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專題07 等差數(shù)列 1. 已知等差數(shù)列的前項和分別為，若對于任意的自然數(shù)，都有， 則（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由題意得，故選D. 考點：等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用. 2. 等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 考點：等差數(shù)列的通項公式． 3. 已知等差數(shù)列滿足，則有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知， 可得，所以，故選C． 考點：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用． 4. 我國古代數(shù)學名著《張邱建算經(jīng)》有“分錢問題”：今有與人錢，初一人與三錢，次一人與四錢，次一人與五錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，與訖，還斂聚與均分之，人得一百錢，問人幾何？意思是：將錢分給若干人，第一人給3錢，第二人給4錢，第三人給5錢，以此類推，每人比前一人多給1錢，分完后，再把錢收回平均分給各人，結(jié)果每人分得100錢，問有多少人？則題中的人數(shù)是 ． 【答案】 【解析】 試題分析：本題考查等差數(shù)列相關(guān)知識，設(shè)人數(shù)為，依題意有，解得，所以共有人. 考點：等差數(shù)列. 5. 已知等差數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列的前100項和為 ． 【答案】 【解析】 考點：裂項求和法. 6. 設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有. 考點：等差數(shù)列的基本性質(zhì). 7. 《九章算術(shù)》是我國古代的優(yōu)秀數(shù)學著作，在人類歷史上第一次提出負數(shù)的概率，內(nèi)容涉及方程、幾何、數(shù)列、面積、體積的計算等多方面，書的第6卷19題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．”如果竹由下往上均勻變細（各節(jié)容量成等差數(shù)列），則其余兩節(jié)的容量共多少升（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 考點：等差數(shù)列，數(shù)學文化. 8. 已知為等差數(shù)列，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：令，，令，，兩式相減得，故. 考點：等差數(shù)列求首項. 9. 已知等差數(shù)列的公差，且 成等比數(shù)列，若為數(shù)列的前項和，則的最小值為（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由于 成等比數(shù)列，所以，解得，所以. 考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列. 10. 《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學專著，書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，則第九日所織尺數(shù)為（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】 試題分析：該數(shù)列為等差數(shù)列，且，即，解得. 考點：等差數(shù)列，數(shù)學文化. 11. 若是等差數(shù)列的前項和，且，則的值為（ ） A．12 B．18 C．22 D．44 【答案】C 【解析】 考點：1、等差數(shù)列性質(zhì)；2、等差數(shù)列求和公式. 12. 設(shè)等差數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，則使得最大的自然數(shù) 是（ ） A．9 B．8 C．10 D．7 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)個等差數(shù)列公差為因為，所以，解得，所以，所以數(shù)列是減數(shù)列，且，于是，故選A. 考點：1、等差數(shù)列通項公式；2、等差數(shù)列的前項和公式. 13. “中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的接法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2016這2016個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項數(shù)為 ． 【答案】 【解析】 考點：1、閱讀能力及建模能力；2、等差數(shù)列的通項公式. 14. 《張丘建算經(jīng)》是我國南北朝時期的一部重要數(shù)學著作，書中系統(tǒng)的介紹了等差數(shù)列，同類結(jié)果在三百多年后的印度才首次出現(xiàn)，書中有這樣一個問題，大意為：某女子善于織布，后一天比前一天織的快，而且每天增加的數(shù)量相同，已知第一天織布5尺，一個月（按30天計算）總共織布390尺，問每天增加的數(shù)量為多少尺？該問題的答案為（ ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【解析】 試題分析：設(shè)每天增加的數(shù)量尺，則一個月織布尺數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列如下，由等差數(shù)列前項公式得，故選B. 考點：1、閱讀能力及等差數(shù)列定義；2、等差數(shù)列的求和公式. 15. 已知等差數(shù)列中，，，記，則（ ） A．78 B．152 C．156 D．168 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為①，②，聯(lián)立①②，解得，故選C. 考點：1、等差數(shù)列的通項公式；2、等差數(shù)列的前項和公式. 16. 《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升． 【答案】 【解析】 試題分析：由題意可知，解得，所以. 考點：等差數(shù)列通項公式． 17. 在等差數(shù)列中，，那么該數(shù)列的前14項和為 ． 【答案】 【解析】 考點：等差數(shù)列的性質(zhì). 18. 各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，則前12項和的最小值為___________. 【答案】 【解析】 試題分析：. 考點：等差數(shù)列的基本性質(zhì)與前項和，基本不等式. 19. 在正項等差數(shù)列中，，且，則（ ） A．成等比數(shù)列 B．成等比數(shù)列 C．成等比數(shù)列 D．成等比數(shù)列 【答案】B 【解析】 考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列運算. 20. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：，．故選B． 考點：等差數(shù)列. 21. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，若，則的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】 試題分析：設(shè)公差為，由得，即，則由得，解得. 考點：等差數(shù)列的性質(zhì). 22. 數(shù)列的前項和，，，若，則 . 【答案】 【解析】 試題分析：，，解得. 考點：等差數(shù)列的前項和. 23. 在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里;駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢，問:幾日相逢? （ ） A．12日 B．16日 C. 8日 D．9日 【答案】D 【解析】 考點：等差數(shù)列通項及前項和. 24. 等差數(shù)列的公差為，關(guān)于的不等式的解集為，則使數(shù)列的前項和最大的正整數(shù)的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：∵關(guān)于的不等式的解集為，∴，分別是一元二次方程的兩個實數(shù)根，且．∴，可得：，∴．∴，可得：，．∴使數(shù)列的前項和最大的正整數(shù)的值是．故選：B． 考點：等差數(shù)列的前項和. 25. 等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列的等比數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項和為，若對一切正整數(shù)都成立，則的最小值為 ． 【答案】 【解析】 考點：等差數(shù)列等比數(shù)列的通項及前項和公式錯位相減法求和等有關(guān)知識的綜合運用．