《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí) 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí) 文(17頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
1.(2016課標(biāo)全國乙改編)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是__________.
答案 (-1,3)
解析 ∵方程-=1表示雙曲線,∴(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2
0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為____________.
答案 -=1
解析 由題意知雙曲線的漸近線方程為y=x,圓的方程為x2+y2=4,
聯(lián)立
解得
或
即第一象限的交點(diǎn)為.
由雙曲線和圓的對(duì)稱性得四邊形ABCD為矩形,其相鄰兩邊長(zhǎng)為,,故=2b,得b2=12.
故雙曲線的方程為-=1.
3.(2016課標(biāo)全國甲改編)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:-=1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=,則E的離心率為________.
答案
解析 如圖,因?yàn)镸F1與x軸垂直,所以MF1=.
又sin∠MF2F1=,所以=,即MF2=3MF1.由雙曲線的定義得2a=MF2-MF1=2MF1=,所以b2=a2,
所以c2=b2+a2=2a2,
所以離心率e==.
4.(2016浙江)若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是________.
答案 9
解析 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1.由M到焦點(diǎn)的距離為10,可知M到準(zhǔn)線x=-1的距離也為10,故M的橫坐標(biāo)滿足xM+1=10,解得xM=9,所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.
1.以填空題形式考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)(特別是離心率).2.以解答題形式考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(弦長(zhǎng)、中點(diǎn)等).
熱點(diǎn)一 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1.圓錐曲線的定義
(1)橢圓:PF1+PF2=2a(2a>F1F2);
(2)雙曲線:|PF1-PF2|=2a(2a8,∴點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值,滿足橢圓的定義,∴點(diǎn)C的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓,∴2a=10,2c=8,∴b=3.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1(y≠0).
(2)由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0)和(4,0),恰分別為△ABC的頂點(diǎn)A和C的坐標(biāo),由橢圓定義知BA+BC=2a=10,在△ABC中,由正弦定理可知,===.
思維升華 (1)準(zhǔn)確把握?qǐng)A錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),注意焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時(shí),橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式.(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法,可結(jié)合草圖確定.
跟蹤演練1 (1)已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=24y的焦點(diǎn)重合,其一條漸近線的傾斜角為30,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________.
(2)拋物線y2=4x上任一點(diǎn)到定直線l:x=-1的距離與它到定點(diǎn)F的距離相等,則該定點(diǎn)F的坐標(biāo)為____________.
答案 (1)-=1 (2)(1,0)
解析 (1)由拋物線x2=24y得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),
∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=24y的焦點(diǎn)相同,
∴c=6,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),又雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30,∴=,即b=a,又∵c2=a2+b2,∴a2=9,b2=27,
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
(2)因?yàn)?p=4,所以p=2,可得=1,
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),
即定點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0).
熱點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
1.橢圓、雙曲線中,a,b,c之間的關(guān)系
(1)在橢圓中:a2=b2+c2,離心率為e== ;
(2)在雙曲線中:c2=a2+b2,離心率為e==.
2.雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系.
例2 (1)橢圓+=1(a>b>0)的兩頂點(diǎn)為A(a,0),B(0,b),且左焦點(diǎn)為F,△FAB是以角B為直角的直角三角形,則橢圓的離心率e為________.
(2)已知雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B、C,且BC=CF2,則雙曲線的漸近線方程為__________.
答案 (1) (2)y=(+1)x
解析 (1)依題意可知點(diǎn)F(-c,0),直線AB的斜率為=-,直線BF的斜率為=.
∵∠FBA=90,∴(-)=-=-=-1,
整理得c2+ac-a2=0,即()2+-1=0,
從而e2+e-1=0,解得e=或-.
∵0b>0)的左焦點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2,上頂點(diǎn)為A,AF2的中垂線交橢圓于點(diǎn)B,若左焦點(diǎn)F1在線段AB上,則橢圓的離心率為________.
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-y2=1與拋物線y2=-12x有相同的焦點(diǎn),則雙曲線的兩條漸近線的方程為____________.
答案 (1) (2)y=x
解析 (1)由題意知AB=BF2,AF1=AF2=a,設(shè)BF1=x,則x+x+a=2a,所以x=,故=2,(-c,-b)=2(xB+c,yB),易求得B(-,-),代入橢圓方程得+=1,解得=,所以e=.
(2)由題意得a2+1=9?a=2,
而雙曲線-y2=1的漸近線方程為y=x,
即y=x.
熱點(diǎn)三 直線與圓錐曲線
判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或求交點(diǎn)問題有兩種常用方法
(1)代數(shù)法:即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組,消去y(或x)得一元方程,此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù),方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)幾何法:即畫出直線與圓錐曲線的圖象,根據(jù)圖象判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
例3 (2015江蘇改編)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,且右焦點(diǎn)F到直線l:x=-的距離為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程.
解 (1)由題意,得=且c+=3,
解得a=,c=1,則b=1,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)當(dāng)AB⊥x軸時(shí),AB=,又CP=3,不合題意.
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線AB的方程代入橢圓方程,
得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
則x1,2=,
C的坐標(biāo)為,且
AB==
=.
若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與直線l平行,不合題意.
從而k≠0,故直線PC的方程為
y+=-,
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為,
從而PC=.
因?yàn)镻C=2AB,
所以=,
解得k=1.
此時(shí)直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.
思維升華 解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求思想,弦長(zhǎng)公式等簡(jiǎn)化計(jì)算;涉及中點(diǎn)弦問題時(shí),也可用“點(diǎn)差法”求解.
跟蹤演練3 (1)設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為__________.
(2)設(shè)橢圓C:+=1與函數(shù)y=tan 的圖象相交于A1,A2兩點(diǎn),若點(diǎn)P在橢圓C上,且直線PA2的斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線PA1斜率的取值范圍是________.
答案 (1)[-1,1] (2)[,]
解析 (1)由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x=-2,∴Q(-2,0),顯然,直線l的斜率存在,故設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,當(dāng)k=0時(shí),x=0,此時(shí)交點(diǎn)為(0,0),當(dāng)k≠0時(shí),Δ≥0,
即[4(k2-2)]2-16k4≥0,解得-1≤k<0或00,b>0)的一條漸近線與直線3x+y+3=0垂直,以C的右焦點(diǎn)F為圓心的圓(x-c)2+y2=2與它的漸近線相切,則雙曲線的焦距為________.
押題依據(jù) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)是圓錐曲線的靈魂,其中離心率、漸近線是高考命題的熱點(diǎn).
答案 2
解析 由直線垂直的條件,求出漸近線的斜率,從而得到漸近線方程,根據(jù)圓心到漸近線的距離等于半徑,求得b,進(jìn)而求出焦距2c.
由已知,得(-)=-1,所以=,
由點(diǎn)F(c,0)到漸近線y=x的距離d==,可得c=,2c=2.
2.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,且點(diǎn)(1,)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的左焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若△AOB的面積為,求圓心在原點(diǎn)O且與直線l相切的圓的方程.
押題依據(jù) 橢圓及其性質(zhì)是歷年高考的重點(diǎn),直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)等知識(shí)應(yīng)給予充分關(guān)注.
解 (1)由題意可得e==,
又a2=b2+c2,
所以b2=a2.
因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,),
所以+=1,
解得a=2,所以b2=3,
故橢圓C的方程為+=1.
(2)由(1)知F1(-1,0),設(shè)直線l的方程為x=ty-1,
由消去x,
得(4+3t2)y2-6ty-9=0,
顯然Δ>0恒成立,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=,y1y2=-,
所以|y1-y2|=
= =,
所以S△AOB=F1O|y1-y2|==,
化簡(jiǎn)得18t4-t2-17=0,
即(18t2+17)(t2-1)=0,
解得t=1,t=-(舍去),
又圓O的半徑r==,
所以r=,故圓O的方程為x2+y2=.
A組 專題通關(guān)
1.雙曲線-=1的離心率為______.
答案
解析 由題意得a2=4,b2=5?c2=9?e==.
2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,若曲線C經(jīng)過點(diǎn)P(1,3),則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為________.
答案
解析 由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px,
又因?yàn)檫^點(diǎn)P(1,3),則p=.即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.
3.已知雙曲線C:-y2=1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支相交于P,Q兩點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,則△PF1Q的周長(zhǎng)為________.
答案
解析 因?yàn)殡p曲線C:-y2=1,
所以a=,b=1,c==2,
故F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0).
由于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,則PQ⊥x軸.
令x=2,則有y2=-1=,即y=.
故QF2=PF2=,PQ=,
QF1=PF1=PF2+2a=.
則△PF1Q的周長(zhǎng)為PF1+QF1+PQ
=++=.
4.設(shè)拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M為拋物線E上一點(diǎn),MF的最小值為3,若點(diǎn)P為拋物線E上任意一點(diǎn),A(4,1),則PA+PF的最小值為________.
答案 7
解析 由題意,MF的最小值為3,得=3,
∴p=6,∴拋物線E:y2=12x,
拋物線y2=12x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是(3,0);
設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D,
則根據(jù)拋物線的定義可知PF=PD,
∴要求PA+PF取得最小值,即求PA+PD取得最小值,當(dāng)D,P,A三點(diǎn)共線時(shí)PA+PD最小,為4-(-3)=7.
5.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F,兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,若PF=5,則點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為________.
答案
解析 ∵拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),
∴雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),∴c2=a2+b2=4.①
∵P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),且PF=5,
∴xp+2=5,∴xp=3,∴y=24.
∵P(xp,yp)在雙曲線-=1上,
∴-=1.②
聯(lián)立 解得a2=1,b2=3.
∴雙曲線的方程為x2-=1.
又雙曲線的漸近線方程為y=x,
∴點(diǎn)F(2,0)到漸近線的距離為.
6.已知點(diǎn)A(2,4)在拋物線y2=2px(p>0)上,且拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),若雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為____________.
答案 x2-=1
解析 ∵點(diǎn)A(2,4)在拋物線y2=2px(p>0)上,
∴16=4p,解得p=4.
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2.
又拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),∴c=2,又e==2,
∴a=1,則b2=c2-a2=4-1=3,
∴雙曲線的方程為x2-=1.
7.一動(dòng)圓與已知圓O1:(x+3)2+y2=1外切,與圓O2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為__________.
答案 +=1
解析 兩定圓的圓心和半徑分別是O1(-3,0),r1=1;
O2(3,0),r2=9.
設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為R,則由題設(shè)條件,
可得MO1=R+1,O2M=9-R.
∴MO1+MO2=10>O1O2=6.
由橢圓的定義知點(diǎn)M在以O(shè)1,O2為焦點(diǎn)的橢圓上,且2a=10,2c=6,∴b2=16.
∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為+=1.
8.過橢圓+=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB的面積為________.
答案
解析 由已知得直線方程為y=2(x-1).
由得3y2+2y-8=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=-,y1y2=-,
∴|y1-y2|== =,
∴S△AOB=1=.
9.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線-x2=1的焦點(diǎn)重合,過點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的取值范圍.
解 (1)由雙曲線-x2=1得其焦點(diǎn)為(0,),
∴b=.
又由e==,a2=b2+c2,得a2=4,c=1.
故橢圓C的方程為+=1.
(2)由題意可知直線l的斜率存在,
設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),由消去y,
得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,
由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,
得k2<.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=,
∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)
=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,
∴=x1x2+y1y2=(1+k2)-4k2+16k2=25-.
∵0≤k2<,∴-29≤-<-,
∴∈[-4,).
故的取值范圍為[-4,).
10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,右焦點(diǎn)F(1,0),點(diǎn)P在橢圓C上,且在第一象限內(nèi),直線PQ與圓O:x2+y2=b2相切于點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求PMPF的取值范圍;
(3)若OP⊥OQ,求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t的值.
解 (1)∵
∴c=1,a=2,b=,
∴橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)P(x0,y0),
則+=1(0b>0)過點(diǎn)D(1,),且右焦點(diǎn)為F(1,0),右頂點(diǎn)為A.過點(diǎn)F的弦為BC.直線BA,直線CA分別交直線l:x=m(m>2)于P、Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)若FP⊥FQ,求m的值.
解 (1)+=1,a2-b2=1,
解之得a2=4,b2=3,
所以橢圓方程為+=1.
(2)設(shè)B(x0,y0),則BC:y=(x-1),
與橢圓E:+=1聯(lián)立得方程組
解得x=x0,y=y(tǒng)0或x=,y=,
所以C(,),
kABkAC=
==
==-.
顯然kAB=kAP,kAC=kAQ,所以kAPkAQ=-.
設(shè)Q(m,y1),kFQ==kAQ,
同理kFP=kAP.
所以kFPkFQ=()2kAPkAQ
=-()2=-1,
又m>2,所以=,所以m=4.
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