C到直線l的距離為3，滿足條件；若直線l的斜率存在，不妨設(shè)l：y－1＝k(x－2)，則圓心C到直線l的距離d＝＝3，解得k＝，所以此時直線l的方程為4x－3y－5＝0.故選B. 3．(2019·湖南師大附中月考七)已知動圓C經(jīng)過點A(2,0)，且截y軸所得的弦長為4，則圓心C的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 答案　D 解析　設(shè)圓心C(x，y)，弦為BD，過點C作CE⊥y軸，垂足為E，則|BE|＝2，∴|CA|2＝|CB|2＝|CE|2＋|BE|2，∴(x－2)2＋y2＝22＋x2，化為y2＝4x，故選D. 4．(2019·山西晉城三模)設(shè)雙曲線C：－＝1(m>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與雙曲線C交于M，N兩點，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，則|MN|＝(　　) A．8 B．8 C．4 D．4 答案　A 解析　由∠F2MN＝∠F2NM可知|F2M|＝|F2N|.由又|MF2|－|MF1|＝4，|NF1|－|NF2|＝4，所以|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8，故選A. 5．拋物線C：y2＝4x的焦點為F，N為準線上一點，M為y軸上一點，∠MNF為直角，若線段MF的中點E在拋物線C上，則△MNF的面積為(　　) A． B． C． D．3 答案　C 解析　如圖所示，不妨設(shè)點N在第二象限，連接EN，易知F(1,0)，因為∠MNF為直角，點E為線段MF的中點，所以|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在拋物線C上，所以EN⊥準線x＝－1，E，所以N(－1，)，M(0，2)，所以|NF|＝，|NM|＝，所以△MNF的面積為. 6．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，過焦點F且傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點，若|AB|＝8，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 答案　C 解析　∵拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，∴過點F且傾斜角為的直線方程為y＝，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得?3x2－5px＋p2＝0，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則xA＋xB＝.所以|AB|＝xA＋xB＋p＝＝8，所以p＝3，所以拋物線的方程為y2＝6x. 7．(2019·山東四校聯(lián)合考試)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上異于長軸端點的一點，△MF1F2的內(nèi)心為I，直線MI交x軸于點E，若＝2，則橢圓C的離心率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　△MF1F2的內(nèi)心為I，連接F1I和F2I，則F1I為∠MF1F2的平分線，即＝，同理，＝，所以 ＝＝＝2，即＝＝＝＝2，則e＝，故選B. 8．(2019·廣西桂林、崇左二模)過雙曲線x2－＝1的右支上一點P分別向圓C1：(x＋2)2＋y2＝4和圓C2：(x－2)2＋y2＝1作切線，切點分別為M，N，則|PM|2－|PN|2的最小值為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　A 解析　圓C1：(x＋2)2＋y2＝4的圓心為(－2,0)，半徑為r1＝2，圓C2：(x－2)2＋y2＝1的圓心為(2,0)，半徑為r2＝1，設(shè)雙曲線x2－＝1的左、右焦點為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2,0)，連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，可得|PM|2－|PN|2＝(|PF1|2－r)－(|PF2|2－r)＝(|PF1|2－4)－(|PF2|2－1)＝|PF1|2－|PF2|2－3＝(|PF1|－|PF2|)(|PF1|＋|PF2|)－3＝2a(|PF1|＋|PF2|)－3＝2(|PF1|＋|PF2|)－3≥2×2c－3＝2×4－3＝5.當且僅當P為右頂點時，取得等號，故選A. 二、填空題 9．兩條漸近線所成的銳角為60°，且經(jīng)過點(，)的雙曲線的標準方程為________． 答案　x2－＝1或－＝1 解析　因為兩條漸近線所成的銳角為60°，所以一條漸近線的傾斜角為30°或60°，斜率為或，方程為x±y＝0或x±y＝0.設(shè)雙曲線的標準方程為x2－3y2＝λ(λ≠0)或3x2－y2＝μ(μ≠0)，將點(，)代入可求得λ＝－7，μ＝3.所以雙曲線的標準方程為x2－＝1或－＝1. 10．(2019·河北邯鄲一模)若圓C：x2＋2＝n的圓心為橢圓M：x2＋my2＝1的一個焦點，且圓C經(jīng)過M的另一個焦點，則圓C的標準方程為________． 答案　x2＋(y＋1)2＝4 解析　由題意得，橢圓M： x2＋＝1(m>0)的一個焦點坐標為， 另一個焦點在圓C上， 所以解得m＝，n＝4， 所以圓C的標準方程為x2＋(y＋1)2＝4. 11．若圓x2＋y2－4x－4y＝0上至少有三個不同的點到直線l：y＝kx的距離為，則直線l的斜率的取值范圍是________． 答案　[2－，2＋] 解析　圓的方程可化為(x－2)2＋(y－2)2＝8，其圓心為(2,2)，半徑為2，當圓心(2,2)到直線kx－y＝0的距離為時，有＝，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝2±，結(jié)合圖形可知(圖略)，為使圓x2＋y2－4x－4y＝0上至少有三個不同的點到直線l的距離為，需有k∈[2－，2＋]． 12．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，則雙曲線的離心率為________． 答案　 解析　據(jù)題意設(shè)|AB|＝3x，|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，故有AB⊥BF2，又根據(jù)雙曲線定義， 得解得x＝a，|AF1|＝3a，故有|F1B|＝6a，|BF2|＝4a，|F1F2|＝2c，由勾股定理可得36a2＋16a2＝4c2，所以e＝＝. 三、解答題 13．在直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點P在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程； (2)若斜率存在，縱截距為－2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若直線AP，BP的斜率均存在，求證：直線AP，OP，BP的斜率依次成等差數(shù)列． 解　(1)由＝，＋＝1及a2＝b2＋c2，得a＝2，b＝，c＝1，∴C：＋＝1. (2)證明：設(shè)l：y＝kx－2，代入橢圓C的方程，知 (3＋4k2)x2－16kx＋4＝0. ∵Δ>0，∴k2>. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝， kAP＋kBP＝＋ ＝ ＝ ＝＝＝3. ∴kAP＋kBP＝2kOP，∴直線AP，OP，BP的斜率依次成等差數(shù)列． 14．(2019·全國卷Ⅰ)已知點A，B關(guān)于坐標原點O對稱，|AB|＝4，⊙M過點A，B且與直線x＋2＝0相切． (1)若A在直線x＋y＝0上，求⊙M的半徑； (2)是否存在定點P，使得當A運動時，|MA|－|MP|為定值？并說明理由． 解　(1)因為⊙M過點A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上．由已知A在直線x＋y＝0上，且A，B關(guān)于坐標原點O對稱，所以M在直線y＝x上，故可設(shè)M(a，a)． 因為⊙M與直線x＋2＝0相切，所以⊙M的半徑為r＝|a＋2|. 由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半徑r＝2或r＝6. (2)存在定點P(1,0)，使得|MA|－|MP|為定值． 理由如下： 設(shè)M(x，y)，由已知得⊙M的半徑為r＝|x＋2|，|AO|＝2. 由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化簡得M的軌跡方程為y2＝4x. 因為曲線C：y2＝4x是以點P(1,0)為焦點，以直線x＝－1為準線的拋物線，所以|MP|＝x＋1. 因為|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在滿足條件的定點P. - 12 -