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南城二中2015--2016學(xué)年下學(xué)期第一次月考高二數(shù)學(xué)（理）試卷 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1.已知函數(shù)f (x ) = a x 2 ＋c,且=2 , 則a的值為（ ） A.1 B. C.－1 D. 0 2. 一物體的運(yùn)動方程為，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在4秒末的瞬時速度是（ ） A. 8米/秒 B. 7米/秒 C. 6米/秒 D. 5米/秒 3．已知函數(shù)上任一點處的切線斜率，則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　 　) A. B. C. D. 4 定義運(yùn)算，則符合條件的復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5 如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為 （ ） A. B. C. D. 6．已知為虛數(shù)單位，為實數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則“”是“點在第四象限”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 7.若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于(　 　) A．2 B．6 C．9 D．3 8．下面四個圖象中，有一個是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則等于(　 ) A． B．－ C． D．－或 9.設(shè) 其中 ，則 的極大值點個數(shù)是(　 ) A．25 B． 27 C．26 D.28 10.函數(shù)的圖象與軸所圍成的封閉圖形的面積為(　 ) A． B. C. D. 11.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A B C D． 12． 如圖所示，連結(jié)棱長為2cm的正方體各面的中心得一個多面體容器，從頂點A處向該容器內(nèi)注水，注滿為止．已知頂點B到水面的高度h以每秒1cm勻速上升，記該容器內(nèi)水的體積V（cm3）與時間T（S）的函數(shù)關(guān)系是V（t），則函數(shù)V（t）的導(dǎo)函數(shù)y=V′（t）的圖象大致是（　 ） B． C． D． A． 二、填空題（每小題5分，共20分） 13、若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù) . 14.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是______　 15.已知函數(shù)f(x)=ex-mx+1的圖象為曲線C,若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線,則實數(shù)m的取值范圍是__________. 16.下列命題中 ①若,則函數(shù)在取得極值； ②若，則-12 ③若（為復(fù)數(shù)集），且的最小值是； ④若函數(shù)既有極大值又有極小值, 則a>或a< － 正確的命題有__________． 三、解答題（17題滿分10分，18題、19題、20題、21題、22題滿分各12分） 17.（1）已知復(fù)數(shù)z滿足,的虛部為2,求復(fù)數(shù)z; （2）求函數(shù)、直線及兩坐標(biāo)軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積； 18. 已知函數(shù)的圖象如圖，直線在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為. （1）求的解析式； （2）若常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值. 19.某商城銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式y(tǒng)=,其中,a為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該產(chǎn)品11千克。 （1）求a的值 （2）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。 20、設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間； （Ⅱ）已知對任意成立，求實數(shù)的取值范圍。 21. 已知函數(shù) （1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍； （2）若且關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求 實數(shù)的取值范圍； 22.定義在上的函數(shù)滿足， . ⑴ 求函數(shù)的解析式； ⑵ 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； ⑶ 當(dāng)時，求證： 1--5 A C B C D 6-10 B C D B A 11-12 C D 13 -3 14 丙 16 ②③⑤ 17.（1）設(shè)z=a+bi(a,bR)由已知條件得 的虛部為2，2ab=2a=b=1或a=b=-1, 即z=1+i或z=-1-i. （5分） （2）……（10分） 18解析】 (1)由得， ………………………………………2分 .由得， ………………………………………4分 ∴，則易知圖中所圍成的區(qū)域(陰影)面積為從而得，∴. ………………………8分 （2）由（1）知. 的取值變化情況如下： 2 單調(diào) 遞增 極大值 單調(diào) 遞減 極小值 單調(diào) 遞增 又,①當(dāng)時, ； ②當(dāng)時, …………………………………………11分 綜上可知：當(dāng)時, ； 當(dāng)時, …………………………………12分 19（1）因為x=5時，y=11,所以，解得a=2. （3分） (2)由（1）知該商品每日的銷售量, 所以，商場每日銷售該商品所獲得的利潤為 . （6分） 從而= 令0，得x=4. 函數(shù)在（3，4）上單調(diào)遞增，在（4，6）上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)x=4時，函數(shù)取得最大值=42. 答：當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42. 20.解 (1) 若 則 列表如下 + 0 - - 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 單調(diào)減 …………6分 (2) 在 兩邊取對數(shù), 得 ,由于所以 (1) 由(1)的結(jié)果可知,當(dāng)時, , 為使(1)式對所有成立,當(dāng)且僅當(dāng),即 …………12分 21 解：（1） ………1分 依題意在時恒成立，即在恒成立． 則在恒成立，即 ………2分 當(dāng)時，取最小值………………3分 ∴的取值范圍是 ………………5分 （2） 設(shè)則 …………6分 極大值 極小值 ∴極小值，極大值， 又 ………………9分 方程在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根． 則， ………………11分 得 ………………12分 22.解：（1），所以， 即. 又， …………2分 所以，所以. …………3分 （2）， . …………4分 ①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； …………5分 ②當(dāng)時，由得， ∴時，， 單調(diào)遞減；時， ，單調(diào)遞增. …………6分 綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. …………7分 3）證明：， 令，則只要證明在上單調(diào)遞增， 又∵， 顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增． ∴，即， ∴在上單調(diào)遞增，即， ∴當(dāng)時，有．