高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題1 突破點1 三角函數(shù)問題教師用書 理
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專題一 三角函數(shù)與平面向量 建知識網(wǎng)絡 明內(nèi)在聯(lián)系 高考點撥] 三角函數(shù)與平面向量是高考的高頻考點，常以“兩小一大”的形式呈現(xiàn)，兩小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)與平面向量內(nèi)容，一大題常考查解三角形內(nèi)容，有時平面向量還與圓錐曲線、線性規(guī)劃等知識相交匯．本專題按照“三角函數(shù)問題”“解三角形”“平面向量”三條主線分門別類進行備考． 突破點1 三角函數(shù)問題 提煉1 三角函數(shù)的圖象問題 (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)解析式的確定：利用函數(shù)圖象的最高點和最低點確定A，利用周期確定ω，利用圖象的某一已知點坐標確定φ. (2)三角函數(shù)圖象的兩種常見變換 提煉2 三角函數(shù)奇偶性與對稱性 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)解得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得． y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝(k∈Z)解得，無對稱軸. 提煉3 三角變換常用技巧 (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45等． (2)項的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦. 提煉4 三角函數(shù)最值問題 (1)y＝asin x＋bcos x＋c型函數(shù)的最值：可將y轉化為y＝sin(x＋φ)＋c其中tan φ＝的形式，這樣通過引入輔助角φ可將此類函數(shù)的最值問題轉化為y＝sin(x＋φ)＋c的最值問題，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解． (2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函數(shù)的最值：可利用降冪公式sin2x＝，sin xcos x＝，cos2x＝，將y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x轉化整理為y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，這樣就可將其轉化為(1)的類型來求最值． 回訪1 三角函數(shù)的圖象問題 1．(2016全國甲卷)若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為( ) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) B 將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y＝2sin 2＝2sin的圖象．由2x＋＝kx＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后圖象的對稱軸為x＝＋(k∈Z)．] 2．(2014全國卷Ⅰ) 圖11 如圖11，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M.將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在0，π]的圖象大致為( ) B 如圖所示，當x∈時，則P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，作MM′⊥OP，M′為垂足，則＝sin x， ∴＝sin x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x， 則當x＝時，f(x)max＝； 當x∈時，有＝sin(π－x)， f(x)＝－sin xcos x＝－sin 2x， 當x＝時，f(x)max＝. 只有B選項的圖象符合．] 回訪2 三角函數(shù)的性質(zhì)問題 3．(2015全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖12所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ) 圖12 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z D 由圖象知，周期T＝2＝2， ∴＝2，∴ω＝π. 由π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－
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