九年級數(shù)學上學期期中試卷(含解析) 新人教版3 (9)
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2016-2017學年湖北省宜昌九中九年級(上)期中數(shù)學試卷 一、選擇題:(本大題滿分45分,共15小題,每題3分.在下列各小題給出的四個選項中,只有一項符合題目的要求,請把符合要求的選項前面的字母代號填寫在答卷上指定的位置) 1.下列標志既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( ) A. B. C. D. 2.方程x2=2x的解是( ?。? A.x=0 B.x=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2= 3.三角形的兩邊長分別是3和6,第三邊是方程x2﹣6x+8=0的解,則這個三角形的周長是( ?。? A.11 B.13 C.11或13 D.11和13 4.與y=2(x﹣1)2+3形狀相同的拋物線解析式為( ) A.y=1+x2 B.y=(2x+1)2 C.y=(x﹣1)2 D.y=2x2 5.將拋物線y=2x2向左平移1個單位,再向上平移3個單位得到的拋物線,其解析式是( ) A.y=2(x+1)2+3 B.y=2(x﹣1)2﹣3 C.y=2(x+1)2﹣3 D.y=2(x﹣1)2+3 6.已知點A(a,1)與點A′(5,b)關于坐標原點對稱,則實數(shù)a、b的值是( ?。? A.a(chǎn)=5,b=1 B.a(chǎn)=﹣5,b=1 C.a(chǎn)=5,b=﹣1 D.a(chǎn)=﹣5,b=﹣1 7.拋物線y=﹣2(x﹣3)2+5的頂點坐標是( ) A.(3,﹣5) B.(﹣3,5) C.(3,5) D.(﹣3,﹣5) 8.下表是滿足二次函數(shù)y=ax2+bx+c的五組數(shù)據(jù),x1是方程ax2+bx+c=0的一個解,則下列選項中正確的是( ?。? x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72 A.1.6<x1<1.8 B.1.8<x1<2.0 C.2.0<x1<2.2 D.2.2<x1<2.4 9.已知關于x的方程(m+3)x2+5x+m2﹣9=0有一個解是0,則m的值為( ?。? A.﹣3 B.3 C.3 D.不確定 10.若關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍是( ) A.k<5 B.k<5,且k≠1 C.k≤5,且k≠1 D.k>5 11.若方程x2﹣3x﹣2=0的兩實根為x1、x2,則(x1+2)(x2+2)的值為( ?。? A.﹣4 B.6 C.8 D.12 12.如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,那么下列判斷中,不正確的是( ?。? A.a(chǎn)>0 B.b>0 C.c<0 D.b2﹣4ac>0 13.某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價,每件零售價由560元降為315元,已知兩次降價的百分率相同,求每次降價的百分率.設每次降價的百分率為x,下面所列的方程中正確的是( ) A.560(1+x)2=315 B.560(1﹣x)2=315 C.560(1﹣2x)2=315 D.560(1﹣x2)=315 14.已知0≤x≤,則函數(shù)y=x2+x+1( ?。? A.有最小值,但無最大值 B.有最小值,有最大值1 C.有最小值1,有最大值 D.無最小值,也無最大值 15.在同一平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=ax+1與二次函數(shù)y=ax2﹣a的圖象可能是( ?。? A. B. C. D. 二、解答題:(本大題滿分75分,共9小題) 16.解方程:x(2x﹣1)=3(1﹣2x) 17.已知關于x的二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為(﹣1,2),且圖象過點(1,﹣3), (1)求這個二次函數(shù)的關系式; (2)寫出它的開口方向、對稱軸. 18.已知關于x的一元二次方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0. (1)求證:方程總有兩個不相等的實數(shù)根. (2)若此方程的一個根是1,求出方程的另一個根及m的值. 19.如圖所示的正方形網(wǎng)格中,△ABC的頂點均在格點上,請在所給直角坐標系中按要求畫圖和解答下列問題: (1)作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1; (2)作出△ABC關于坐標原點O成中心對稱的△A2B2C2; (3)作出點C關于x軸的對稱點P. 若點P向右平移x(x取整數(shù))個單位長度后落在△A2B2C2的內(nèi)部,請直接寫出x的值. 20.如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到△ADE,連接BD,CE交于點F. (1)求證:△AEC≌△ADB; (2)若AB=2,∠BAC=45,當四邊形ADFC是菱形時,求BF的長. 21.如圖,在矩形ABCD中,B(16,12),E、F分別是OC、BC上的動點,EC+CF=8. 當F運動到什么位置時,△AEF的面積最小,最小為多少? 22.小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似的看作一次函數(shù):y=﹣10x+500,在銷售過程中銷售單價不低于成本價,而每件的利潤不高于成本價的60%. (1)設小明每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式,并確定自變量x的取值范圍. (2)當銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少? (3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進價銷售量) 23.在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O;在Rt△PMN中,∠MPN=90. (1)如圖1,若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分別交AD、AB于點E、F,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系; (2)將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉角度α(0<α<45). ①如圖2,在旋轉過程中(1)中的結論依然成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由; ②如圖2,在旋轉過程中,當∠DOM=15時,連接EF,若正方形的邊長為2,請直接寫出線段EF的長; ③如圖3,旋轉后,若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動(不與點O、B重合),當BD=3BP時,猜想此時PE與PF的數(shù)量關系,并給出證明;當BD=m?BP時,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系. 24.如圖,一次函數(shù)y=﹣x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點. (1)求這個拋物線的解析式; (2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這個拋物線于N.求當t取何值時,四邊形OANB的面積有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的情況下,設點P為直線x=t上的一個動點,求使△APB為直角三角形的點P的坐標. 2016-2017學年湖北省宜昌九中九年級(上)期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題:(本大題滿分45分,共15小題,每題3分.在下列各小題給出的四個選項中,只有一項符合題目的要求,請把符合要求的選項前面的字母代號填寫在答卷上指定的位置) 1.下列標志既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( ) A. B. C. D. 【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形. 【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念判斷即可. 【解答】解:A、是軸對稱圖形,是中心對稱圖形.故正確; B、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形.故錯誤; C、不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形.故錯誤; D、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形.故錯誤. 故選:A. 2.方程x2=2x的解是( ?。? A.x=0 B.x=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2= 【考點】解一元二次方程-因式分解法;因式分解-提公因式法. 【分析】把右邊的項移到左邊,用提公因式法因式分解,可以求出方程的兩個根. 【解答】解:x2﹣2x=0 x(x﹣2)=0 ∴x1=0,x2=2. 故選C. 3.三角形的兩邊長分別是3和6,第三邊是方程x2﹣6x+8=0的解,則這個三角形的周長是( ?。? A.11 B.13 C.11或13 D.11和13 【考點】解一元二次方程-因式分解法;三角形三邊關系. 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三邊長,即可求出此時三角形的周長. 【解答】解:方程x2﹣6x+8=0, 分解因式得:(x﹣2)(x﹣4)=0, 可得x﹣2=0或x﹣4=0, 解得:x1=2,x2=4, 當x=2時,三邊長為2,3,6,不能構成三角形,舍去; 當x=4時,三邊長分別為3,4,6,此時三角形周長為3+4+6=13. 故選B. 4.與y=2(x﹣1)2+3形狀相同的拋物線解析式為( ?。? A.y=1+x2 B.y=(2x+1)2 C.y=(x﹣1)2 D.y=2x2 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式. 【分析】拋物線的形狀只是與a有關,a相等,形狀就相同. 【解答】解:y=2(x﹣1)2+3中,a=2. 故選D. 5.將拋物線y=2x2向左平移1個單位,再向上平移3個單位得到的拋物線,其解析式是( ?。? A.y=2(x+1)2+3 B.y=2(x﹣1)2﹣3 C.y=2(x+1)2﹣3 D.y=2(x﹣1)2+3 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換. 【分析】拋物線平移不改變a的值. 【解答】解:原拋物線的頂點為(0,0),向左平移1個單位,再向上平移3個單位,那么新拋物線的頂點為(﹣1,3).可設新拋物線的解析式為y=2(x﹣h)2+k,代入得:y=2(x+1)2+3. 故選A. 6.已知點A(a,1)與點A′(5,b)關于坐標原點對稱,則實數(shù)a、b的值是( ?。? A.a(chǎn)=5,b=1 B.a(chǎn)=﹣5,b=1 C.a(chǎn)=5,b=﹣1 D.a(chǎn)=﹣5,b=﹣1 【考點】關于原點對稱的點的坐標. 【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)解答. 【解答】解:∵點A(a,1)與點A′(5,b)關于坐標原點對稱, ∴a=﹣5,b=﹣1. 故選D. 7.拋物線y=﹣2(x﹣3)2+5的頂點坐標是( ?。? A.(3,﹣5) B.(﹣3,5) C.(3,5) D.(﹣3,﹣5) 【考點】二次函數(shù)的三種形式;二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)拋物線的頂點式,可直接得出拋物線的頂點坐標. 【解答】解:∵拋物線的解析式為y=﹣2(x﹣3)2+5, ∴拋物線的頂點坐標為(3,5). 故選C. 8.下表是滿足二次函數(shù)y=ax2+bx+c的五組數(shù)據(jù),x1是方程ax2+bx+c=0的一個解,則下列選項中正確的是( ?。? x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72 A.1.6<x1<1.8 B.1.8<x1<2.0 C.2.0<x1<2.2 D.2.2<x1<2.4 【考點】圖象法求一元二次方程的近似根. 【分析】在直角坐標系中描出五點,能很直觀的發(fā)現(xiàn)答案. 【解答】解:如圖 由圖象可以看出二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(2.0,2.2)上可能與x軸有交點,即2.0<x1<2.2. ∴故選C. 9.已知關于x的方程(m+3)x2+5x+m2﹣9=0有一個解是0,則m的值為( ?。? A.﹣3 B.3 C.3 D.不確定 【考點】一元二次方程的解. 【分析】方程的解,就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值;即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立;將x=0代入原方程即可求得m的值. 【解答】解:把x=0代入原方程得m2﹣9=0; 解得:m=3; 故選C. 10.若關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍是( ?。? A.k<5 B.k<5,且k≠1 C.k≤5,且k≠1 D.k>5 【考點】根的判別式;一元二次方程的定義. 【分析】根據(jù)方程為一元二次方程且有兩個不相等的實數(shù)根,結合一元二次方程的定義以及根的判別式即可得出關于k的一元一次不等式組,解不等式組即可得出結論. 【解答】解:∵關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根, ∴,即, 解得:k<5且k≠1. 故選B. 11.若方程x2﹣3x﹣2=0的兩實根為x1、x2,則(x1+2)(x2+2)的值為( ?。? A.﹣4 B.6 C.8 D.12 【考點】根與系數(shù)的關系. 【分析】根據(jù)(x1+2)(x2+2)=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2(x1+x2)+4,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系,即兩根的和與積,代入數(shù)值計算即可. 【解答】解:∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的兩個實數(shù)根. ∴x1+x2=3,x1?x2=﹣2. 又∵(x1+2)(x2+2)=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2(x1+x2)+4. 將x1+x2=3、x1?x2=﹣2代入,得 (x1+2)(x2+2)=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2(x1+x2)+4=(﹣2)+23+4=8. 故選C 12.如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,那么下列判斷中,不正確的是( ) A.a(chǎn)>0 B.b>0 C.c<0 D.b2﹣4ac>0 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系. 【分析】首先根據(jù)開口方向確定a的符號,再依據(jù)對稱軸的正負和a的符號即可判斷b的符號,然后根據(jù)與y軸的交點的縱坐標即可判斷c的正負,由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點,可得b2﹣4ac>0. 【解答】解:由圖象的開口向上可得a開口向上,由x=﹣>0,可得b<0, 由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交y軸于負半軸可得c<0, 由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點,可得b2﹣4ac>0,所以B不正確. 故選:B. 13.某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價,每件零售價由560元降為315元,已知兩次降價的百分率相同,求每次降價的百分率.設每次降價的百分率為x,下面所列的方程中正確的是( ) A.560(1+x)2=315 B.560(1﹣x)2=315 C.560(1﹣2x)2=315 D.560(1﹣x2)=315 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程. 【分析】設每次降價的百分率為x,根據(jù)降價后的價格=降價前的價格(1﹣降價的百分率),則第一次降價后的價格是560(1﹣x),第二次后的價格是560(1﹣x)2,據(jù)此即可列方程求解. 【解答】解:設每次降價的百分率為x,由題意得: 560(1﹣x)2=315, 故選:B. 14.已知0≤x≤,則函數(shù)y=x2+x+1( ?。? A.有最小值,但無最大值 B.有最小值,有最大值1 C.有最小值1,有最大值 D.無最小值,也無最大值 【考點】二次函數(shù)的最值. 【分析】先求得函數(shù)圖象的對稱軸,根據(jù)拋物線的開口方向和拋物線的增減性進行解答. 【解答】解:∵y=x2+x+1=(x+)2+. ∴該函數(shù)圖象的對稱軸是x=﹣,在0≤x≤上,y隨x的增大而增大, ∴當x=0時,y最小=1; 當x=時,y最大=. 故選:C. 15.在同一平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=ax+1與二次函數(shù)y=ax2﹣a的圖象可能是( ?。? A. B. C. D. 【考點】二次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象. 【分析】根據(jù)a的符號分類,a>0時,在A、B、D中判斷一次函數(shù)的圖象是否相符,a<0時,在C中進行判斷. 【解答】解:①當a>0時,二次函數(shù)y=ax2﹣a的開口向上,頂點在y軸的負半軸上,一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過第一、二、三象限; ②當a<0時,二次函數(shù)y=ax2﹣a的開口向下,頂點在y軸的正半軸上,一次函數(shù)y=ax+a的圖象經(jīng)過第一、二、四象限. 故選:B. 二、解答題:(本大題滿分75分,共9小題) 16.解方程:x(2x﹣1)=3(1﹣2x) 【考點】解一元二次方程-因式分解法. 【分析】先把方程的右邊的項移到左邊,因式分解得(2x﹣1)(x+3)=0,方程轉化為兩個一元一次方程2x﹣1=0或x+3=0,解一元一次方程即可. 【解答】解:x(2x﹣1)﹣3(1﹣2x)=0, x(2x﹣1)+3(2x﹣1)=0, ∴(2x﹣1)(x+3)=0, ∴2x﹣1=0或x+3=0, ∴x1=,x2=﹣3. 17.已知關于x的二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為(﹣1,2),且圖象過點(1,﹣3), (1)求這個二次函數(shù)的關系式; (2)寫出它的開口方向、對稱軸. 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】直接設頂點式,再用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.進而可根據(jù)函數(shù)的解析式求得拋物線的開口方向和對稱軸方程. 【解答】解:(1)設函數(shù)解析式為y=a(x﹣h)2+k,把頂點和點(1,﹣3)代入解析式,得: a=﹣,所以拋物線的解析式為:; (2)由(1)的函數(shù)解析式可得:拋物線的開口向下,對稱軸x=﹣1. 18.已知關于x的一元二次方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0. (1)求證:方程總有兩個不相等的實數(shù)根. (2)若此方程的一個根是1,求出方程的另一個根及m的值. 【考點】根的判別式;根與系數(shù)的關系. 【分析】(1)要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根,即證明△>0即可.△=[﹣(m+2)]2﹣4(2m﹣1)=m2﹣4m+8=(m﹣2)2+4,因為(m﹣2)2≥0,可以得到△>0; (2)將x=1代入方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0,求出m的值,進而得出方程的解. 【解答】(1)證明:∵△=[﹣(m+2)]2﹣4(2m﹣1)=m2﹣4m+8=(m﹣2)2+4, 而(m﹣2)2≥0, ∴△>0. ∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根; (2)解:∵方程的一個根是1, ∴12﹣(m+2)+2m﹣1=0, 解得:m=2, ∴原方程為:x2﹣4x+3=0, 解得:x1=1,x2=3. 即m的值為2,方程的另一個根是3. 19.如圖所示的正方形網(wǎng)格中,△ABC的頂點均在格點上,請在所給直角坐標系中按要求畫圖和解答下列問題: (1)作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1; (2)作出△ABC關于坐標原點O成中心對稱的△A2B2C2; (3)作出點C關于x軸的對稱點P. 若點P向右平移x(x取整數(shù))個單位長度后落在△A2B2C2的內(nèi)部,請直接寫出x的值. 【考點】作圖-旋轉變換;作圖-軸對稱變換;作圖-平移變換. 【分析】(1)利用關于x軸對稱的點的坐標特征寫出A1、B1、C1的坐標,然后描點即可; (2)利用關于原點對稱的點的坐標特征寫出A2、B2、C2的坐標,然后描點即可; (3)利用所畫的圖形可確定x的值. 【解答】解:(1)如圖,△A1B1C1為所作; (2)如圖,△A2B2C2為所作; (3)x的值為6、7. 20.如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到△ADE,連接BD,CE交于點F. (1)求證:△AEC≌△ADB; (2)若AB=2,∠BAC=45,當四邊形ADFC是菱形時,求BF的長. 【考點】旋轉的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì). 【分析】(1)由旋轉的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等,以及AB=AC,利用全等三角形對應邊相等,對應角相等得到兩對邊相等,一對角相等,利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可; (2)根據(jù)∠BAC=45,四邊形ADFC是菱形,得到∠DBA=∠BAC=45,再由AB=AD,得到三角形ABD為等腰直角三角形,求出BD的長,由BD﹣DF求出BF的長即可. 【解答】解:(1)由旋轉的性質(zhì)得:△ABC≌△ADE,且AB=AC, ∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB, 在△AEC和△ADB中, , ∴△AEC≌△ADB(SAS); (2)∵四邊形ADFC是菱形,且∠BAC=45, ∴∠DBA=∠BAC=45, 由(1)得:AB=AD, ∴∠DBA=∠BDA=45, ∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形, ∴BD2=2AB2,即BD=2, ∴AD=DF=FC=AC=AB=2, ∴BF=BD﹣DF=2﹣2. 21.如圖,在矩形ABCD中,B(16,12),E、F分別是OC、BC上的動點,EC+CF=8. 當F運動到什么位置時,△AEF的面積最小,最小為多少? 【考點】二次函數(shù)的最值. 【分析】此題只需設得CF的長為x,F(xiàn)在BC上運動,0≤x≤8,又EC+CF=8,則EC=8﹣x;再由面積切割法表示出△AEF的面積關于x的函數(shù)并求得最值即可. 【解答】解:在矩形ABCD中,B(16,12),EC+CF=8; 則AB=OC=16,BC=OA=12; 設CF=x,則EC=8﹣x; S△AEF=S□ABCO﹣S△AOE﹣S△ABF﹣S△ECF =OAOC﹣OEOA﹣ABBF﹣CECF =1216﹣[16﹣(8﹣x)]12﹣16(12﹣x)﹣x(8﹣x)=x2﹣2x+48 =(x﹣2)2+46; 因此,當x=2時,S△AEF取得最小值46. 故當F運動到CF為2時,△AEF的面積最小,最小為46. 22.小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似的看作一次函數(shù):y=﹣10x+500,在銷售過程中銷售單價不低于成本價,而每件的利潤不高于成本價的60%. (1)設小明每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式,并確定自變量x的取值范圍. (2)當銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少? (3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進價銷售量) 【考點】二次函數(shù)的應用. 【分析】(1)由題意得,每月銷售量與銷售單價之間的關系可近似看作一次函數(shù),利潤=(定價﹣進價)銷售量,從而列出關系式; (2)首先確定二次函數(shù)的對稱軸,然后根據(jù)其增減性確定最大利潤即可; (3)根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圖象,求出每月的成本. 【解答】解:(1)由題意,得:w=(x﹣20)?y=(x﹣20)?(﹣10x+500)=﹣10x2+700x﹣10000,即w=﹣10x2+700x﹣10000(20≤x≤32) (2)對于函數(shù)w=﹣10x2+700x﹣10000的圖象的對稱軸是直線. 又∵a=﹣10<0,拋物線開口向下.∴當20≤x≤32時,W隨著X的增大而增大, ∴當x=32時,W=2160 答:當銷售單價定為32元時,每月可獲得最大利潤,最大利潤是2160元. (3)取W=2000得,﹣10x2+700x﹣10000=2000 解這個方程得:x1=30,x2=40. ∵a=﹣10<0,拋物線開口向下. ∴當30≤x≤40時,w≥2000. ∵20≤x≤32 ∴當30≤x≤32時,w≥2000. 設每月的成本為P(元),由題意,得:P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000 ∵k=﹣200<0, ∴P隨x的增大而減?。? ∴當x=32時,P的值最小,P最小值=3600. 答:想要每月獲得的利潤不低于2000元,小明每月的成本最少為3600元. 23.在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O;在Rt△PMN中,∠MPN=90. (1)如圖1,若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分別交AD、AB于點E、F,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系; (2)將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉角度α(0<α<45). ①如圖2,在旋轉過程中(1)中的結論依然成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由; ②如圖2,在旋轉過程中,當∠DOM=15時,連接EF,若正方形的邊長為2,請直接寫出線段EF的長; ③如圖3,旋轉后,若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動(不與點O、B重合),當BD=3BP時,猜想此時PE與PF的數(shù)量關系,并給出證明;當BD=m?BP時,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系. 【考點】四邊形綜合題. 【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可; (2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉的性質(zhì)證明△FOA≌△EOD,得到答案; ②作OG⊥AB于G,根據(jù)余弦的概念求出OF的長,根據(jù)勾股定理求值即可; ③過點P作HP⊥BD交AB于點H,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關系,根據(jù)解答結果總結規(guī)律得到當BD=m?BP時,PE與PF的數(shù)量關系. 【解答】解:(1)PE=PF,理由: ∵四邊形ABCD為正方形, ∴∠BAC=∠DAC,又PM⊥AD、PN⊥AB, ∴PE=PF; (2)①成立,理由: ∵AC、BD是正方形ABCD的對角線, ∴OA=OD,∠FAO=∠EDO=45,∠AOD=90, ∴∠DOE+∠AOE=90, ∵∠MPN=90, ∴∠FOA+∠AOE=90, ∴∠FOA=∠DOE, 在△FOA和△EOD中, , ∴△FOA≌△EOD, ∴OE=OF,即PE=PF; ②作OG⊥AB于G, ∵∠DOM=15, ∴∠AOF=15,則∠FOG=30, ∵cos∠FOG=, ∴OF==,又OE=OF, ∴EF=; ③PE=2PF, 證明:如圖3,過點P作HP⊥BD交AB于點H, 則△HPB為等腰直角三角形,∠HPD=90, ∴HP=BP, ∵BD=3BP, ∴PD=2BP, ∴PD=2 HP, 又∵∠HPF+∠HPE=90,∠DPE+∠HPE=90, ∴∠HPF=∠DPE, 又∵∠BHP=∠EDP=45, ∴△PHF∽△PDE, ∴==, 即PE=2PF, 由此規(guī)律可知,當BD=m?BP時,PE=(m﹣1)?PF. 24.如圖,一次函數(shù)y=﹣x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點. (1)求這個拋物線的解析式; (2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這個拋物線于N.求當t取何值時,四邊形OANB的面積有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的情況下,設點P為直線x=t上的一個動點,求使△APB為直角三角形的點P的坐標. 【考點】二次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)由一次函數(shù)可求得A、B坐標,代入可求得拋物線解析式; (2)用t可分別表示出M、N的坐標,則可表示出MN的長度,由于△OAB不變,故當△ABN面積最大時,四邊形OANB的面積最大,用t可表示出△ABN的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案; (3)由(2)可求得t的值,可設出P點坐標,從而表示出PA、PB和AB的長,再分∠PAB=90、∠PBA=90和∠APB=90三種情況利用勾股定理分別得到方程,可求得P點坐標. 【解答】解: (1)在y=﹣x+2中,令x=0可得y=2,令y=0可求得x=4, ∴A(0,2),B(4,0), ∵拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點, ∴,解得, ∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2; (2)由題意可知N(t,﹣t2+t+2),M(t,﹣t+2), ∵M、N在第一象限, ∴MN=﹣t2+t+2﹣(﹣t+2)=﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+4, ∵﹣1<0, ∴當t=2時,MN有最大值,最大值為4, ∵A(0,2),B(4,0), ∴S四邊形OANB=S△OAB+S△NAB=OA?OB+MN(4﹣0)=24+2[﹣(t﹣2)2+4]=﹣2(t﹣2)2+12, ∴當t=2時,四邊形OANB的面積最大,最大值為12; (3)由(2)可知t=2, ∴可設P(2,m), ∴PA2=(2﹣0)2+(m﹣2)2=m2﹣4m+8,PB2=(2﹣4)2+(m﹣0)2=m2+4,AB2=22+42=20, ∵△PAB為直角三角形, ∴有∠PAB=90、∠PBA=90和∠APB=90三種情況, ①當∠PAB=90時,則有PA2+AB2=PB2, ∴m2﹣4m+8+20=m2+4,解得m=6, ∴P(2,6); ②當∠PBA=90時,則有PB2+AB2=PA2, ∴m2+4+20=m2﹣4m+8,解得m=﹣4, ∴P(2,﹣4); ③當∠APB=90時,則有PA2+PB2=AB2, ∴m2﹣4m+8+m2+4=20,解得m=1+或m=1﹣, ∴P(2,1+) 或P(2,1﹣), 綜上可知P點坐標為(2,6)或(2,﹣4)或(2,1+)或(2,1﹣).- 配套講稿:
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