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專題14.1 幾何證明選講 【三年高考】 1. 【2016高考天津】如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長為__________. 【答案】 2.【2016高考新課標1卷】如圖,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120.以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓. (I)證明：直線AB與O相切； (II)點C,D在⊙O上,且A,B,C,D四點共圓,證明：AB∥CD. 3．【2016高考新課標2】如圖，在正方形中，分別在邊上（不與端點重合），且，過點作，垂足為． (Ⅰ) 證明：四點共圓； (Ⅱ)若，為的中點，求四邊形的面積． 【解析】（I）因為,所以則有所以由此可得由此所以四點共圓.（II）由四點共圓，知，連結(jié)，由為斜邊的中點，知,故因此四邊形的面積是面積的2倍，即 4．【2016高考新課標3】如圖，中的中點為，弦分別交于兩點． （I）若，求的大??； （II）若的垂直平分線與的垂直平分線交于點，證明． 【解析】（Ⅰ）連結(jié)，則.因為，所以，又，所以.又，所以， 因此. （Ⅱ）因為，所以，由此知四點共圓，其圓心既在的垂直平分線上，又在的垂直平分線上，故就是過四點的圓的圓心，所以在的垂直平分線上，又也在的垂直平分線上，因此． 5.【2015高考新課標2，】如圖，為等腰三角形內(nèi)一點，圓與的底邊交于、兩點與底邊上的高交于點，與、分別相切于、兩點． （Ⅰ）證明：； （Ⅱ） 若等于的半徑，且，求四邊形的面積． 【解析】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分線．又因為分別與、相切于、兩點，所以，故．從而． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分線，又是的弦，所以在上．連接，，則．由等于的半徑得，所以．所以和都是等邊三角形．因為，所以，． 因為，，所以．于是，．所以四邊形的面積． 6．【2015高考陜西，】如圖，切于點，直線交于，兩點，，垂足為． （I）證明：； （II）若，，求的直徑． 7.【2015高考新課標1】如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于E. （Ⅰ）若D為AC的中點，證明：DE是O的切線； （Ⅱ）若，求∠ACB的大小. 【解析】（Ⅰ）連結(jié)AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 連結(jié)OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90，∴∠DEC+∠OEB=90，∴∠OED=90，∴DE是圓O的切線. （Ⅱ）設(shè)CE=1，AE=,由已知得AB=，， 由射影定理可得，， ∴，解得=，∴∠ACB=60. 8.【2015高考湖南】如圖，在圓中，相交于點的兩弦，的中點分別是，，直線與直線相交于點，證明： （1）； （2） 【解析】（1）如圖所示， ∵，分別是弦，的中點，∴，， 即， ，，又四邊形的內(nèi)角和等于，故； （2）由（I）知，，，，四點共圓，故由割線定理即得 9. 【2014高考遼寧第22題】如圖，EP交圓于E、C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F. （Ⅰ）求證：AB為圓的直徑； （Ⅱ）若AC=BD，求證：AB=ED. 【解析】（Ⅰ）因為PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD為切線，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,從而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90，于是∠BDA=90，故AB是直徑. (Ⅱ)連接BC，DC.由于AB是直徑，故∠BDA=∠ACB=90，在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD， 從而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA與∠DAB=∠CBA.又因為∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB. 由于ED是直徑，由（Ⅰ）得ED=AB. 10. 【2014高考全國2第22題】如圖，P是O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與O相交于點B，C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交O于點E. 證明：（Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）ADDE=2 11. 【2014高考全國1第22題】如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的延長線與的延長線交于點，且. （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）設(shè)不是的直徑，的中點為，且，證明：為等邊三角形. 【解析】（I）由題設(shè)知四點共圓，所以．由已知得，故． （II）設(shè)的中點為，連接，則由知，故在直線上．又不是的直徑，的中點為，故，即．所以，故．又 ，故．由（1）知，，所以為等邊三角形. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 高考對幾何證明的考查，主要考查有關(guān)三角形相似、全等、面積、線段長度及角相等的求解及證明，以平行線等分線段定理，平行線截割定理，相似三角形的判定與性質(zhì)定理，直角三角形射影定理，圓心角、圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定定理，圓的割線定理，切割線定理，弦切角定理，相交弦定理等為主要考查內(nèi)容，題目難度一般為中、低檔，備考中應(yīng)嚴格控制訓練題的難度． 【2017年高考復(fù)習建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出, 高考對這部分要求不是太高，要求會以圓為幾何背景，利用直角三角形射影定理，圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理，相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理證明三角形相似，全等，求線段長等，預(yù)測2017年高考還會以圓為幾何背景，考查相交線定理，切割線定理，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理，考查學生的數(shù)形結(jié)合的能力.“幾何證明選講”是選修系列4的一個專題,該專題在高考中只考查“相似三角形”和“圓”這兩部分平面幾何內(nèi)容,且與另三個選修4的專題一起命題,供考生選擇作答.其核心內(nèi)容為:線段成比例與相似三角形,圓的切線及其性質(zhì),與圓有關(guān)的相似三角形等.對同學們來說,“幾何證明選講”是初中所學知識的深化,因而倍感親切.試題題型為解答題,且難度不大.題型以比例問題為主，平行線分線段成比例定理、相似形、角平分線定理、直角三角形中的射影定理、圓中的割線定理、切割線定理和相交弦定理等,都涉及線段成比例,因此比例問題是本專題中所占比重最大的題型.解決這類問題,主要方法就是設(shè)法利用上述定理,并靈活變形.復(fù)習建議：圓內(nèi)接四邊形的重要結(jié)論：內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形；內(nèi)接于圓的菱形是正方形；內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形.應(yīng)用這些性質(zhì)可以大大簡化證明有關(guān)幾何題的推證過程.與圓有關(guān)的比例線段的證明要訣：相交弦、切割線定理是法寶，相似三角形中找訣竅，聯(lián)想射影定理分角線，輔助線來搭橋，第三比作介紹，代數(shù)方法不可少，分析綜合要記牢，十有八九能見效. 【2017年高考考點定位】 幾何證明選講的內(nèi)容涉及的考點可歸納為:①相似三角形的定義與性質(zhì);②平行線截割定理;③直角三角形射影定理;④圓周角與圓心角定理;⑤圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理;⑥弦切角的性質(zhì);⑦相交弦定理;⑧圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理和判定定理;⑨切割線定理. 【考點1】相似三角形的判定與性質(zhì) 【備考知識梳理】 1．平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等． 推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊． 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰． 2．平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例． 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例． 3．相似三角形的判定與性質(zhì) (1)判定定理： 內(nèi)容 判定定理1 兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似 判定定理2 兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個三角形相似 判定定理3 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似 (2)性質(zhì)定理： 內(nèi)容 性質(zhì)定理1 相似三角形對應(yīng)高、中線、角平分線和它們周長的比都等于相似比 性質(zhì)定理2 相似三角形的面積比等于相似比的平方 結(jié)論 相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方 射影定理 直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項 【規(guī)律方法技巧】 1．判定兩個三角形相似的常規(guī)思路 (1)先找兩對對應(yīng)角相等； (2)若只能找到一對對應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對應(yīng)成比例； (3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對應(yīng)成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”． 2．借助圖形判斷三角形相似的方法 (1)有平行線的可圍繞平行線找相似； (2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例； (3)有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對應(yīng)邊． 3.比例線段常用平行線產(chǎn)生，利用平行線轉(zhuǎn)移比例是常用的證題技巧，當題中沒有平行線條件而有必要轉(zhuǎn)移比例時，也常添加輔助平行線，從而達到轉(zhuǎn)移比例的目的. 4.判定兩個三角形相似要注意結(jié)合圖形特征靈活選擇判定定理，特別要注意對應(yīng)角和對應(yīng)邊．在一個題目中，相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理可能多次用到．相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等；也可間接證明線段相等． 5.．在使用直角三角形射影定理時，要學會將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”．證題時，要注意作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時常用的方法． 6.相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)： 若，則①；②；③；④；⑤；⑥. 7.輔助線作法：幾何證明題的一個重要問題就是作出恰當?shù)妮o助線，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線的主要方法就是作平行線，見中點取中點連線利用中位線定理，見比例點取等比的分點構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長線段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過作平行線或連結(jié)異面直線上的點化異為共等等都是常用的作輔助線方法． 【考點針對訓練】 1.【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺四】如圖所示，已知圓O外有一點P，作圓O的切線PM，M為切點，過PM的中點N作割線NAB，交圓O于A，B兩點，連接PA并延長，交圓O于點C，連接PB交圓O于點D，若MC=BC. （1）求證：△APM△ABP； （2）求證：四邊形PMCD是平行四邊形. 2.【2016年山西省右玉一中高考沖刺壓軸卷三】如圖，已知⊙和⊙相交于兩點，為⊙的直徑，直線交⊙于點，點為弧中點，連結(jié)分別交⊙、于點，連結(jié). （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求證：. 【解析】（Ⅰ）連結(jié)，∵為⊙的直徑，∴，∵為⊙的直徑，∴，∵，∴，∵為弧中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，由（Ⅰ）知，∴. 【考點2】圓的有關(guān)問題 【備考知識梳理】 1．圓周角定理 (1)圓周角：頂點在圓周上且兩邊都與圓相交的角． (2)圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半． (3)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)． 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等． 推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑． 2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)性質(zhì)： 定理1：圓內(nèi)接四邊形的對角互補． 定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角． (2)判定： 判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓． 推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓． 另外：若兩點在一條線段同側(cè)且對該線段張角相等，則此兩點與線段兩個端點共圓，特別的，對定線段張角為直角的點共圓． 3.圓的切線 (1)直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓交點的個數(shù) 直線到圓心的距離d與圓的半徑r的關(guān)系 相交 兩個 d＜r 相切 一個 d＝r 相離 無 d＞r (2) 圓的切線性質(zhì)及判定定理 性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑． 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點． 推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． 判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． (3)切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線長相等． 3．弦切角 (1)弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角． (2)弦切角定理及推論 ①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半． ②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角． 4．與圓有關(guān)的比例線段 定理名稱 基本圖形 條件 結(jié)論 應(yīng)用 相交弦定理 弦AB、CD相交于圓內(nèi)點P (1)PAPB＝PCPD； (2)△ACP∽ △DBP (1)在PA、PB、PC、PD四線段中知三求一； (2)求弦長及角 切割線定理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線 (1)PA2＝PBPC； (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一； (2)求解AB、AC 割線定理 PAB、PCD是⊙O的割線　 (1)PAPB＝PCPD； (2)△PAC∽△PDB (1)求線段PA、PB、PC、PD及AB、CD； (2)應(yīng)用相似求AC、BD (1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等． (2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等． (3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項． (4)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角． 【規(guī)律方法技巧】 1. 與圓有關(guān)的比例線段： (1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等． (2)相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明．解決問題時要注意相似三角形知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用． (3)相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理統(tǒng)稱為圓冪定理：圓的兩條弦或其延長線若相交，各弦被交點分成的兩條線段長的積相等.當兩交點在圓內(nèi)時為相交弦定理，當兩交點在圓外時為割線定理，兩交點重合時為切線，一條上兩點重合時為切割線定理，兩條都重合時為切線長定理，應(yīng)用此定理一定要分清兩條線段是指哪兩條． 2. 弦切角定理及推論的應(yīng)用 (1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。? (2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角． 3. 證明多點共圓，當兩點在一條線段同側(cè)時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距離相等；如兩點在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補． 4.涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角． 5.一般地，涉及圓內(nèi)兩條相交弦時首先要考慮相交弦定理，涉及兩條割線時要想到割線定理，涉及切線和割線時要注意應(yīng)用切割線定理，要注意相交弦定理中線段之間的關(guān)系與切割線定理線段關(guān)系之間的區(qū)別． 6.在平面幾何的有關(guān)計算中往往要使用比例線段，產(chǎn)生比例線段的一個主要根據(jù)是兩三角形相似．在涉及兩圓的公共弦時，通常是作出兩圓的公共弦．如果有過公共點的切線就可以使用弦切角定理．在兩個圓內(nèi)實現(xiàn)角的等量代換，這是解決兩個圓相交且在交點處有圓的切線問題的基本思考方向． 【考點針對訓練】 1.【2016屆湖北七市教研協(xié)作體高三4月聯(lián)考】已知中，，是外接圓劣弧上的點（不與點重合），延長至，延長至. （1）求證：； （2）若，中邊上的高為，求外接圓的面積. 【解析】（1）如圖，由得，∵與都是同弧所對的圓周角， ∴且，故. （2）設(shè)為外接圓圓心，連接交于，則，連接，由題意易得，，且，∴，設(shè)圓半徑為，則， 解得，故外接圓面積為. 2.【2016屆陜西省高三下學期教學質(zhì)檢二】如圖，已知圓與相交于兩點，過點作圓的切線交圓于點，過點作兩圓的割線，分別交圓、圓于點、，與相交于點. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若是圓的切線，且，求的長. 【解析】（Ⅰ）連接．∵是圓的切線，∴.又∵，∴，∴. （Ⅱ）證明：設(shè)，∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，聯(lián)立上述方程得到，∴.∵是圓的切線，∴.∴. 【應(yīng)試技巧點撥】 1．輔助線作法： 幾何證明題的一個重要問題就是作出恰當?shù)妮o助線，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線的主要方法就是作平行線，見中點取中點連線利用中位線定理，見比例點取等比的分點構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長線段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過作平行線或連結(jié)異面直線上的點化異為共等等都是常用的作輔助線方法． 2．比例的性質(zhì)的應(yīng)用 相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)： 若，則①；②；③；④；⑤；⑥. 3．同一法：先作出一個滿足命題結(jié)論的圖形，然后證明圖形符合命題已知條件，確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同，從而證明命題成立． 4.證明多點共圓，當兩點在一條線段同側(cè)時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距離相等；如兩點在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補． 5.與圓有關(guān)的比例線段 (1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等． (2)相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明．解決問題時要注意相似三角形知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用． 二年模擬 1. 【2016年山西榆林高三二次?？肌咳鐖D所示，在中，是的平分線，的外接圓交于點，. （1）求證：；（2）當時，求的長. 【解析】（1）連接，因為四邊形是圓內(nèi)接四邊形，所以，所以，即有，又，所以，又是的平分線，所以，從而; （2）由條件 得，設(shè)，根據(jù)割線定理得：，即，所以有，解得：，所以. 2. 【2016年湖北八校高三四次聯(lián)考】如圖，在銳角三角形中，，以為直徑的圓與邊另外的交點分別為，且于． （Ⅰ）求證：是的切線； （Ⅱ）若，，求的長． 3. 【2016年安徽安慶二?！咳鐖D,以的邊為直徑作圓,圓與邊的交點恰為邊的中點,過點作于點． （I）求證：是圓的切線； （II）若,求的值． 4.【2016年江西高三九校聯(lián)考】如圖所示，為的直徑，為的中點，為的中點． （1）求證：； （2）求證：． 【解析】（Ⅰ）連接，因為為的中點，為的中點，所以三點共線．因為為的中點且為的中點，所以，故. （Ⅱ）因為為的中點，所以，又．又因為． ,,． 5. 【2016年安徽淮北一中高三?？肌咳鐖D，是圓上的兩點，為圓外一點，連結(jié)分別交圓于點，且，連結(jié)并延長至，使． （1）求證：； （2）若，且，求． 【解析】（1）連結(jié)，因為，又因為，所以，所以，由已知，所以，且，所以，所以． （2）因為，所以，則，所以，又因為，所以，所以，所以． 6. 【2016年江西南昌高三一?！咳鐖D， 圓M與圓N交于A， B兩點， 以A為切點作兩圓的切線分別交圓M和圓N于C、D兩點，延長DB交圓M于點E， 延長CB交圓N于點F．已知BC=5， DB=10. (I)求AB的長； （II）求. 【解析】（Ⅰ）根據(jù)弦切角定理，知，，∴△∽△ ，則，故. （Ⅱ）根據(jù)切割線定理，知，，兩式相除，得（*）.由△∽△，得，，又，由（*）得． 7. 【2016年河南八市高三三模】已知，內(nèi)接于圓，延長到點，使得交圓于點. （1）求證：； （2）若，求證：. 【解析】(1）如圖，連結(jié)．．又 （2） 8.【2016屆河北省石家莊市高三二?！咳鐖D，內(nèi)接于⊙，，弦交線段于，為的中點，在點處作圓的切線與線段的延長線交于，連接. （I）求證：； （II）若，⊙的半徑為，求切線的長. 9. 【2016屆陜西省高三高考全真模擬四】如下圖,是圓的兩條互相垂直的直徑,是圓上的點,過點作圓的切線交的延長 線于.連結(jié)交于點. （1）求證：； （2）若圓的半徑為,求的長. 【解析】（1）證明：連接,由弦切角定理知，又,即.由切割線定理得,所以. （2）由知，.在中，由得，.在中，由得，于是. 10.【2016屆山西右玉一中高三下學期模擬】已知如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，對角線交于點，直線是圓的切線，切 點為，. （1）若，求的長； （2）在上取一點，若，求的大小. 【解析】（1）∵是圓的切線，∴，由，∴.又，∴∽，∴.又，，∴，∴. （2）由（1）知，，∵，∴，∴. 11. 【2015屆陜西西安西北工大附中高三下學期5月模擬】如圖，和相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于兩點，連結(jié)并延長交于點． 證明：（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【解析】（1）由與相切于，得，同理， 所以從而，即 （2）由與相切于，得，又，得 從而，即，綜合（1）的結(jié)論， 12.【2015屆陜西省西工大附中高三下學期模擬考試一】如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,為⊙上一點,AE＝AC ,交于點,且, （Ⅰ）求的長度． （Ⅱ）若圓F與圓內(nèi)切，直線PT與圓F切于點T，求線段PT的長度 【解析】（Ⅰ）連結(jié),由同弧對應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系結(jié)合題中條件弧長等于弧長可得,又,,從而,故∽,∴, 由割線定理知,故． （Ⅱ）若圓F與圓內(nèi)切，設(shè)圓的半徑為，因為即，所以是圓的直徑，且過點圓的切線為，則，即 . 13.【2015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】如圖，在△ABC中，，以為直徑的⊙O交于，過點作⊙O的切線交于，交⊙O于點． （Ⅰ）證明：是的中點； （Ⅱ）證明：. 14.【2015屆遼寧省師大附中高三模擬考試】如圖，圓周角的平分線與圓交于點，過點的切線與弦的延長線交于點，交于點． （1）求證：; （2）若四點共圓，且弧與弧相等，求 15.【2015屆陜西省西安市第一中學高三下學期自主命題二】如圖，在中，是的角平分線，的外接圓交于點，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）當，時，求的長． 【解析】（Ⅰ）連接，因為是圓內(nèi)接四邊形，所以又∽，即有，又因為，可得因為是的平分線，所以，從而 （Ⅱ）由條件知，設(shè)，則，根據(jù)割線定理得，即即，解得或（舍去），則． 拓展試題以及解析 1. 如圖，內(nèi)接于⊙，弦AE交BC于點D，已知，，OD=1,. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求中BC邊上的高． 【解析】（Ⅰ）由于，所以D為AE中點，那么，為直角三角形， ∵，∴∽，則，又(對頂角)，∴. （Ⅱ）作AFBC于點F，連接OA，由(1)得，在直角與直角中，AF=ADsin=OEsin2=，即BC邊上的高為． 【入選理由】本題主要考查平面幾何的相關(guān)知識，同時考查考生的邏輯推理能力.高考對平面幾何的考查主要是通過三角形全等或三角形相似進行邊角轉(zhuǎn)化，并綜合運用圓的切割線定理、相交弦定理等 進行證明計算．以圓為背景 是基本不變的，因而靈活應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)，找準有關(guān)的對應(yīng)三角形、對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.本題構(gòu)思巧妙，難度不大，故選此題. 2．如圖，過圓外一點作圓的切線，切點為，割線、割線分別交圓于與、 與．已知的垂直平分線與圓相切． （1）求證：； （2）若，，求的長． 【解析】（1）證明：連結(jié)，∵與圓相切，∴．又為的垂直平分線，∴，∴，∴． （2）由（1）知且為的中點，∴為的中點，且，∴．∵為圓的切線，∴，∴，∴，∴． 【入選理由】本題考查圓的切割線定理，弦切角定理等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯思維能力和推理論證能力. 切割線定理、三角形相似、四點共圓的性質(zhì)，是高考重點考查知識點，本題難度不大，故選此題. 3.如圖，直線AB過圓心O，交圓O于A、B，直線AF交圓O于F（不與B重合），直線與圓O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC． 求證：（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【證明】（Ⅰ）連接，是直徑，，．切圓于，．． （Ⅱ）連接，切圓于，．又∽． ． 【入選理由】本題考查圓的弦切角定理、三角形相似等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯思維能力和推理論證能力.本題由弦切角定理入手，得出三角形相似，從而可證，本題難度不大，故選此題. 4.如圖，是⊙的直徑，是圓上兩點，交于點，若，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求線段的長度． 【入選理由】本題考查平面幾何的證明，具體涉及圓的性質(zhì)，四點共圓，割線定理等基礎(chǔ)知識，意在考察學生推理證明和邏輯思維能力.本題考查知識基礎(chǔ)，綜合性強，是高考出題方向，故選此題. 5.如圖，圓內(nèi)接四邊形滿足∥，在的延長線上，且. 若， . （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求的長. 【解析】（Ⅰ）由知是圓的切線. ∴由弦切線角定理得， 又， ∴， ∴； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又， ∴∽， ∴， 又，，∴，∵，∴. 【入選理由】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形相似等基礎(chǔ)知識，意在考察學生推理證明和邏輯思維能力.本題考查知識基礎(chǔ)，難度不大，故選此題. 6.如圖，點P是△ABC的外接圓O在C點的切線與直線AB的交點． （Ⅰ）若∠ACB＝∠APC，證明：BC⊥PC； （Ⅱ）若D是圓O上一點，∠BPC=∠DAC，AC=，AB=，PC＝4，求CD的長． 【入選理由】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)、弦切角定理、切割線定理等基礎(chǔ)知識，意在考查學生推理證明和邏輯思維能力.本題第一問由弦切角入手，得三角形相似，從而得結(jié)論，第二問由切割線定理入手，結(jié)合弦切角定理及同弧所對的圓周角相等，得三角形相似，像這種題型考查知識基礎(chǔ)，綜合性強，是高考出題方向，故選此題. 7.如圖所示，在四邊形中，交于點，. （Ⅰ）求證：、、、四點共圓; （Ⅱ）過作四邊形外接圓的切線交的延長線于，,求證：平分. 【證明】（Ⅰ）∵,∴,,∵,, ∴,,∴=,=,=, =,∴=+++ =+++==,∴、、、四點共圓； （Ⅱ）由弦切角定理可知：∠=∠，∵,∴∽,∴=， ∵，∴=,∴=,∴=, ∴=,∴=∠,∴平分. 【入選理由】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)、四點共圓的判定、弦切角定理等基礎(chǔ)知識，意在考查學生推理證明和邏輯思維能力.本題考查知識基礎(chǔ)難度不大，是高考出題方向，故選此題. 8.如圖，四邊形外接于圓，是圓周角的角平分線，過點的切線與延長線交于點，交于點． （1）求證：； （2）若是圓的直徑，，，求長 【解析】（1）∵是圓周角的角平分線，∴．又∵是圓的切線，∴，∴．又∵，∴，∴． 【入選理由】本題考查圓周角定理、弦切角定理、三角形相似的判斷與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯思維能力和推理論證能力.本題是一個常規(guī)題，考查知識基礎(chǔ)，難度不大，故選此題.