第1講　直線與圓 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2016山東改編)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是________． 答案　相交 解析　∵圓M：x2＋(y－a)2＝a2， ∴圓心坐標(biāo)為M(0，a)，半徑r1為a， 圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝， 由幾何知識得2＋()2＝a2，解得a＝2. ∴M(0,2)，r1＝2. 又圓N的圓心坐標(biāo)為N(1,1)，半徑r2＝1， ∴MN＝＝， r1＋r2＝3，r1－r2＝1. ∴r1－r2＜MN＜r1＋r2，∴兩圓相交． 2．(2016上海)已知平行直線l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，則l1與l2的距離是________． 答案　 3．(2016浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是______．半徑是______． 答案　(－2，－4)　5 解析　由已知方程表示圓，則a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 當(dāng)a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去． 當(dāng)a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓． 4．(2016課標(biāo)全國乙)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若AB＝2，則圓C的面積為________． 答案　4π 解析　圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，C到直線y＝x＋2a的距離為d＝＝.又由AB＝2，得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圓的面積為π(a2＋2)＝4π. 考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題．直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中低檔，一般以填空題的形式出現(xiàn)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 熱點(diǎn)一　直線的方程及應(yīng)用 1．兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在． 2．求直線方程 要注意幾種直線方程的局限性．點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線． 3．兩個距離公式 (1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝. (2)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝. 例1　(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是________． (2)過點(diǎn)(5,2)且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是______________． 答案　(1)3或5　(2)2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 解析　(1)兩直線平行，則A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0，所以有－2(k－3)－2(k－3)(4－k)＝0，解得k＝3或5，且滿足條件A1C2－A2C1≠0. (2)若直線在坐標(biāo)軸上的截距為0，設(shè)直線方程為y＝kx，由直線過點(diǎn)(5,2)，可得k＝，此時直線方程為2x－5y＝0；若直線在坐標(biāo)軸上的截距不為0，根據(jù)題意設(shè)直線方程為＋＝1，由直線過點(diǎn)(5,2)，可得a＝6，此時直線方程為2x＋y－12＝0. 思維升華　(1)求解兩條直線的平行或垂直問題時要考慮斜率不存在的情況；(2)對解題中可能出現(xiàn)的特殊情況，可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究． 跟蹤演練1　已知直線l1：ax＋2y＋1＝0與直線l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1⊥l2，則a的值為________． 答案　1或2 解析　由l1⊥l2，則a(3－a)－2＝0， 即a＝1或a＝2. 熱點(diǎn)二　圓的方程及應(yīng)用 1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時，方程為x2＋y2＝r2. 2．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－，－)為圓心，為半徑的圓． 例2　(1)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸相切，則圓C的方程為______________． (2)過點(diǎn)A(a，a)可作圓x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的兩條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________． 答案　(1)(x－2)2＋(y)2＝4　(2)a<－3或1<a< 解析　(1)因?yàn)閳AC經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，所以圓心在直線x＝2上，又圓與y軸相切，所以半徑r＝2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，b)，則(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝. (2)圓x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的圓心為(a,0)，且a<，并且(a，a)在圓外，即有a2>3－2a，解得a<－3或1<a<. 思維升華　解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． 跟蹤演練2　(1)(2015課標(biāo)全國Ⅰ)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________． (2)兩條互相垂直的直線2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0的交點(diǎn)為P，若圓C過點(diǎn)P和點(diǎn)M(－3,2)，且圓心在直線y＝x上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________． 答案　(1)2＋y2＝ (2)(x＋6)2＋(y＋3)2＝34 解析　(1)由題意知圓過(4,0)，(0,2)，(0，－2)三點(diǎn)， (4,0)，(0，－2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y＋1＝－2(x－2)， 令y＝0，解得x＝，圓心為，半徑為. 得該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－)2＋y2＝. (2)由直線2x＋y＋2＝0和直線ax＋4y－2＝0垂直得2a＋4＝0，故a＝－2，代入直線方程，聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為P(－1,0)，易求得線段MP的垂直平分線的方程為x－y＋3＝0，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，則圓心(a，b)為直線x－y＋3＝0與直線y＝x的交點(diǎn)，由解得圓心坐標(biāo)為(－6，－3)，從而得到r2＝34，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋6)2＋(y＋3)2＝34. 熱點(diǎn)三　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1．直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點(diǎn)線距離法和判別式法． (1)點(diǎn)線距離法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d<r?直線與圓相交，d＝r?直線與圓相切，d>r?直線與圓相離． (2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，方程組消去y，得關(guān)于x的一元二次方程根的判別式Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0. 2．圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離． 設(shè)圓C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圓C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下： (1)d>r1＋r2?兩圓外離； (2)d＝r1＋r2?兩圓外切； (3)|r1－r2|<d<r1＋r2?兩圓相交； (4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)切； (5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)含． 例3　(1)已知直線y＝kx(k>0)與圓C：(x－2)2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若AB＝，則k＝_________. (2)若直線y＝x＋b與曲線x＝恰有一個公共點(diǎn)，則b的取值范圍是____________． 答案　(1)　(2)(－1,1]∪{－} 解析　(1)圓心C，半徑為1，圓心到直線的距離d＝，而AB＝，得()2＋2＝1，解得k＝. (2)曲線x＝，即x2＋y2＝1(x≥0)表示一個半徑為1的半圓，如圖所示． 當(dāng)直線y＝x＋b經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)時，求得b＝1； 當(dāng)直線y＝x＋b經(jīng)過點(diǎn)B(1,0)時，求得b＝－1； 當(dāng)直線和半圓相切于點(diǎn)D時，由圓心O到直線y＝x＋b的距離等于半徑， 可得＝1，求得b＝－，或b＝(舍去)． 故當(dāng)直線y＝x＋b與曲線x＝恰有一個公共點(diǎn)時，b的取值范圍是－1<b≤1或b＝－. 思維升華　(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量． (2)圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題． 跟蹤演練3　(1)過點(diǎn)P(－4,0)的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，則直線l的方程為____________． (2)已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，0)，B(0,1)到直線l的距離分別為1,2，則這樣的直線l共有________條． 答案　(1)x3y＋4＝0　(2)3 解析　(1)如果直線l與x軸平行，則A(1－，0)，B(1＋，0)，A不是PB的中點(diǎn)，則直線l與x軸不平行；設(shè)l：x＝my－4，圓心C到直線l的距離d＝，令A(yù)B中點(diǎn)為Q，則AQ＝，PQ＝3AQ＝3，在Rt△CPQ中PQ2＋CQ2＝PC2，得d2＝＝， 解得m＝3，則直線l的方程為x3y＋4＝0. (2)由題意得直線l為圓(x－2)2＋y2＝1(A為圓心)與圓x2＋(y－1)2＝4(B為圓心)的公切線，∵AB＝＝3＝1＋2，∴兩圓外切， ∴兩圓共有3條公切線．故答案為3. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且被x軸分成的兩段弧長比為1∶2，則圓C的方程為______________． 押題依據(jù)　直線和圓的方程是高考的必考點(diǎn)，經(jīng)常以填空題的形式出現(xiàn)，利用幾何法求圓的方程也是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 答案　x2＋(y)2＝ 解析　由已知得圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為π. 設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，a)，半徑為r， 則rsin＝1，rcos＝|a|， 解得r＝， 即r2＝， |a|＝，即a＝， 故圓C的方程為x2＋(y)2＝. 2．設(shè)m，n為正實(shí)數(shù)，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0與圓x2＋y2－4x－4y＋4＝0相切，則mn的最小值為________． 押題依據(jù)　直線與圓的位置關(guān)系是高考命題的熱點(diǎn)，本題與基本不等式結(jié)合考查，靈活新穎，加之直線與圓的位置關(guān)系本身承載著不等關(guān)系，因此此類題在高考中出現(xiàn)的可能性很大． 答案　3＋2 解析　根據(jù)圓心到直線的距離是2得到m，n的關(guān)系，然后結(jié)合不等式即可求解． 由直線(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0與圓(x－2)2＋(y－2)2＝4相切，可得＝2，整理得m＋n＋1＝mn，由m，n為正實(shí)數(shù)，可知m＋n≥2，令t＝，則2t＋1≤t2，因?yàn)閠>0，所以t≥1＋，所以mn≥3＋2.故mn有最小值3＋2，無最大值． 3．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的長為2，則a＝________. 押題依據(jù)　本題已知公共弦長，求參數(shù)的范圍，情境新穎，符合高考命題的思路． 答案　 解析　聯(lián)立兩圓方程 可得公共弦所在直線方程為ax＋2ay－5＝0， 故圓心(0,0)到直線ax＋2ay－5＝0的距離為＝(a>0)．故2＝2， 解得a2＝，因?yàn)閍>0，所以a＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A組　專題通關(guān) 1．設(shè)A、B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且PA＝PB，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是____________． 答案　x＋y－5＝0 解析　由于直線PA的傾斜角為45，且PA＝PB，故直線PB的傾斜角為135，又由題意知P(2,3)，∴直線PB的方程為y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0. 2．(教材改編)設(shè)直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2，則a＝________. 答案　0 解析　由弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形，得()2＋(－)2＝22，解得a＝0. 3．過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直線的方程為________________． 答案　3x＋y＝0或x－3y＝0 解析　設(shè)直線方程為y＝kx，即kx－y＝0. ∵圓方程可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝， ∴圓心為(2，－1)，半徑為. 依題意有＝， 解得k＝－3或k＝， ∴直線方程為3x＋y＝0或x－3y＝0. 4．已知圓O1的方程為x2＋y2＝4，圓O2的方程為(x－a)2＋y2＝1，如果這兩個圓有且只有一個公共點(diǎn)，那么a的所有取值構(gòu)成的集合是____________． 答案　{1，－1,3，－3} 解析　∵兩個圓有且只有一個公共點(diǎn)， ∴兩個圓內(nèi)切或外切． 內(nèi)切時，|a|＝1；外切時，|a|＝3，∴實(shí)數(shù)a的取值集合是{1，－1,3，－3}． 5．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則PM＋PN的最小值為__________． 答案　5－4 解析　兩圓的圓心均在第一象限，先求PC1＋PC2的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C1′(2，－3)， 則(PC1＋PC2)min＝C1′C2＝5， 所以(PM＋PN)min＝5－(1＋3)＝5－4. 6．已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，l1∥l2，則a的值為________，直線l1與l2間的距離為________． 答案　－1　 解析　∵l1∥l2，∴a1＝－11?a＝－1， 此時l1：x＋y－1＝0， ∴l(xiāng)1，l2之間的距離為＝. 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P的直線與圓x2＋y2＝1相切于點(diǎn)T，與圓2＋2＝3相交于點(diǎn)R，S，且PT＝RS，則正數(shù)a的值為________． 答案　4 解析　由題意得PT＝＝，kPT＝，PT：y＝(x＋2)，即x－y＋2＝0，又RS＝PT＝，所以圓2＋2＝3的圓心到直線PT距離為＝，從而＝，因此正數(shù)a的值為4. 8．(2016課標(biāo)全國丙)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若AB＝2，則CD＝______. 答案　4 解析　設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由題意知，圓的半徑R＝2，AB＝2，所以O(shè)M＝3，解得m＝－， 由解得A(－3，)，B(0,2)，則AC的直線方程為y－＝－(x＋3)，BD的直線方程為y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以CD＝4. 9．已知點(diǎn)A(3,3)，B(5,2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點(diǎn)，求直線l的方程． 解　解方程組得交點(diǎn)P(1,2)． ①若點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，則l∥AB. 而kAB＝＝－， 由點(diǎn)斜式得直線l的方程為 y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. ②若點(diǎn)A，B分別在直線l的異側(cè)，則直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)(4，)， 由兩點(diǎn)式得直線l的方程為＝， 即x－6y＋11＝0. 綜上所述，直線l的方程為 x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0. 10．(2015課標(biāo)全國Ⅰ)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)． (1)求k的取值范圍； (2)若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MN. 解　(1)由題設(shè)可知，直線l的方程為y＝kx＋1， 因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1. 解得<k<. 所以k的取值范圍為. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)． 將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. ＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝＋8. 由題設(shè)可得＋8＝12，解得k＝1， 所以l的方程為y＝x＋1. 故圓心C在l上，所以MN＝2. B組　能力提高 11．直線y＝k(x－1)與以A(3,2)，B(2，3)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是________． 答案　[1,3] 解析　因?yàn)橹本€y＝k(x－1)恒過P(1,0)，畫出圖形，直線y＝k(x－1)與以A(3,2)，B(2,3)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線落在陰影區(qū)域內(nèi)，因?yàn)閗PA＝＝1， kPB＝＝3，故k的取值范圍是[1,3]． 12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：(x－1)2＋y2＝2，圓C2：(x－m)2＋(y＋m)2＝m2，若圓C2上存在點(diǎn)P滿足：過點(diǎn)P向圓C1作兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，△ABP的面積為1，則正數(shù)m的取值范圍是__________． 答案　[1,3＋2] 解析　設(shè)P(x，y)，設(shè)PA，PB的夾角為2θ. △ABP的面積S＝PA2sin 2θ ＝PA2＝1. 由PA3＝PC＝PA2＋2，解得PA＝， 所以PC1＝2，所以點(diǎn)P在圓(x－1)2＋y2＝4上． 所以|m－2|≤≤m＋2， 解得1≤m≤3＋2. 13．已知圓O：x2＋y2＝4，若不過原點(diǎn)O的直線l與圓O交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列，則直線l的斜率為________． 答案　1 解析　設(shè)l：y＝kx＋b(b≠0)，代入圓的方程，化簡得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－4＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 得x1＋x2＝－，x1x2＝， kOPkOQ＝ ＝(k＋)(k＋) ＝k2＋kb()＋ ＝k2＋kb(－)＋ ＝ ＝， 由kOPkOQ＝k，得＝k2， 解得k＝1. 14．已知以點(diǎn)C(t，)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn)． (1)求證：△OAB的面積為定值； (2)設(shè)直線y＝－2x＋4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OM＝ON，求圓C的方程． (1)證明　由題意知圓C過原點(diǎn)O， 且OC2＝t2＋. 則圓C的方程為(x－t)2＋(y－)2＝t2＋， 令x＝0，得y1＝0，y2＝； 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t. 故S△OAB＝OAOB＝|2t|||＝4， 即△OAB的面積為定值． (2)解　∵OM＝ON，CM＝CN， ∴OC垂直平分線段MN. ∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴直線OC的方程為y＝x， ∴＝t，解得t＝2或t＝－2. 當(dāng)t＝2時，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，OC＝， 此時圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝＜，圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點(diǎn)；當(dāng)t＝－2時，圓心C的坐標(biāo)為(－2，－1)，OC＝，此時圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝>，圓C與直線y＝－2x＋4不相交， ∴t＝－2不符合題意，應(yīng)舍去． 綜上，圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.