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1、2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì),1、唯一性 2、有界性 3、保號(hào)性 4、保不等式性 5、四則運(yùn)算 6、迫斂性 7、子數(shù)列的收斂性,1、唯一性,定理2.2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.,證,由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.,2、有界性,例如,有界,無(wú)界,證,由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.,推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.,例1,證,由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.,不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).,3保序性,從而,定理2.6 (收斂數(shù)列的保號(hào)性) 如果數(shù)列xn收斂于a, 且a0(或a0) 那么存在正整數(shù)N 當(dāng)nN時(shí) 有xn0(或xn0),4 保號(hào)性,推論 如果數(shù)列xn從某項(xiàng)起有xn0(或xn0) 且數(shù)列xn收斂于

2、a 那么a0(或a0),這說(shuō)明若數(shù)列 收斂且極限不為零，則當(dāng)n充分大時(shí)， 與0的距離不能任意小.這一事實(shí)在后面討論極限的四則運(yùn)算時(shí)會(huì)用到.,證,5 迫斂性,( 雙逼原理 ),上兩式同時(shí)成立,上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限,例2,解,由夾逼定理得,6 絕對(duì)值收斂性:,( 注意反之不成立 ).,推論 設(shè)數(shù)列 , 和 , 收斂, 則,7數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則,例5 求,例4 求,解： 分 a=1， |a|1 三種情況,解：（分子有理化）,例3 求,8、子數(shù)列的收斂性,注意：,例如，,定理7 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相同,證,證畢,例6,對(duì)于數(shù)列xn,證,此時(shí)有,此時(shí)有,總之：,恒有,Th ( 數(shù)列收斂充要條件 ) , 收斂,Th ( 數(shù)列收斂充要條件 ) , 收斂,子列 , 和 ,收斂于同一極限., 的任何子列收斂,于同一極限.,Th ( 數(shù)列收斂充要條件 ) , 收斂,子列 ,、,都收斂.,和 ,思考題,證明,要使,只要使,從而由,得,取,當(dāng) 時(shí)，必有 成立,思考題解答,（等價(jià)）,證明中所采用的,實(shí)際上就是不等式,即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大” 的值,從而 時(shí)，,僅有 成立，,但不是 的充分條件,反而縮小為,小結(jié),(1), 唯一性;,(2), 有界性;,(3), 保號(hào)性;,(4), 四則運(yùn)算法則;,(5), 不等式性;,(6), 收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系.,