專題二　數(shù)　列 　　　　　　　　建知識網(wǎng)絡(luò)　明內(nèi)在聯(lián)系　　　 高考點撥]　數(shù)列專題是高考的必考專題之一，主要考查等差、等比數(shù)列的基本量運算及數(shù)列求和的能力，該部分即可單獨命題，又可與其他專題綜合命題，考查方式靈活多樣，結(jié)合近幾年高考命題研究，為此本專題我們按照“等差、等比數(shù)列”和“數(shù)列求和”兩條主線展開分析和預(yù)測． 突破點4　等差數(shù)列、等比數(shù)列 提煉1 等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算 (1)通項公式 等差數(shù)列：an＝a1＋(n－1)d； 等比數(shù)列：an＝a1qn－1. (2)求和公式 等差數(shù)列：Sn＝＝na1＋d； 等比數(shù)列：Sn＝＝(q≠1)． (3)性質(zhì) 若m＋n＝p＋q， 在等差數(shù)列中am＋an＝ap＋aq； 在等比數(shù)列中aman＝apaq. 提煉2 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法： (1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)； ②利用中項性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義，證明(n∈N*)為一常數(shù)； ②利用等比中項，即證明a＝an－1an＋1(n≥2). 提煉3 數(shù)列中項的最值的求法 (1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)＝an，利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制． (2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解，利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求解出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進(jìn)而確定相應(yīng)的最值． (3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解，若求數(shù)列{an}的最大項，則可解不等式組若求數(shù)列{an}的最小項，則可解不等式組求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項． 回訪1　等差數(shù)列基本量的運算 1．(2016全國乙卷)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 C　法一：∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋991＝98.故選C. 法二：∵{an}是等差數(shù)列， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)5＝98.故選C.] 2．(2013全國卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　∵{an}是等差數(shù)列，Sm－1＝－2，Sm＝0， ∴am＝Sm－Sm－1＝2. ∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， ∴d＝am＋1－am＝1. 又Sm＝＝＝0， ∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)1＝2，∴m＝5.] 3．(2013全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________． －49　設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由等差數(shù)列前n項和可得解得 ∴nSn＝n2a1＋d＝－3n2＋(n3－n2)＝n3－，∴(nSn)′＝n2－， 令(nSn)′＝0，解得n＝0(舍去)或n＝. 當(dāng)n＞時，nSn是單調(diào)遞增的；當(dāng)0＜n＜時，nSn是單調(diào)遞減的，故當(dāng)n＝7時，nSn取最小值， ∴(nSn)min＝73－＝－49.] 回訪2　等比數(shù)列基本量的運算 4．(2015全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 B　∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21， ∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝221＝42.故選B.] 5．(2016全國乙卷)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________． 64　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8. 故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n ＝23n－＋＝2－＋n. 記t＝－＋＝－(n2－7n)， 結(jié)合n∈N*可知n＝3或4時，t有最大值6. 又y＝2t為增函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64.] 熱點題型1　等差、等比數(shù)列的基本運算 題型分析：以等差(比)數(shù)列為載體，考查基本量的求解，體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命題的一個熱點，題型以客觀題為主，難度較小. 　(1)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，設(shè)bn＝1＋log3an，那么數(shù)列{bn}的前15項和為(　　) A．152 B．135 C．80 D．16 (2)設(shè){an}是首項為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ (1)B　(2)D　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＋a3＝30，a2＋a4＝S4－(a1＋a3)＝90，所以公比q＝＝3，首項a1＝＝3，所以an＝3n，bn＝1＋log33n＝1＋n，則數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，前15項的和為＝135，故選B. (2)由題意知S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，因為S1，S2，S4成等比數(shù)列， 所以S＝S1S4，即(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－，故選D.] 在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項a1和公差d(公比q)，在解題時往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個量的方程組，從而求出這兩個量，那么其他問題也就會迎刃而解．這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法，這其中蘊含著方程思想的運用． 提醒：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，務(wù)必注意公比q的取值范圍． 變式訓(xùn)練1]　(1)已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，Sn為{an}的前n項和，若Sn＝51，則n＝__________. (2)(名師押題)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則＝________. (1)6　(2)2n－1　(1)由a1＝1，an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3， 所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列． 由Sn＝n＋3＝51，即(3n＋17)(n－6)＝0， 解得n＝6或n＝－(舍)． (2)∵q＝＝＝， ∴a1＋a3＝a1＋a1＝， 解得a1＝2， ∴an＝2n－1＝， ∴Sn＝＝4， ∴＝＝2n－1.] 熱點題型2　等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì) 題型分析：該熱點常與數(shù)列中基本量的運算綜合考查，熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)，可以大大提高解題效率. 　(1)(2016南昌一模)若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前4項的和為9，積為，則前4項倒數(shù)的和為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：85952020】 A. B． C．1 D．2 (2)(2015東北三校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，，…，中最大的項為(　　) A. B． C. D. (1)D　(2)C　(1)由題意得 S4＝＝9，所以＝.由a1a1qa1q2a1q3＝(aq3)2＝得aq3＝.由等比數(shù)列的性質(zhì)知該數(shù)列前4項倒數(shù)的和為＝＝＝＝2，故選D. (2)由S15＝＝＝15a8>0，S16＝＝16<0，可得a8>0，a9<0，d<0，故Sn最大為S8.又d<0，所以{an}單調(diào)遞減，因為前8項中Sn遞增，所以Sn最大且an取最小正值時有最大值，即最大，故選C.] 1．若{an}，{bn}均是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，則{man＋kbn}，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)． 2．若{an}，{bn}均是等比數(shù)列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{anbn}，{manbn}(m為常數(shù))，{a}，仍為等比數(shù)列． 3．公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比數(shù)列，且公比為＝＝q. 4．(1)等比數(shù)列(q≠－1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，其公比為qk. (2)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列，公差為k2d. 5．若A2n－1，B2n－1分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前2n－1項的和，則＝. 變式訓(xùn)練2]　(1)(2016沈陽模擬)已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足2a2－a＋2a12＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b3b11等于(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 (2)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，則a9＋a11＋a13＋a15＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．2或4 (1)A　(2)C　(1)∵{an}是等差數(shù)列，∴a2＋a12＝2a7， ∴2a2－a＋2a12＝4a7－a＝0. 又a7≠0，∴a7＝4. 又{bn}是等比數(shù)列，∴b3b11＝b＝a＝16. (2)∵{an}為等比數(shù)列，∴a5＋a7是a1＋a3與a9＋a11的等比中項，∴(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2. 同理a9＋a11是a5＋a7與a13＋a15的等比中項， ∴(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝＝＝1. ∴a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.] 熱點題型3　等差、等比數(shù)列的證明 　(2016全國丙卷)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (2)若S5＝，求λ. 解]　(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0.1分 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan.2分 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.3分 因此{(lán)an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，4分 于是an＝n－1.6分 (2)由(1)得Sn＝1－n.8分 由S5＝得1－5＝，即5＝.10分 解得λ＝－1.12分 判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列，一般是依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，或利用等差中項、等比中項進(jìn)行判斷． 提醒：利用a＝an＋1an－1(n≥2)來證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時，要注意數(shù)列中的各項均不為0. 變式訓(xùn)練3]　(2014全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由． 解]　(1)證明：由題設(shè)知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，2分 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.4分 (2)由題設(shè)知a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得a2＝λ－1.5分 由(1)知，a3＝λ＋1.6分 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.7分 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3.9分 {a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1.11分 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.12分