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垂徑定理 圓心角 圓周角定理 一 選擇題： 1、如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OBC=42，則∠A的度數(shù)是（　 　） A．42　　　　　　B．48　　　　　　C．52　　　　　 　D．58 2.如圖，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均在⊙O上，∠AOD=50，AO∥DC，則∠B的度數(shù)為( ) A．50 B．55 C．60 D．65 3.如圖，點(diǎn)B、D、C是⊙O上的點(diǎn)，∠BDC=130，則∠BOC是（ ） A．100 B．110 C．120 D．130 4.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在線段AB（包括端點(diǎn)A，B）上移動(dòng)，則OM取值范圍是（ ） A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5 C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5 5、如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點(diǎn)C，則圖中與∠BCE相等的角有（ ） A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 6.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上．點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為86、30，則∠ACB的大小為( ) A．15 B．28 C.29 D．34 7.如圖，C為⊙O直徑AB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C的直線交⊙O于D、E兩點(diǎn),且∠ACD=45,DF⊥AB于點(diǎn)F,EG⊥AB于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)AF=x,DE=y,下列中圖象中,能表示y與x的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是( ) 8.如圖.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的內(nèi)部，，，，則下列關(guān)系中，正確的是（ ） A. B. C． D. 9.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，AD=DC，∠ADB=20，則∠ACB，∠DBC分別為（ ） A．15與30 B．20與35 C．20與40 D．30與35 10.圖中∠BOD的度數(shù)是（ ） A．55 B．110 C．125 D．150 11.如圖，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)O為△ABC的外心，∠O=140，則∠I為（ ） （A）140 （B）125 （C）130 （D）110 12.如圖,弦AB∥CD，E為上一點(diǎn)，AE平分，則圖中與相等（不包括）的角共有（　?。? A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè) 13、如圖，已知的半徑為1，銳角內(nèi)接于，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值等于（ ） A．的長(zhǎng) B．的長(zhǎng) C．的長(zhǎng) D．的長(zhǎng) 14.如圖，在直角∠O的內(nèi)部有一滑動(dòng)桿AB，當(dāng)端點(diǎn)A沿直線AO向下滑動(dòng)時(shí)，端點(diǎn)B會(huì)隨之自動(dòng)地沿直線OB向左滑動(dòng)，如果滑動(dòng)桿從圖中AB處滑動(dòng)到A′B′處，那么滑動(dòng)桿的中點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑是（　 ?。? A.直線的一部分 B.圓的一部分C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分 15.如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60.若動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿著B→A的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿著A→C的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，t的值為（ ） A. B.C.或 D.或或 16.如圖，，在以為直徑的半圓上，，在上，為正方形，若正方形邊長(zhǎng)為1，，，則下列式子中，不正確的是（ ） A.B. C. D. 17.如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB=20，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)．若MN=1，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為（　?。? A．4　　 　　B．5　　　 　C．6　　 　　D．7 18.如圖，在△ABC中，AD是高，AE是直徑，AE交BC于G，有下列四個(gè)結(jié)論：①AD2=BDCD；②BE2=EGAE； ③AEAD=ABAC；④AGEG=BGCG．其中正確結(jié)論的有（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 19.如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，分別以AC，BC為邊向外作正方形ACDE，BCFG，DE，F(xiàn)G，，的中點(diǎn)分別是M，N，P，Q。若MP+NQ=14，AC+BC=20，則AB的長(zhǎng)是（ ） A. B. C.13 D.16 20.如圖,AB是⊙O的直徑,M是⊙O上一點(diǎn),MN⊥AB,垂足為N，P、Q分別是弧AM、弧BM上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．若∠MNP=∠MNQ.下面結(jié)論：①∠PNA=∠QNB；②∠P+∠Q=180；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN2=PN?QN．正確的結(jié)論有（　 ?。? A．2個(gè)　　 　　B．3個(gè)　　 　　C．4個(gè)　 　　　D．5個(gè) 二 填空題: 21.如圖所示,已知⊙O是△ABD的外接圓,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,∠ABD=54，則∠BCD=　　　?。? 22.如圖,點(diǎn)A,B,C,D在⊙O上,點(diǎn)O在∠D的內(nèi)部,四邊形OABC為平行四邊形,則∠OAD+∠OCD=　　 ． 23、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=40，以B為圓心，BA的長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠DAC的度數(shù)是_______． 24.如圖，一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的刻度是58，則∠ACD的度數(shù)為________． 25.如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)EC．若AB=8，CD=2，則EC的長(zhǎng)為　　　　　　． 26.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為4，則陰影部分的面積等于 ． 27.如圖，A、B、C、D依次為一直線上4個(gè)點(diǎn)，BC=2，△BCE為等邊三角形，⊙O過(guò)A、D、E3點(diǎn)，且∠AOD=120．設(shè)AB=x，CD=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為　 ． 28.如圖，AB是圓O的一條弦，C是圓O上一動(dòng)點(diǎn)且∠ACB=450，E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與圓O交于點(diǎn)G、H.若圓O的半徑為2，則GE+FH的最大值為 . 29.如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是　 ?。? 30.如圖，直線l經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC=30，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于另一點(diǎn)Q，如果QP=QO，則∠OCP=_______． 三 簡(jiǎn)答題: 31.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，EC=BC=DC． （1）若∠CBD=39，求∠BAD的度數(shù)； （2）求證：∠1=∠2． 32.已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D． （Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長(zhǎng)； （Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60，求BD的長(zhǎng)． 33.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，⊙P的半徑是4，直線被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 34.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，PB與CD交于點(diǎn)F，∠PBC=∠C． （1）求證：CB∥PD； （2）若∠PBC=22.5，⊙O的半徑R=2，求劣弧AC的長(zhǎng)度． 35.如圖，在邊長(zhǎng)為2的圓內(nèi)接正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，P為邊CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交圓于點(diǎn)E． （1）∠ E=　 　度； （2）寫出圖中現(xiàn)有的一對(duì)不全等的相似三角形，并說(shuō)明理由； （3）求弦DE的長(zhǎng)． 36.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E,F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC. 求證： BC=2CD. 37.如圖,△內(nèi)接于⊙，∠與∠的角平分線相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交⊙于點(diǎn)，連接，，且∠ （1）求∠的大?。? （2）求證：△為等邊三角形； （3）若∠，⊙的半徑為，求等邊三角形的邊長(zhǎng)． 38.在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD． (1)如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r。 (2)如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC=25，求∠DCA的度數(shù)． 39.如圖，有兩條公路 OM、ON 相交成 30角，沿公路 OM 方向離 O 點(diǎn) 80 米處有一所學(xué)校 A．當(dāng) 重型運(yùn)輸卡車 P 沿道路 ON 方向行駛時(shí)，在以 P 為圓心 50 米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到卡車噪 聲的影響，且卡車 P 與學(xué)校 A 的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運(yùn)輸卡車 P 沿道路 ON 方向行 駛的速度為 18 千米/時(shí)． （1）求對(duì)學(xué)校 A 的噪聲影響最大時(shí)卡車 P 與學(xué)校 A 的距離； 求卡車 P 沿道路 ON 方向行駛一次給學(xué)校 A 帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間． 40.如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD． （1）求證：∠DAC=∠DBA； （2）求證：P是線段AF的中點(diǎn)； （3）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長(zhǎng)． 參考答案 1、B．2、D 3、A 4、A 5、D 6、B． 7、A 8、B9、B 10、B 11、B． 12、C 13、A 14、B 15、A 16、D 17、B． 18、B 19、D 20、B． 試題分析：延長(zhǎng)QN交圓O于C，延長(zhǎng)MN交圓O于D，如圖： ∵M(jìn)N⊥AB，∴∠MNA=∠MNB=90，∵∠MNP=∠MNQ，∴∠PNA=∠QNB，故①對(duì)； ∵∠P+∠PMN＜180，∴∠P+∠Q＜180，故②錯(cuò)； 因?yàn)锳B是⊙O的直徑，MN⊥AB，∴，∵∠PNA=∠QNB，∠ANC=∠QNB，∴∠PNA=∠ANC，∴P，C關(guān)于AB對(duì)稱，∴，∴，∴∠Q=∠PMN，故③對(duì)； ∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，∴△PMN∽△MQN，∴MN2=PN?QN，PM不一定等于MQ，所以④錯(cuò)誤，⑤對(duì)． 故選B． 21、　36?。?2、60 23、30； 24.61　 25、2． 26、π． 27、　y=（x＞0） 28、 29、 30、　40或100或20?。? 【解答】解：①根據(jù)題意，畫出圖（1），在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCP， 在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，又∵∠AOC=30，∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30， 在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180，即（∠OCP+30）+（∠OCP+30）+∠OCP=180， 整理得，3∠OCP=120，∴∠OCP=40． ②當(dāng)P在線段OA的延長(zhǎng)線上（如圖2）∵OC=OQ，∴∠OQP=（180﹣∠QOC）①， ∵OQ=PQ，∴∠OPQ=（180﹣∠OQP）②，在△OQP中，30+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180③， 把①②代入③得：60+∠QOC=∠OQP， ∵∠OQP=∠QCO，∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60+∠QOC）=180，∴∠QOC=20，則∠OQP=80∴∠OCP=100； ③當(dāng)P在線段OA的反向延長(zhǎng)線上（如圖3）， ∵OC=OQ，∴∠OCP=∠OQC=（180﹣∠COQ）①，∵OQ=PQ，∴∠P=（180﹣∠OQP）②， ∵∠AOC=30，∴∠COQ+∠POQ=150③，∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④， ①②③④聯(lián)立得∠P=10，∴∠OCP=180﹣150﹣10=20． 故答案為：40或100或20． 31、【解答】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39， ∵∠BAC=∠CDB=39，∠CAD=∠CBD=39，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39+39=78； （2）證明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE， 而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD， ∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2． 32、解：（1）AC=8… BD=CD=… （2）BD=5… 33、解：延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P做PD⊥AB于D∴AD=BD== 連接PA 在△PDA中，∠PDA=90，PA=4，AD=∴PD=2 ∵⊙P與y軸相切于點(diǎn)C∴PC⊥y軸，∴∠OCE=90∵直線y=x,∴∠COE=45∴∠CEO=45，OC=CE 在△PDE中，∠PDE=90，PD=2，∴PE=∴CE=4+，∴OC=4+ ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（4，4+） 【答案】點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（4，4+） 34、解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，∴∠C=∠D，∴CB∥PD； （2）連結(jié)OC，OD．∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∴= ∵∠PBC=∠C=22.5，∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45，∴∠AOC=180﹣∠BOC=135，∴劣弧AC的長(zhǎng)為：． 35、【解答】解：（1）∵ ∠ ACD=45，∠ ACD=∠ E，∴ ∠ E=45． （2）△ ACP∽ △ DEP，理由：∵ ∠ AED=∠ACD，∠ APC=∠ DPE，∴ △ ACP∽ △ DEP． （3）方法一：∵ △ ACP∽ △ DEP，∴ ． ∵ P為CD邊中點(diǎn)，∴ DP=CP=1∵ AP=，AC=，∴ DE=． 方法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥ AE于點(diǎn)F，在Rt△ ADP中，AP=． 又∵ S△ ADP=AD?DP=AP?DF，∴ DF=．∴DE=DF=． 36. 37、 38、解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E，則AE=AC=2=1。 ∵翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，∴OE=r。 在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（r）2，解得r=。---3分 （2）連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90。 ∵∠BAC=25，∴∠B=90﹣∠BAC=90﹣25=65。 根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對(duì)的圓周角等于所對(duì)的圓周角∴∠DCA=∠B﹣∠A=65﹣25=40。 39、【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn) A 作 AD⊥ON 于點(diǎn) D，∵∠NOM=30，AO=80m，∴AD=40m， 即對(duì)學(xué)校 A 的噪聲影響最大時(shí)卡車 P 與學(xué)校 A 的距離為 40 米； 由圖可知：以 50m 為半徑畫圓，分別交 ON 于 B，C 兩點(diǎn)，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m， ∵在 Rt△AOD 中，∠AOB=30，∴AD= OA= 80=40m， 在 Rt△ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD== =30m， 故 BC=230=60 米，即重型運(yùn)輸卡車在經(jīng)過(guò) BC 時(shí)對(duì)學(xué)校產(chǎn)生影響． ∵重型運(yùn)輸卡車的速度為 18 千米/小時(shí)，即=300 米/分鐘， ∴重型運(yùn)輸卡車經(jīng)過(guò) BC 時(shí)需要 60300=0.2（分鐘）=12（秒）． 答：卡車 P 沿道路 ON 方向行駛一次給學(xué)校 A 帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間為 12 秒． 40、（1）證明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA， ∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對(duì)的圓周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA， ∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90， ∴∠ADE+∠DAE=90，∠DBA+∠DAE=90，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA； （2）證明：∵AB為直徑，∴∠ADB=90， ∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90，∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90，∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，∴PD=PA， ∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90，且∠ADB=90，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF， ∴PA=PF，即P是線段AF的中點(diǎn)； （3）解：連接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD， ∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90，∴AB=5，故⊙O的半徑為2.5， ∵DEAB=ADBD，∴5DE=34，∴DE=2.4．即DE的長(zhǎng)為2.4．