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第2講 不等式選講
1．(2016課標全國Ⅱ)已知函數f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|<|1＋ab|.
(1)解 f(x)＝
當x≤－時，由f(x)<2得－2x<2，
解得x>－1，所以，－1
0.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．
解 (1)當a＝1時，f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0.
當x≤－1時，不等式化為x－4>0，無解；
當－10，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.
(2)由題設可得，f(x)＝
所以函數f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面積為(a＋1)2.
由題設得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范圍為(2，＋∞)．
本部分主要考查絕對值不等式的解法.求含絕對值的函數的值域及求含參數的絕對值不等式中參數的取值范圍，不等式的證明等，結合集合的運算、函數的圖象和性質、恒成立問題及基本不等式，絕對值不等式的應用成為命題的熱點，主要考查基本運算能力與推理論證能力及數形結合思想、分類討論思想.
熱點一 含絕對值不等式的解法
含有絕對值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)?－ay.求證：2x＋≥2y＋3.
(2)已知實數x，y滿足：|x＋y|<，|2x－y|<，
求證：|y|<.
證明 (1)因為x>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y
＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3，
(2)因為3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|
≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由題設知|x＋y|<，|2x－y|<，
從而3|y|<＋＝，所以|y|<.
思維升華 (1)作差法應該是證明不等式的常用方法．作差法證明不等式的一般步驟：①作差；②分解因式；③與0比較；④結論．關鍵是代數式的變形能力．
(2)在不等式的證明中，適當“放”“縮”是常用的推證技巧．
跟蹤演練2 (1)若a，b∈R，求證：≤＋.
(2)已知a，b，c均為正數，a＋b＝1，求證：＋＋≥1.
證明 (1)當|a＋b|＝0時，不等式顯然成立．
當|a＋b|≠0時，由0<|a＋b|≤|a|＋|b|?≥，所以＝≤＝≤＋.
(2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
所以＋＋≥1.
熱點三 柯西不等式的應用
柯西不等式
(1)設a，b，c，d均為實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時等號成立．
(2)設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當且僅當bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個數k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立．
例3 (2015福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函數f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
解 (1)因為f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，當且僅當－a≤x≤b時，等號成立．又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.
所以f(x)的最小值為a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值為4，
所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，
即a2＋b2＋c2≥.當且僅當＝＝，
即a＝，b＝，c＝時等號成立．
故a2＋b2＋c2的最小值為.
思維升華 (1)使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形，化為符合它的結構形式，當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般結構為
(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數且應注意等號成立的條件．
跟蹤演練3 已知定義在R上的函數f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正實數，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.
(1)解 因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當且僅當－1≤x≤2時，等號成立，
所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)證明 由(1)知p＋q＋r＝3，又因為p，q，r是正實數，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p1＋q1＋r1)2＝(p＋q＋r)2＝9，
即p2＋q2＋r2≥3.
1．解不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1.
解 ①當x<－3時，原不等式轉化為－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.
②當－3≤x<時，原不等式轉化為(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.
③當x≥時，原不等式轉化為(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.
綜上可知，原不等式的解集為{x|x<－或x>2}．
2．設a，b，c均為正實數，試證明不等式＋＋≥＋＋，并說明等號成立的條件．
解 因為a，b，c均為正實數，
所以≥≥，
當且僅當a＝b時等號成立；
≥≥，當且僅當b＝c時等號成立；
≥≥，當且僅當a＝c時等號成立．
三個不等式相加，得＋＋≥＋＋，
當且僅當a＝b＝c時等號成立．
3．若a、b、c均為實數，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋.求證：a、b、c中至少有一個大于0.
證明 假設a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
所以a＋b＋c>0，這與a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一個大于0.
A組 專題通關
1．如果關于x的不等式|x－3|－|x－4|－1時，不等式的解集不是空集．
即實數a的取值范圍是(－1，＋∞)．
2．設x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求實數λ的最小值．
解 ∵x>0，y>0，∴原不等式可化為－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋.
∵2＋＋≥2＋2＝4，
當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立．
∴[(＋)(x＋y)]min＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即實數λ的最小值是－4.
3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對任意實數x恒成立，求實數a的取值范圍．
解 設y＝|2x－1|＋|x＋2|＝
當x<－2時，y＝－3x－1>5；
當－2≤x<時，y＝－x＋3>；
當x≥時，y＝3x＋1≥，故函數y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值為.因為不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對任意實數x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范圍為[－1，]．
4．設不等式|x－2|1時，由2x<4，得1|x＋1|成立，求實數x的取值范圍．
解 由柯西不等式知
[12＋()2＋()2][a2＋(b)2＋(c)2]
≥(1a＋b＋c)2
即6(a2＋2b2＋3c2)≥ (a＋2b＋3c)2.
又∵a2＋2b2＋3c2＝6，
∴66≥(a＋2b＋3c)2，
∴－6≤a＋2b＋3c≤6，∵存在實數a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立．
∴|x＋1|<6，∴－70.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．
解 (1)當a＝1時，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化為不等式組
或
即或
因為a>0，所以不等式組的解集為{x|x≤－}．
由題設可得－＝－1，故a＝2.
8．(2016課標全國丙)已知函數f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)當a＝2時，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)設函數g(x)＝|2x－1|.當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍．
解 (1)當a＝2時，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}．
(2)當x∈R時，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|
≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
當x＝時等號成立，
所以當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3等價于|1－a|＋a≥3.①
當a≤1時，①等價于1－a＋a≥3，無解．
當a＞1時，①等價于a－1＋a≥3，
解得a≥2.
所以a的取值范圍是[2，＋∞)．
高考數學大二輪總復習與增分策略 專題八 系列4選講 第2講 不等式選講練習 理
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