《高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習 理（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
1．(2016課標全國乙)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
答案 A
解析 ∵方程－＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2
0)，以原點為圓心，雙曲線的半實軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝x，圓的方程為x2＋y2＝4，
聯(lián)立
解得或
即第一象限的交點為.
由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，，故＝2b，得b2＝12.
故雙曲線的方程為－＝1.故選D.
3．(2016課標全國甲)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為( )
A. B. C. D．2
答案 A
解析 如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|＝.
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.
由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，
所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，
所以離心率e＝＝.
4．(2016浙江)若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________．
答案 9
解析 拋物線y2＝4x的焦點F(1,0)．準線為x＝－1，由M到焦點的距離為10，可知M到準線x＝－1的距離也為10，故M的橫坐標滿足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以點M到y(tǒng)軸的距離為9.
1.以選擇題、填空題形式考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)(特別是離心率).2.以解答題形式考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(弦長、中點等).
熱點一 圓錐曲線的定義與標準方程
1．圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.
2．求解圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”
所謂“定型”，就是曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．
例1 (1)△ABC的兩個頂點為A(－4,0)，B(4,0)，△ABC周長為18，則C點軌跡方程為( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
(2)在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(－4,0)和C(4,0)，頂點B在橢圓＋＝1上，則＝________.
答案 (1)D (2)
解析 (1)∵△ABC的兩頂點A(－4,0)，B(4,0)，周長為18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵10>8，∴點C到兩個定點的距離之和等于定值，滿足橢圓的定義，∴點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，∴2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴橢圓的標準方程是＋＝1(y≠0)．故選D.
(2)由橢圓方程知其焦點坐標為(－4,0)和(4,0)，恰分別為△ABC的頂點A和C的坐標，由橢圓定義知|BA|＋|BC|＝2a＝10，在△ABC中，由正弦定理可知，＝＝＝.
思維升華 (1)準確把握圓錐曲線的定義和標準方程及其簡單幾何性質(zhì)，注意焦點在不同坐標軸上時，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式．(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定．
跟蹤演練1 (1)已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2＝24y的焦點重合，其一條漸近線的傾斜角為30，則該雙曲線的標準方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)拋物線y2＝4x上的兩點A，B到焦點的距離之和為8，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________．
答案 (1)B (2)3
解析 (1)由拋物線x2＝24y得焦點坐標為(0,6)，
∵雙曲線的一個焦點與拋物線x2＝24y的焦點相同，
∴c＝6，設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，又雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30，∴＝，即b＝a，又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27，
∴雙曲線的標準方程為－＝1.故選B.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義及題意知，x1＋1＋x2＋1＝8，∴x1＋x2＝6.
∴線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為3.
熱點二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
1．橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系
(1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝ ；
(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝.
2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系．
例2 (1)橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．
(2)已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1、F2，過F1作圓x2＋y2＝a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B、C，且|BC|＝|CF2|，則雙曲線的漸近線方程為( )
A．y＝3x B．y＝2x
C．y＝(＋1)x D．y＝(－1)x
答案 (1)－1 (2)C
解析 (1)直線y＝(x＋c)過點F1(－c,0)，且傾斜角為60，所以∠MF1F2＝60，從而∠MF2F1＝30，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，
所以該橢圓的離心率e＝＝＝－1.
(2)由題意作出示意圖，
易得直線BC的斜率為，cos∠CF1F2＝，
又由雙曲線的定義及|BC|＝|CF2|可得
|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，
|BF2|－|BF1|＝2a?|BF2|＝4a，
故cos∠CF1F2＝＝?b2－2ab－2a2＝0?()2－2()－2＝0?＝1＋，
故雙曲線的漸近線方程為y＝(＋1)x.
思維升華 (1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵．
(2)在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．
跟蹤演練2 (1)設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30，則橢圓C的離心率為( )
A. B. C. D.
(2)(2015重慶)設雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點D，若D到直線BC的距離小于a＋，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案 (1)D (2)A
解析 (1)因為PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30，
所以|PF2|＝2ctan 30＝c，|PF1|＝c.
又|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，所以＝＝，
即橢圓C的離心率為.
(2)由題作出圖象如圖所示．
由－＝1可知A(a,0)，F(xiàn)(c,0)．
易得B，C.
∵kAB＝＝，
∴kCD＝.
∵kAC＝＝，
∴kBD＝－.
∴l(xiāng)BD：y－＝－(x－c)，
即y＝－x＋＋，
lCD：y＋＝(x－c)，
即y＝x－－.
∴xD＝c＋.
∴點D到BC的距離為.
∴b2，∴0<<1.∴0<<1.
熱點三 直線與圓錐曲線
判斷直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)或求交點問題有兩種常用方法
(1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標．
(2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)．
例3 (2015江蘇改編)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且右焦點F到直線l：x＝－的距離為3.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若|PC|＝2|AB|，求直線AB的方程．
解 (1)由題意，得＝且c＋＝3，
解得a＝，c＝1，則b＝1，
所以橢圓的標準方程為＋y2＝1.
(2)當AB⊥x軸時，|AB|＝，又|CP|＝3，不合題意．
當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線AB的方程代入橢圓方程，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
則x1,2＝，
C的坐標為，且
|AB|＝＝＝.
若k＝0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與直線l平行，不合題意．
從而k≠0，故直線PC的方程為
y＋＝－，
則P點的坐標為，
從而|PC|＝.
因為|PC|＝2|AB|，
所以＝，
解得k＝1.
此時直線AB的方程為y＝x－1或y＝－x＋1.
思維升華 解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設而不求思想，弦長公式等簡化計算；涉及中點弦問題時，也可用“點差法”求解．
跟蹤演練3 (1)設拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為( )
A．[－，] B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
(2)設橢圓C：＋＝1與函數(shù)y＝tan 的圖象相交于A1，A2兩點，若點P在橢圓C上，且直線PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是________．
答案 (1)C (2)[，]
解析 (1)由題意知拋物線的準線為x＝－2，∴Q(－2,0)，顯然，直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，
當k＝0時，x＝0，此時交點為(0,0)，當k≠0時，Δ≥0，
即[4(k2－2)]2－16k4≥0，解得－1≤k<0或00，b>0)的一條漸近線與直線3x＋y＋3＝0垂直，以C的右焦點F為圓心的圓(x－c)2＋y2＝2與它的漸近線相切，則雙曲線的焦距為( )
A．1 B．2 C. D．2
押題依據(jù) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)是圓錐曲線的靈魂，其中離心率、漸近線是高考命題的熱點．
答案 D
解析 由直線垂直的條件，求出漸近線的斜率，從而得到漸近線方程，根據(jù)圓心到漸近線的距離等于半徑，求得b，進而求出焦距2c.
由已知，得(－)＝－1，所以＝，
由點F(c,0)到漸近線y＝x的距離d＝＝，可得c＝，2c＝2，故選D.
2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且點(1，)在該橢圓上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AOB的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程．
押題依據(jù) 橢圓及其性質(zhì)是歷年高考的重點，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長、中點等知識應給予充分關(guān)注．
解 (1)由題意可得e＝＝，
又a2＝b2＋c2，
所以b2＝a2.
因為橢圓C經(jīng)過點(1，)，
所以＋＝1，
解得a＝2，所以b2＝3，
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，設直線l的方程為x＝ty－1，
由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，
顯然Δ>0恒成立，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝
＝ ＝，
所以S△AOB＝|F1O||y1－y2|＝＝，
化簡得18t4－t2－17＝0，
即(18t2＋17)(t2－1)＝0，
解得t＝1，t＝－(舍去)，
又圓O的半徑r＝＝，
所以r＝，故圓O的方程為x2＋y2＝.
A組 專題通關(guān)
1．點F為橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點，若橢圓上存在點A使△AOF為正三角形，那么橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.－1
答案 D
解析 如圖所示，設F為橢圓的右焦點，點A在第一象限，由已知得直線OA的斜率為k＝tan 60＝，
∴點A的坐標為.
∵點A在橢圓上，∴＋＝1，
即＋＝1.
∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，
又∵b2＝a2－c2，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，
∴e4－8e2＋4＝0，∴e2＝42，
又∵e∈(0,1)，∴e＝－1.故選D.
2．(2016浙江)已知橢圓C1：＋y2＝1(m＞0)與雙曲線C2：－y2＝1(n＞0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則( )
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
答案 A
解析 由題意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵ee＝＝
＝＝1＋＞1，∴e1e2＞1.
3．已知雙曲線C：－y2＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點，且點P的橫坐標為2，則△PF1Q的周長為( )
A. B．5
C. D．4
答案 A
解析 因為雙曲線C：－y2＝1，
所以a＝，b＝1，c＝＝2，
故F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)．
由于點P的橫坐標為2，則PQ⊥x軸．
令x＝2，則有y2＝－1＝，即y＝.
故|QF2|＝|PF2|＝，|PQ|＝，
|QF1|＝|PF1|＝|PF2|＋2a＝.
則△PF1Q的周長為|PF1|＋|QF1|＋|PQ|
＝＋＋＝.故選A.
4．設拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M為拋物線E上一點，|MF|的最小值為3，若點P為拋物線E上任意一點，A(4,1)，則|PA|＋|PF|的最小值為( )
A．4＋ B．7
C．4＋2 D．10
答案 B
解析 由題意，|MF|的最小值為3，∴＝3，
∴p＝6，∴拋物線E：y2＝12x，
拋物線y2＝12x的焦點F的坐標是(3,0)；
設點P在準線上的射影為D，
則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，
∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，當D，P，A三點共線時|PA|＋|PD|最小，為4－(－3)＝7，故選B.
5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)與拋物線y2＝8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|PF|＝5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為( )
A. B．2
C. D．3
答案 A
解析 ∵拋物線y2＝8x的焦點為F(2,0)，
∴雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點F的坐標為(2,0)，∴c2＝a2＋b2＝4.①
∵P是兩曲線的一個交點，且|PF|＝5，
∴xp＋2＝5，∴xp＝3，∴y＝24.
∵P(xp，yp)在雙曲線－＝1上，
∴－＝1.②
聯(lián)立 解得a2＝1，b2＝3.
∴雙曲線的方程為x2－＝1.
又雙曲線的漸近線方程為y＝x，
∴點F(2,0)到漸近線的距離為.
6．已知點A(2,4)在拋物線y2＝2px(p>0)上，且拋物線的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，若雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為____________．
答案 x2－＝1
解析 ∵點A(2,4)在拋物線y2＝2px(p>0)上，
∴16＝4p，解得p＝4.
∴拋物線的準線方程為x＝－2.
又拋物線的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，∴c＝2，又e＝＝2，
∴a＝1，則b2＝c2－a2＝4－1＝3，
∴雙曲線的方程為x2－＝1.
7．一動圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為__________．
答案 ＋＝1
解析 兩定圓的圓心和半徑分別是O1(－3,0)，r1＝1；
O2(3,0)，r2＝9.
設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設條件，
可得|MO1|＝R＋1，|O2M|＝9－R.
∴|MO1|＋|MO2|＝10>|O1O2|＝6.
由橢圓的定義知點M在以O1，O2為焦點的橢圓上，且2a＝10,2c＝6，∴b2＝16.
∴動圓圓心的軌跡方程為＋＝1.
8．過橢圓＋＝1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB的面積為________．
答案
解析 由已知得直線方程為y＝2(x－1)．
由得3y2＋2y－8＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴|y1－y2|＝＝＝，
∴S△AOB＝1＝.
9．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線－x2＝1的焦點重合，過點P(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A，B兩點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求的取值范圍．
解 (1)由雙曲線－x2＝1得其焦點為(0，)，
∴b＝.又由e＝＝，a2＝b2＋c2，得a2＝4，c＝1.
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)由題意可知直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y＝k(x－4)，由消去y，
得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋3)(64k2－12)>0，
得k2<.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝k2(x1－4)(x2－4)
＝k2x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2，
∴＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)－4k2＋16k2＝25－.
∵0≤k2<，∴－29≤－<－，
∴∈[－4，)．
故的取值范圍為[－4，)．
10.如圖所示，拋物線y2＝4x的焦點為F，動點T(－1，m)，過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點，弦PQ的中點為N.
(1)證明：線段NT平行于x軸(或在x軸上)；
(2)若m＞0且|NF|＝|TF|，求m的值及點N的坐標．
(1)證明 易知拋物線的焦點F(1,0)，準線x＝－1，動點T(－1，m)在準線上，則kTF＝.
當m＝0時，T為拋物線準線與x軸的交點，這時PQ為拋物線的通徑，點N與焦點F重合，顯然線段NT在x軸上．
當m≠0時，由條件知kPQ＝，所以直線PQ的方程為y＝(x－1)，聯(lián)立得x2－(2＋m2)x＋1＝0，又Δ＝[－(2＋m2)]2－4＝m2(4＋m2)＞0，
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，可知x1＋x2＝2＋m2，y1＋y2＝(x1＋x2－2)＝2m.所以弦PQ的中點N(，m)，又T(－1，m)，知kNT＝0，則NT平行于x軸．
綜上可知線段NT平行于x軸(或在x軸上)．
(2)解 已知|NF|＝|TF|，在△TFN中，tan∠NTF＝＝1?∠NTF＝45，
設A是準線與x軸的交點，則△TFA是等腰直角三角形，所以|TA|＝|AF|＝2，
又動點T(－1，m)，其中m＞0，則m＝2.
因為∠NTF＝45，所以kPQ＝tan 45＝1，又焦點F(1,0)，可得直線PQ的方程為y＝x－1，由m＝2得T(－1,2)，由(1)知線段NT平行于x軸，設N(x0，y0)，則y0＝2，代入y＝x－1，得x0＝3，所以N(3,2)．
B組 能力提高
11．已知F1、F2為橢圓＋＝1的左、右焦點，若M為橢圓上一點，且△MF1F2的內(nèi)切圓的周長等于3π，則滿足條件的點M有( )
A．0個 B．1個
C．2個 D．4個
答案 C
解析 由橢圓方程＋＝1可得a2＝25，b2＝16，
∴a＝5，b＝4，c＝3.
由橢圓的定義可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，且|F1F2|＝2c＝6，
∴△MF1F2的周長|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝10＋6＝16.
設△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，
由題意可得2πr＝3π，解得r＝.
設M(x0，y0)，
則＝(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)r
＝|F1F2||y0|，即16＝6|y0|，
解得|y0|＝4.∴y0＝4.
∴M(0,4)或(0，－4)．
即滿足條件的點M有2個．故選C.
12．已知圓x2＋y2＝上點E處的一條切線l過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F，且與雙曲線的右支交于點P，若＝(＋)，則雙曲線的離心率是______________．
答案
解析 如圖所示，設雙曲線的右焦點為H，連接PH，
由題意可知|OE|＝，
由＝(＋)，
可知E為FP的中點．
由雙曲線的性質(zhì)，可知O為FH的中點，
所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，
故|PH|＝2|OE|＝.
由雙曲線的定義，可知|PF|－|PH|＝2a(P在雙曲線的右支上)，所以|PF|＝2a＋|PH|＝.
因為直線l與圓相切，所以PF⊥OE.
又OE∥PH，所以PF⊥PH.
在Rt△PFH中，|FH|2＝|PH|2＋|PF|2，
即(2c)2＝()2＋()2，
整理得＝，即e＝.
13．經(jīng)過橢圓＋＝1的右焦點的直線l交拋物線y2＝4x于A、B兩點，點A關(guān)于y軸的對稱點為C，則＝________.
答案?。?
解析 由橢圓＋＝1知右焦點為(1,0)，當直線l的斜率為0時，不符合題意，故可設直線l的方程為x＝my＋1.
由得y2－4my－4＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－4，
∴x1x2＝＝1.
由題意知C(－x1，y1)，∴＝(x2，y2)(－x1，y1)＝－x1x2＋y1y2＝－1－4＝－5.
14．已知橢圓C的長軸左，右頂點分別為A，B，離心率e＝，右焦點為F，且＝－1.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若P是橢圓C上的一動點，點P關(guān)于坐標原點的對稱點為Q，點P在x軸上的射影點為M，連接QM并延長交橢圓于點N，求證：∠QPN＝90.
(1)解 依題意，設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，
則A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)，
由e＝＝，得a＝c.①
由＝－1，
得(c＋a,0)(c－a,0)＝c2－a2＝－1.②
聯(lián)立①②，解得a＝，c＝1，
所以b2＝1，
故橢圓C的標準方程為＋y2＝1.
(2)證明 設P(x1，y1)，N(x2，y2)，
由題意知xi≠0，yi≠0(i＝1,2)，
且x1≠x2，
又Q(－x1，－y1)，M(x1,0)．
由Q，M，N三點共線，知kQM＝kQN，
所以＝.③
又kPQkPN＋1＝＋1.④
把③代入④，得kPQkPN＋1＝＋1＝.⑤
因為點P，N在橢圓上，
所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，⑥
把⑥代入⑤，得kPQkPN＋1＝＝0，
即kPQkPN＝－1，所以∠QPN＝90.
高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習 理
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