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專題八 機(jī)械能守恒定律 功能關(guān)系 考綱解讀 章 內(nèi)容 考試要求 說明 必考 加試 機(jī)械能守恒定律　 重力勢(shì)能 c c 1.不要求掌握物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)重力做功表達(dá)式的推導(dǎo)方法 2.不要求掌握彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式 3.運(yùn)用機(jī)械能守恒定律進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不涉及彈性勢(shì)能的表達(dá)式 4.不要求用機(jī)械能守恒定律求解兩個(gè)及兩個(gè)以上物體(包括需要確定重心的鏈條、繩子、流體等)的問題 5.不要求用能量守恒定律進(jìn)行較復(fù)雜的定量計(jì)算 彈性勢(shì)能 b b 機(jī)械能守恒定律 d d 能量守恒定律與能源 c d 一、重力做功與重力勢(shì)能 1.重力做功的特點(diǎn) (1)重力做功與路徑無關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān). (2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化. 2.重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系 (1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能減??；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能增大. (2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp. (3)重力勢(shì)能的變化量是絕對(duì)的，與參考平面的選取無關(guān). 二、彈性勢(shì)能 1.定義 發(fā)生彈性形變的物體之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能. 2.彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系 (1)彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系類似于重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系，用公式表示：W＝－ΔEp. (2)對(duì)于彈性勢(shì)能，一般地，物體的彈性形變量越大，彈性勢(shì)能越大. 3.重力勢(shì)能與彈性勢(shì)能的比較 內(nèi)容 重力勢(shì)能 彈性勢(shì)能 概念 物體由于被舉高而具有的能 物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能 大小 Ep＝mgh 與形變量及勁度系數(shù)有關(guān) 相對(duì)性 大小與所選取的參考平面有關(guān) 一般選彈簧形變?yōu)榱愕臓顟B(tài)為彈性勢(shì)能零點(diǎn) 三、機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用 1.機(jī)械能 動(dòng)能和勢(shì)能統(tǒng)稱為機(jī)械能，其中勢(shì)能包括彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能. 2.機(jī)械能守恒定律 (1)內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變. (2)常用的三種表達(dá)式 ①守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.(E1、E2分別表示系統(tǒng)初末狀態(tài)時(shí)的總機(jī)械能) ②轉(zhuǎn)化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp減.(表示系統(tǒng)動(dòng)能的增加量等于勢(shì)能的減少量) ③轉(zhuǎn)移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB減.(表示系統(tǒng)只有A、B兩物體時(shí)，A增加的機(jī)械能等于B減少的機(jī)械能) 四、能量守恒定律 1.內(nèi)容 能量既不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空消失，它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，在轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的過程中，能量的總量保持不變. 2.適用范圍 能量守恒定律是貫穿物理學(xué)的基本規(guī)律，是各種自然現(xiàn)象中普遍適用的一種規(guī)律. 3.表達(dá)式 (1)E初＝E末，初狀態(tài)各種能量的總和等于末狀態(tài)各種能量的總和. (2)ΔE增＝ΔE減，增加的那些能量的增加量等于減少的那些能量的減少量. 1.(2016河南名校月考)下列關(guān)于機(jī)械能守恒的說法中，正確的是(　　) A.若只有重力做功，則物體機(jī)械能一定守恒 B.若物體的機(jī)械能守恒，一定只受重力 C.做勻變速運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能一定不守恒 D.物體所受合外力不為零，機(jī)械能一定守恒 答案　A 解析　若只有重力做功，則物體的動(dòng)能和重力勢(shì)能之間發(fā)生轉(zhuǎn)化，物體的機(jī)械能一定守恒，A正確；若物體的機(jī)械能守恒，物體不一定只受重力，也許還受其他力，但其他力做功的代數(shù)和為零，B錯(cuò)誤；做勻變速運(yùn)動(dòng)的物體，如果除重力外的其他力做功為零，則機(jī)械能守恒，如做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體，C錯(cuò)誤；物體所受合外力不為零，如果除重力外的其他力做功不為零，則機(jī)械能不守恒，D錯(cuò)誤. 2.(2016浙江10月學(xué)考4)如圖1所示，無人機(jī)在空中勻速上升時(shí)，不斷增加的能量是(　　) 圖1 A.動(dòng)能 B.動(dòng)能、重力勢(shì)能 C.重力勢(shì)能、機(jī)械能 D.動(dòng)能、重力勢(shì)能、機(jī)械能 答案　C 解析　無人機(jī)勻速上升，所以動(dòng)能保持不變，所以選項(xiàng)A、B、D均錯(cuò).高度不斷增加，所以重力勢(shì)能不斷增加，在上升過程中升力對(duì)無人機(jī)做正功，所以無人機(jī)機(jī)械能不斷增加，所以選項(xiàng)C正確. 3.(2016杭州一模)如圖2所示，質(zhì)量為m的足球在水平地面的位置1被踢出后落到水平地面的位置3，在空中達(dá)到的最高點(diǎn)(位置2)的高度為h，已知重力加速度為g.下列說法正確的是(　　) 圖2 A.足球由位置1運(yùn)動(dòng)到位置2的過程中，重力做的功為mgh B.足球由位置1運(yùn)動(dòng)到位置3的過程中，重力做的功為2mgh C.足球由位置2運(yùn)動(dòng)到位置3的過程中，重力勢(shì)能減少了mgh D.如果沒有選定參考平面，就無法確定重力勢(shì)能變化了多少 答案　C 解析　足球由位置1運(yùn)動(dòng)到位置2的過程中，高度增加h，重力做負(fù)功，應(yīng)為－mgh，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；足球由位置1運(yùn)動(dòng)到位置3的過程中，由于位置1和位置3在同一水平地面上，故足球的高度沒有變化，重力做的功為零，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；足球由位置2運(yùn)動(dòng)到位置3的過程中，足球的高度降低，重力做正功，重力勢(shì)能減少，由于2、3兩位置的高度差是h，故重力勢(shì)能減少了mgh，選項(xiàng)C正確；分析重力勢(shì)能的變化，只要找出高度的變化量即可，與參考平面的選取沒有關(guān)系，選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 4.(2015浙江1月學(xué)考11)質(zhì)量為m的小陶同學(xué)助跑跳起后，手指剛好能摸到籃球架的球筐.該同學(xué)站立舉臂時(shí)，手指觸摸到的最大高度為h1，已知籃球筐距地面的高度約為h2，則在助跑、起跳和摸筐的整個(gè)過程中，該同學(xué)重力勢(shì)能的增加量最接近(　　) A.mgh1 B.mgh2 C.mg(h2－h(huán)1) D.mg(h1＋h2) 答案　C 解析　重力勢(shì)能的增加量等于克服重力所做的功W＝mgΔh＝mg(h2－h(huán)1)，故C正確. 圖3 5.(2013浙江6月學(xué)考18)如圖3所示，將質(zhì)量為m的石塊從離地面h高處以初速度v0斜向上拋出.以地面為參考平面，不計(jì)空氣阻力，當(dāng)石塊落地時(shí)(　　) A.動(dòng)能為mgh B.動(dòng)能為mv C.重力勢(shì)能為mgh D.機(jī)械能為mv＋mgh 答案　D 解析　拋出時(shí)機(jī)械能為mv＋mgh，根據(jù)機(jī)械能守恒得D項(xiàng)正確.落地時(shí)重力勢(shì)能為零，故落地時(shí)動(dòng)能為mv＋mgh，A、B、C項(xiàng)錯(cuò)誤. 　　　　　機(jī)械能守恒定律的判斷和應(yīng)用 1.機(jī)械能守恒的條件 只有重力或彈力做功，可以從以下四個(gè)方面進(jìn)行理解： (1)物體只受重力或彈力作用. (2)存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或彈力做功. (3)其他力做功，但做功的代數(shù)和為零. (4)存在相互作用的物體組成的系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，無其他形式能量的轉(zhuǎn)化. 2.機(jī)械能守恒的判斷方法 (1)利用機(jī)械能的定義判斷(直接判斷)：分析動(dòng)能和勢(shì)能的和是否變化. (2)用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒. (3)用能量轉(zhuǎn)化來判斷：若物體或系統(tǒng)中只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化而無機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體或系統(tǒng)機(jī)械能守恒. 3.動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律的選擇 (1)一般來講，能用機(jī)械能守恒定律求解的問題用動(dòng)能定理也能解決，但能用動(dòng)能定理解決的問題用機(jī)械能守恒定律不一定就能解決. (2)兩種方法都能解題時(shí)，一般應(yīng)用動(dòng)能定理解題較為方便，因?yàn)檫@樣可以省去判斷機(jī)械能是否守恒和選定零勢(shì)能面的麻煩. (3)只有重力做功時(shí)，動(dòng)能定理的表達(dá)式WG＝Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，顯然該式也是機(jī)械能守恒定律的方程式. 例1　(2016杭州市聯(lián)考)如圖4所示，在同一豎直平面內(nèi)，一輕質(zhì)彈簧一端固定，另一自由端恰好與水平線AB平齊，靜止放于傾角為53的光滑斜面上.一長為L＝9 cm的輕質(zhì)細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m＝1 kg的小球，將細(xì)繩拉至水平，使小球從位置C由靜止釋放，小球到達(dá)最低點(diǎn)D時(shí)，細(xì)繩剛好被拉斷.之后小球在運(yùn)動(dòng)過程中恰好沿斜面方向?qū)椈蓧嚎s，最大壓縮量為x＝5 cm.(取g＝10 m/s2，sin 53＝0.8，cos 53＝0.6)求： 圖4 (1)細(xì)繩受到的拉力的最大值； (2)D點(diǎn)到水平線AB的高度h； (3)彈簧所獲得的最大彈性勢(shì)能Ep. 答案　(1)30 N　(2)16 cm　(3)2.9 J 解析　(1)小球由C到D，由機(jī)械能守恒定律得 mgL＝mv，解得v1＝① 在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得F－mg＝m② 由①②解得F＝30 N 由牛頓第三定律知細(xì)繩受到的拉力的最大值為30 N. (2)由D到A，小球做平拋運(yùn)動(dòng)v＝2gh③ tan 53＝④ 聯(lián)立③④解得h＝16 cm (3)小球從C點(diǎn)到將彈簧壓縮到最短的過程中，小球與彈簧組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin 53)，代入數(shù)據(jù)解得：Ep＝2.9 J. 應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的基本思路 (1)選取研究對(duì)象——物體或系統(tǒng). (2)根據(jù)研究對(duì)象所經(jīng)歷的物理過程，進(jìn)行受力、做功分析，判斷機(jī)械能是否守恒. (3)恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面，確定研究對(duì)象在過程的初、末狀態(tài)時(shí)的機(jī)械能. (4)選取適當(dāng)?shù)臋C(jī)械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)進(jìn)行求解. 變式題組 1.如圖5所示，固定的傾斜光滑桿上套有一個(gè)質(zhì)量為m的圓環(huán)，圓環(huán)與一橡皮繩相連，橡皮繩的另一端固定在地面上的A點(diǎn)，橡皮繩豎直時(shí)處于原長h.讓圓環(huán)沿桿滑下，滑到桿的底端時(shí)速度為零.則在圓環(huán)下滑過程中(　　) 圖5 A.圓環(huán)機(jī)械能守恒 B.橡皮繩的彈性勢(shì)能一直增大 C.橡皮繩的彈性勢(shì)能增加了mgh D.橡皮繩再次達(dá)到原長時(shí)圓環(huán)動(dòng)能最大 答案　C 解析　圓環(huán)沿桿滑下，滑到桿的底端的過程中有兩個(gè)力對(duì)圓環(huán)做功，即環(huán)的重力和橡皮繩的拉力，所以圓環(huán)的機(jī)械能不守恒，如果把圓環(huán)和橡皮繩組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；橡皮繩的彈性勢(shì)能隨橡皮繩的形變量的變化而變化，由圖知橡皮繩先縮短后再伸長，故橡皮繩的彈性勢(shì)能先不變?cè)僭龃?，故B錯(cuò)誤；根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，圓環(huán)的機(jī)械能減少了mgh，那么圓環(huán)的機(jī)械能的減少量等于橡皮繩的彈性勢(shì)能增加量，為mgh，故C正確；在圓環(huán)下滑過程中，橡皮繩再次達(dá)到原長時(shí)，該過程中動(dòng)能一直增大，但不是最大，沿桿方向合力為零的時(shí)刻，圓環(huán)的動(dòng)能最大，故D錯(cuò)誤. 2.如圖6所示，用長為L的輕繩把一個(gè)小鐵球懸掛在高為2L的O點(diǎn)處，小鐵球以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)且恰能到達(dá)最高點(diǎn)B處，不計(jì)空氣阻力.若運(yùn)動(dòng)中輕繩斷開，則小鐵球落到地面時(shí)的速度大小為(　　) 　　 圖6　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 答案　D 解析　小鐵球恰能到達(dá)最高點(diǎn)B，則小鐵球在最高點(diǎn)處的速度v＝.以地面為零勢(shì)能面，小鐵球在B點(diǎn)處的總機(jī)械能為mg3L＋mv2＝mgL，無論輕繩是在何處斷的，小鐵球的機(jī)械能總是守恒的，因此到達(dá)地面時(shí)的動(dòng)能mv′2＝mgL，故小鐵球落到地面時(shí)的速度v′＝.正確答案為D. 3.如圖7所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為R＝0.50 m的光滑圓弧槽BCD，B點(diǎn)與圓心O等高，一水平面與圓弧槽相接于D點(diǎn)，質(zhì)量m＝0.10 kg的小球從B點(diǎn)正上方H＝0.95 m高處的A點(diǎn)自由下落，由B點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道，從D點(diǎn)飛出后落在水平面上的Q點(diǎn)，DQ間的距離x＝2.40 m，球從D點(diǎn)飛出后的運(yùn)動(dòng)過程中相對(duì)水平面上升的最大高度h＝0.80 m，g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力，求： 圖7 (1)小球經(jīng)過最低點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)它的支持力大小FN； (2)小球經(jīng)過最高點(diǎn)P的速度大小vP； (3)D點(diǎn)與圓心O的高度差hOD. 答案　(1)6.8 N　(2)3.0 m/s　(3)0.30 m 解析　(1)設(shè)經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度為v1，由機(jī)械能守恒有 mg(H＋R)＝mv 由牛頓第二定律有FN－mg＝ 代入數(shù)據(jù)解得FN＝6.8 N (2)P到Q做平拋運(yùn)動(dòng)有h＝gt2，＝vPt 代入數(shù)據(jù)解得vP＝3.0 m/s. (3)由機(jī)械能守恒定律，有mv＋mgh＝mg(H＋hOD)，代入數(shù)據(jù)，解得hOD＝0.30 m. 　　　　　功能關(guān)系的應(yīng)用 幾種常見的功能關(guān)系及其表達(dá)式 力做功 能的變化 定量關(guān)系 合力的功 動(dòng)能變化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力的功 重力勢(shì)能變化 (1)重力做正功，重力勢(shì)能減少 (2)重力做負(fù)功，重力勢(shì)能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 彈簧彈力的功 彈性勢(shì)能變化 (1)彈力做正功，彈性勢(shì)能減少 (2)彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加 (3)WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、彈簧彈力 做功 機(jī)械能不變化 機(jī)械能守恒ΔE＝0 除重力和彈簧彈力之外的其他力做功 機(jī)械能變化 (1)其他力做多少正功，物體的機(jī)械能就增加多少 (2)其他力做多少負(fù)功，物體的機(jī)械能就減少多少 (3)W其他＝ΔE 一對(duì)相互作用的滑動(dòng)摩擦力的總功 機(jī)械能減少 內(nèi)能增加 (1)作用于系統(tǒng)的一對(duì)滑動(dòng)摩擦力一定做負(fù)功，系統(tǒng)內(nèi)能增加 (2)摩擦生熱Q＝Ffx相對(duì) 例2　如圖8所示，在升降機(jī)內(nèi)固定一光滑的斜面體，一輕彈簧的一端連在位于斜面體上方的固定木板B上，另一端與質(zhì)量為m的物塊A相連，彈簧與斜面平行.整個(gè)系統(tǒng)由靜止開始加速上升高度h的過程中(　　) 圖8 A.物塊A的重力勢(shì)能增加量一定等于mgh B.物塊A的動(dòng)能增加量等于斜面的支持力和彈簧的拉力對(duì)其做功的代數(shù)和 C.物塊A的機(jī)械能增加量等于彈簧的拉力對(duì)其做的功 D.物塊A和彈簧組成的系統(tǒng)的機(jī)械能增加量等于斜面對(duì)物塊的支持力和B對(duì)彈簧的拉力做功的代數(shù)和 答案　D 解析　物塊A相對(duì)斜面下滑一段距離，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)動(dòng)能定理可知，物塊A動(dòng)能的增加量應(yīng)等于重力、支持力及彈簧彈力對(duì)其做功的代數(shù)和，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；物塊A機(jī)械能的增加量應(yīng)等于除重力以外的其他力對(duì)其做功的代數(shù)和，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；物塊A和彈簧組成的系統(tǒng)的機(jī)械能增加量應(yīng)等于除重力和彈簧彈力以外的其他力做功的代數(shù)和，故選項(xiàng)D正確. 功能關(guān)系的理解和應(yīng)用原則 1.牢記三條功能關(guān)系 (1)重力做的功等于重力勢(shì)能的變化，彈力做的功等于彈性勢(shì)能的變化； (2)合外力做的功等于動(dòng)能的變化； (3)除重力、彈力外，其他力做的功等于機(jī)械能的變化. 2.功能關(guān)系的選用原則 在應(yīng)用功能關(guān)系解決具體問題的過程中 (1)若只涉及動(dòng)能的變化則用動(dòng)能定理分析. (2)若只涉及重力勢(shì)能的變化則用重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系分析. (3)若只涉及機(jī)械能變化則用除重力和彈力之外的力做功與機(jī)械能變化的關(guān)系分析. (4)若只涉及電勢(shì)能的變化則用電場(chǎng)力做功與電勢(shì)能變化的關(guān)系分析. 變式題組 4.自然現(xiàn)象中蘊(yùn)藏著許多物理知識(shí)，如圖9所示為一個(gè)盛水袋，某人從側(cè)面緩慢推袋壁使它變形，則水的勢(shì)能(　　) 圖9 A.變大 B.變小 C.不變 D.不能確定 答案　A 解析　人緩慢推水袋，對(duì)水袋做正功，由功能關(guān)系可知，水的重力勢(shì)能一定增加，A正確. 5.(2016臺(tái)州期末)元宵節(jié)焰火晚會(huì)上，萬發(fā)禮花彈點(diǎn)亮夜空，如圖10所示為焰火燃放時(shí)的精彩瞬間.假如燃放時(shí)長度為1 m的炮筒豎直放置，每個(gè)禮花彈約為1 kg(燃放前后看做質(zhì)量不變)，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹?0 m/s2，爆炸后的高壓氣體對(duì)禮花彈做功900 J，離開炮筒口時(shí)的動(dòng)能為800 J，禮花彈從炮筒底部豎直運(yùn)動(dòng)到炮筒口的過程中，下列判斷正確的是(　　) 圖10 A.重力勢(shì)能增加800 J B.克服阻力(炮筒阻力及空氣阻力)做功90 J C.克服阻力(炮筒阻力及空氣阻力)做功無法計(jì)算 D.機(jī)械能增加800 J 答案　B 解析　禮花彈在炮筒內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中，克服重力做功mgh＝10 J，則重力勢(shì)能增加量ΔEp＝10 J，根據(jù)動(dòng)能定理ΔEk＝W－W阻－WG可知W阻＝W－ΔEk－WG＝900 J－800 J－10 J＝90 J，機(jī)械能的增加量ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝800 J＋10 J＝810 J，所以只有B項(xiàng)正確. 6.(多選)如圖11所示，一固定斜面傾角為30，一質(zhì)量為m的小物塊自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小等于重力加速度的大小g.物塊上升的最大高度為H，則此過程中，物塊的(　　) 圖11 A.動(dòng)能損失了2mgH B.動(dòng)能損失了mgH C.機(jī)械能損失了mgH D.機(jī)械能損失了mgH 答案　AC 解析　分析小物塊沿斜面上滑，根據(jù)題述可知，物塊所受滑動(dòng)摩擦力Ff＝0.5mg，由動(dòng)能定理，動(dòng)能損失了＋mgH＝2mgH，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤.由功能關(guān)系，機(jī)械能損失了＝mgH，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤. 　　　　　能量守恒定律及應(yīng)用 對(duì)能量守恒定律的兩點(diǎn)理解 (1)某種形式的能量減少，一定有其他形式的能量增加，且減少量和增加量相等，即 ΔE減＝ΔE增. (2)某個(gè)物體的能量減少，一定有別的物體的能量增加，且減少量和增加量相等，即 ΔEA減＝ΔEB增. 例3　如圖12所示，光滑坡道頂端距水平面高度為h，質(zhì)量為m的小物塊A從坡道頂端由靜止滑下，進(jìn)入水平面上的滑道時(shí)無機(jī)械能損失，為使A制動(dòng)，將輕彈簧的一端固定在水平滑道延長線M處的墻上，另一端恰位于坡道的底端O點(diǎn).已知在OM段，物塊A與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，其余各處的摩擦不計(jì)，重力加速度為g，求： 圖12 (1)物塊滑到O點(diǎn)時(shí)的速度大?。? (2)彈簧為最大壓縮量d時(shí)的彈性勢(shì)能(設(shè)彈簧處于原長時(shí)彈性勢(shì)能為零)； (3)若物塊A能夠被彈回到坡道上，則它能夠上升的最大高度是多少？ 答案　(1)　(2)mgh－μmgd　(3)h－2μd 解析　(1)由機(jī)械能守恒定律得 mgh＝mv2， 解得v＝. (2)在水平滑道上物塊A克服摩擦力所做的功為W＝μmgd， 由能量守恒定律得mv2＝Ep＋μmgd， 以上各式聯(lián)立得Ep＝mgh－μmgd. (3)物塊A被彈回的過程中，克服摩擦力所做的功仍為 W＝μmgd， 由能量守恒定律得 Ep＝μmgd＋mgh′ 所以物塊A能夠上升的最大高度為h′＝h－2μd. 應(yīng)用能量守恒定律解題的基本思路 1.分清有多少種形式的能量[如動(dòng)能、勢(shì)能(包括重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能和電勢(shì)能)、內(nèi)能等]在變化. 2.明確哪種形式的能量增加，哪種形式的能量減少，并且列出減少的能量ΔE減和增加的能量ΔE增的表達(dá)式. 3.列出能量守恒關(guān)系式：ΔE減 ＝ΔE增. 變式題組 7.(2016天門模擬)如圖13所示，質(zhì)量為m的跳高運(yùn)動(dòng)員先后用背越式和跨越式兩種跳高方式跳過某一高度，該高度比他起跳時(shí)的重心高出h，則他從起跳后至越過橫桿的過程中克服重力所做的功(　　) 圖13 A.都必須大于mgh B.都不一定大于mgh C.用背越式不一定大于mgh，用跨越式必須大于mgh D.用背越式必須大于mgh，用跨越式不一定大于mgh 答案　C 解析　采用背越式跳高方式時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的重心升高的高度可以低于橫桿，而采用跨越式跳高方式時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的重心升高的高度一定高于橫桿，故用背越式時(shí)克服重力做的功不一定大于mgh，而采用跨越式時(shí)克服重力做的功一定大于mgh，C正確. 8.如圖14，蹦床是青少年喜歡的一種體育活動(dòng)，蹦床邊框用彈簧固定有彈性網(wǎng)角，運(yùn)動(dòng)員從最高點(diǎn)落下直至最低點(diǎn)的過程中，空氣阻力大小恒定，則運(yùn)動(dòng)員(　　) 圖14 A.剛接觸網(wǎng)面時(shí)，動(dòng)能最大 B.機(jī)械能一直減少 C.重力勢(shì)能的減少量等于蹦床彈性勢(shì)能的增加量 D.重力做功等于克服空氣阻力做功 答案　B 解析　當(dāng)運(yùn)動(dòng)員受到的彈力、阻力、重力三力的合力為零時(shí)加速度為零，動(dòng)能最大，A錯(cuò)誤；在此過程中除重力外，運(yùn)動(dòng)員受到的彈力和阻力一起做負(fù)功，所以運(yùn)動(dòng)員的機(jī) 械能減小，B正確；全過程由功能關(guān)系知mgh＝W阻＋Ep彈，所以C、D錯(cuò)誤. 9.如圖15所示，一物體質(zhì)量m＝2 kg，在傾角θ＝37的斜面上的A點(diǎn)以初速度v0＝3 m/s下滑，A點(diǎn)距彈簧上端B的距離AB＝4 m.當(dāng)物體到達(dá)B點(diǎn)后將彈簧壓縮到C點(diǎn)，最大壓縮量BC＝0.2 m，然后物體又被彈簧彈上去，彈到的最高位置為D點(diǎn)，D點(diǎn)距A點(diǎn)的距離AD＝3 m.擋板及彈簧質(zhì)量不計(jì)，g取10 m/s2，sin 37＝0.6，求： 圖15 (1)物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ； (2)彈簧的最大彈性勢(shì)能Epm. 答案　(1)0.52　(2)24.5 J 解析　(1)物體從開始位置A點(diǎn)到最后D點(diǎn)的過程中，彈性勢(shì)能沒有發(fā)生變化，動(dòng)能和重力勢(shì)能減少，機(jī)械能的減少量為ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv＋mglADsin 37① 物體克服摩擦力產(chǎn)生的熱量為 Q＝Ffx② 其中x為物體的路程，即x＝5.4 m③ Ff＝μmgcos 37④ 由能量守恒定律可得ΔE＝Q⑤ 由①②③④⑤式解得μ≈0.52. (2)由A到C的過程中，動(dòng)能減少 ΔEk′＝mv⑥ 重力勢(shì)能減少ΔEp′＝mglACsin 37⑦ 摩擦生熱Q′＝FflAC＝μmgcos 37lAC⑧ 由能量守恒定律得彈簧的最大彈性勢(shì)能為 Epm＝ΔEk′＋ΔEp′－Q′⑨ 聯(lián)立⑥⑦⑧⑨解得Epm≈24.5 J. 1.下列說法正確的是(　　) A.隨著科技的發(fā)展，永動(dòng)機(jī)是可以制成的 B.太陽照射到地球上的光能轉(zhuǎn)化成了其他形式的能量，但照射到宇宙空間的能量都消失了 C.“既要馬兒跑，又讓馬兒不吃草”違背了能量守恒定律，因而是不可能的 D.有種“全自動(dòng)”手表，不用上發(fā)條，也不用任何形式的電源，卻能一直走動(dòng)，說明能量可以憑空產(chǎn)生 答案　C 解析　永動(dòng)機(jī)是指不消耗或少消耗能量，而可以大量對(duì)外做功的裝置，這種裝置違背了能量守恒定律，所以永動(dòng)機(jī)是永遠(yuǎn)不可能制成的，A錯(cuò)誤；太陽輻射大量的能量，地球只吸收了極少的一部分，使萬物生長，但輻射到宇宙空間的能量也沒有消失，而是轉(zhuǎn)化成了別的能量，B錯(cuò)誤；馬和其他動(dòng)物，包括人，要運(yùn)動(dòng)，必須消耗能量，C正確；所謂“全自動(dòng)”手表，內(nèi)部還是有能量轉(zhuǎn)化裝置的，D錯(cuò)誤. 2.(2016浙江第一學(xué)期名校試卷)彈弓是孩子們喜愛的彈射類玩具，其構(gòu)造原理如圖1所示，橡皮筋兩端點(diǎn)A、B固定在把手上，橡皮筋處于ACB時(shí)恰好為原長狀態(tài)，在C處(AB連線的中垂線上)放一固體彈丸，一手執(zhí)把，另一手將彈丸拉至D點(diǎn)放手，彈丸就會(huì)在橡皮筋的作用下發(fā)射出去，打擊目標(biāo).現(xiàn)將彈丸豎直向上發(fā)射，已知E是CD中點(diǎn)，則(　　) 圖1 A.從D到C過程中，彈丸的機(jī)械能守恒 B.從D到C過程中，彈丸的動(dòng)能一直在增大 C.從D到C過程中，橡皮筋的彈性勢(shì)能先增大后減小 D.從D到E過程橡皮筋對(duì)彈丸做功大于從E到C過程 答案　D 解析　A項(xiàng)，從D到C除重力外還有彈簧彈力做動(dòng)，彈丸的機(jī)械能不守恒，A錯(cuò)；B項(xiàng)，D到C的過程，先彈力大于重力，彈丸加速，后重力大于彈力，彈丸減速，所以彈丸的動(dòng)能先增大后減小，B錯(cuò)；從D到C，橡皮筋的形變量一直減小，所以其彈性勢(shì)能一直減小，C錯(cuò)誤；D到E的彈簧彈力大于E到C的彈簧彈力，彈丸位移相等，所以從D到E過程橡皮筋對(duì)彈丸做的功大于從E到C過程橡皮筋對(duì)彈丸做的功，D正確. 3.關(guān)于重力勢(shì)能，下列說法中正確的是(　　) A.物體的位置一旦確定，它的重力勢(shì)能的大小也隨之確定 B.物體與零勢(shì)能面的距離越大，它的重力勢(shì)能也越大 C.一個(gè)物體的重力勢(shì)能從－5 J變化到－3 J，重力勢(shì)能減少了 D.重力勢(shì)能的變化量與零勢(shì)能面的選取無關(guān) 答案　D 解析　物體的重力勢(shì)能與參考面有關(guān)，同一物體在同一位置相對(duì)不同的參考面的重力勢(shì)能不同，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；物體在零勢(shì)能面以上，距零勢(shì)能面的距離越大，重力勢(shì)能越大；物體在零勢(shì)能面以下，距零勢(shì)能面的距離越大，重力勢(shì)能越小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；重力勢(shì)能中的正、負(fù)號(hào)表示大小，－5 J的重力勢(shì)能小于－3 J的重力勢(shì)能，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；重力勢(shì)能的變化量與零勢(shì)能面的選取無關(guān)，選項(xiàng)D正確. 4. (2015嘉興高三上學(xué)期期末)如圖2所示，一小孩從公園中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其能量的變化情況是(　　) 圖2 A.重力勢(shì)能減小，動(dòng)能不變，機(jī)械能減小，總能量減小 B.重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增加，機(jī)械能減小，總能量不變 C.重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增加，機(jī)械能增加，總能量增加 D.重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增加，機(jī)械能守恒，總能量不變 答案　B 解析　由能量守恒定律可知，小孩在下滑過程中總能量守恒，故A、C均錯(cuò)；由于摩擦力要做負(fù)功，機(jī)械能不守恒，故D錯(cuò)；下滑過程中重力勢(shì)能向動(dòng)能和內(nèi)能轉(zhuǎn)化，故只有B正確. 5.在兒童樂園的蹦床項(xiàng)目中，小孩在兩根彈性繩和彈性床的協(xié)助下實(shí)現(xiàn)上下彈跳，如圖3所示.某次蹦床活動(dòng)中小孩靜止時(shí)處于O點(diǎn)，當(dāng)其彈跳到最高點(diǎn)A后下落可將蹦床壓到最低點(diǎn)B，小孩可看成質(zhì)點(diǎn).不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是(　　) 圖3 A.從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)，小孩重力勢(shì)能的減少量等于動(dòng)能的增加量 B.從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，小孩動(dòng)能的減少量等于蹦床彈性勢(shì)能的增加量 C.從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，小孩機(jī)械能的減少量小于蹦床彈性勢(shì)能的增加量 D.從B點(diǎn)返回到A點(diǎn)，小孩機(jī)械能的增加量等于蹦床彈性勢(shì)能的減少量 答案　D 解析　小孩從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得mghAO－W彈1＝ΔEk1，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小孩從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得mghOB－W彈2＝ΔEk2，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；小孩從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，由功能關(guān)系可得－W彈3＝ΔE機(jī)1，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小孩從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，由功能關(guān)系可得－W彈4＝ΔE機(jī)2，選項(xiàng)D正確. 6.(2015浙江省學(xué)業(yè)水平測(cè)試14)如圖4所示為跳傘愛好者表演高樓跳傘的情形，他們從樓頂跳下后，在距地面一定高度處打開傘包，最終安全著陸，則跳傘者(　　) 圖4 A.機(jī)械能一直減小 B.機(jī)械能一直增大 C.動(dòng)能一直減小 D.重力勢(shì)能一直增大 答案　A 解析　在這個(gè)下落過程中，空氣阻力一直對(duì)系統(tǒng)做負(fù)功，因此系統(tǒng)的機(jī)械能在不斷減少，所以答案為A項(xiàng). 7.物體在平衡力作用下運(yùn)動(dòng)的過程中，下列說法正確的是(　　) A.機(jī)械能一定不變 B.物體的動(dòng)能保持不變，而勢(shì)能一定變化 C.若物體的勢(shì)能變化，則機(jī)械能一定變化 D.若物體的勢(shì)能變化，則機(jī)械能不一定有變化 答案　C 解析　由于物體在平衡力的作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以物體的動(dòng)能不變，而勢(shì)能可能不變，也可能變化，當(dāng)物體的勢(shì)能變化時(shí)，機(jī)械能一定變化，當(dāng)物體的勢(shì)能不變時(shí)，機(jī)械能一定不變，故C項(xiàng)正確，A、B、D三項(xiàng)均錯(cuò)誤. 8.一只100 g的球從1.8 m的高處落到一個(gè)水平板上又彈回到1.25 m的高度，則整個(gè)過程中重力對(duì)球所做的功及球的重力勢(shì)能的變化是(g＝10 m/s2)(　　) A.重力做功為1.8 J B.重力做了0.55 J的負(fù)功 C.物體的重力勢(shì)能一定減少0.55 J D.物體的重力勢(shì)能一定增加1.25 J 答案　C 解析　整個(gè)過程重力做功WG＝mgh＝0.1100.55 J＝0.55 J，故重力勢(shì)能減少0.55 J，所以選項(xiàng)C正確. 9.如圖5所示，質(zhì)量為m的物體沿斜上方以速度v0拋出后，能達(dá)到的最大高度為H，當(dāng)它將要落到離地面高度為h的平臺(tái)上時(shí)(不計(jì)空氣阻力，取地面為參考平面)，下列判斷正確的是(　　) 圖5 A.它的總機(jī)械能大于mv B.它的總機(jī)械能為mgH C.它的動(dòng)能為mg(H－h(huán)) D.它的動(dòng)能為mv－mgh 答案　D 解析　依題意分析可知，物體做拋體運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒.物體剛被拋出時(shí)的機(jī)械能為mv，故物體將要落到離地面高度為h的平臺(tái)上時(shí)機(jī)械能一定為mv，選項(xiàng)A、B均錯(cuò)誤.設(shè)物體將要落到離地面高度為h的平臺(tái)上時(shí)動(dòng)能為Ek，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得mv＝Ek＋mgh，解得Ek＝mv－mgh，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確. 10. (2015浙江選考)如圖6所示，在高1.5 m的光滑平臺(tái)上有一個(gè)質(zhì)量為2 kg的小球被一細(xì)線拴在墻上，小球與墻之間有一根被壓縮的輕質(zhì)彈簧.當(dāng)燒斷細(xì)線時(shí)，小球被彈出，小球落地時(shí)的速度方向與水平方向成60角，則彈簧被壓縮時(shí)具有的彈性勢(shì)能為(g＝10 m/s2)(　　) 圖6 A.10 J B.15 J C.20 J D.25 J 答案　A 解析　由2gh＝v－0得：vy＝，即vy＝ m/s，落地時(shí)，由tan 60＝可得：v0＝＝ m/s，由機(jī)械能守恒定律得Ep＝mv，可求得：Ep＝10 J，故A正確. 11.如圖7所示，某段滑雪雪道傾角為30，總質(zhì)量為m(包括雪具在內(nèi))的滑雪運(yùn)動(dòng)員從距底端高為h處的雪道上由靜止開始勻加速下滑，加速度為g.在他從上向下滑到底端的過程中，下列說法中正確的是(　　) 圖7 A.運(yùn)動(dòng)員減少的重力勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能 B.運(yùn)動(dòng)員獲得的動(dòng)能為mgh C.運(yùn)動(dòng)員克服摩擦力做功為mgh D.下滑過程中系統(tǒng)減少的機(jī)械能為mgh 答案　D 12.(2016浙江名校協(xié)作體試卷)如圖8所示，質(zhì)量為m的小球，用OB和O′B兩根輕繩吊著，兩輕繩與水平天花板的夾角分別為30和60，這時(shí)OB繩的拉力大小為F1，若燒斷O′B繩，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)，OB繩的拉力大小為F2，則F1∶F2等于(　　) 圖8 A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 答案　D 解析　燒斷O′B輕繩前，小球處于平衡狀態(tài)，合力為零， 根據(jù)幾何關(guān)系得：F1＝mgsin 30＝mg； 燒斷O′B繩，設(shè)小球擺到最低點(diǎn)時(shí)速度為v，繩長為L.小球擺到最低點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：mgL(1－sin 30)＝mv2 在最低點(diǎn)，有F2－mg＝m 聯(lián)立解得F2＝2mg；故F1∶F2等于1∶4. 13.(多選)如圖9所示，在一直立的光滑管內(nèi)放置一輕質(zhì)彈簧，上端O點(diǎn)與管口A的距離為2x0，一質(zhì)量為m的小球從管口由靜止下落，將彈簧壓至最低點(diǎn)B，壓縮量為x0，不計(jì)空氣阻力，則下列說法正確的是(　　) 圖9 A.小球從接觸彈簧開始，加速度一直減小 B.小球運(yùn)動(dòng)過程中最大速度大于2 C.彈簧勁度系數(shù)大于 D.彈簧最大彈性勢(shì)能為3mgx0 答案　BCD 解析　小球從接觸彈簧開始，小球的加速度先減小，在小球的重力和彈力相等的時(shí)候，加速度最小等于零，此時(shí)速度最大，然后彈力開始大于小球重力，加速度方向變?yōu)橄蛏?，并逐漸增大，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；小球從A下落到O的過程中，機(jī)械能守恒，所以mg(2x0)＝mv2，所以小球在O點(diǎn)的速度為2，小球在O點(diǎn)的速度并不是最大，所以B選項(xiàng)正確；在B點(diǎn)小球受到的彈力大于重力，所以kx0>mg，解得k>，C選項(xiàng)正確；在小球從A下落到B的過程中，小球減少的重力勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化的彈性勢(shì)能，所以D選項(xiàng)正確. 14.如圖10所示，質(zhì)量m＝2 kg的小球用長L＝1.05 m的輕質(zhì)細(xì)繩懸掛在距水平地面高H＝6.05 m的O點(diǎn).現(xiàn)將細(xì)繩拉直至水平狀態(tài)，自A點(diǎn)無初速度釋放小球，運(yùn)動(dòng)至懸點(diǎn)O的正下方B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩恰好斷裂，接著小球做平拋運(yùn)動(dòng)，落至水平地面上C點(diǎn).不計(jì)空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2.求： 圖10 (1)細(xì)繩能承受的最大拉力； (2)細(xì)繩斷裂后小球在空中運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間； (3)小球落地瞬間速度的大小. 答案　(1)60 N　(2)1 s　(3)11 m/s 解析　(1)根據(jù)機(jī)械能守恒mgL＝mv 由牛頓第二定律得 F－mg＝m 故最大拉力F＝3mg＝60 N (2)細(xì)繩斷裂后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，且H－L＝gt2 故t＝ ＝ s＝1 s (3)整個(gè)過程，小球的機(jī)械能不變，故 mgH＝mv 所以vC＝＝ m/s＝11 m/s. 15.如圖11所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)相切，半圓形導(dǎo)軌的半徑為R.一個(gè)質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右的速度后脫離彈簧，當(dāng)它經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌的瞬間對(duì)軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運(yùn)動(dòng)恰能到達(dá)最高點(diǎn)C，C、O、B三點(diǎn)在同一豎直線上.(不計(jì)空氣阻力)試求： 圖11 (1)物體在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能； (2)物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過程中產(chǎn)生的內(nèi)能. 答案　(1)mgR　(2)mgR 解析　(1)設(shè)物體在B點(diǎn)的速度為vB，受到的支持力為FNB，則有 FNB－mg＝m 又FNB＝8mg 由能量守恒定律可知 彈性勢(shì)能Ep＝mv＝mgR. (2)設(shè)物體在C點(diǎn)的速度為vC，由題意可知 mg＝m 物體由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，由能量守恒定律得 E內(nèi)＝mv－＝mgR. 16.(2016浙江第一學(xué)期名校試卷)一彈珠彈射玩具模型如圖12所示，水平粗糙管AB內(nèi)裝有一輕彈簧，左端固定.豎直放置的管道BCD光滑，其中CD為半徑R＝0.1 m的圓周，C與地面高度也為R.用質(zhì)量m1＝0.3 kg的彈珠(可看成質(zhì)點(diǎn))將彈簧緩慢壓縮到某一確定位置M，彈珠與彈簧不固連，由靜止釋放后彈珠恰停止在D點(diǎn)，用同種材料、質(zhì)量為m2＝0.1 kg的彈珠仍將彈簧緩慢壓縮到M點(diǎn)釋放，由靜止釋放后彈珠由D點(diǎn)飛出后落在與D點(diǎn)正下方D′點(diǎn)相距x＝0.8 m處.g＝10 m/s2，求： 圖12 (1)m2從D點(diǎn)飛出時(shí)的速度大小. (2)彈珠m2在D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的彈力. (3)彈簧緩慢壓縮到M點(diǎn)時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能. 答案　(1)4 m/s　(2)15 N，方向豎直向上　(3)1.2 J 解析　(1)m2從D點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，2R＝gt2，解得t＝0.2 s x＝vDt，vD＝4 m/s (2)在D點(diǎn)：mg＋FN＝m，解得FN＝15 N，方向豎直向下 由牛頓第三定律知m2在D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的彈力FN′＝15 N，方向豎直向上 (3)Ep＝μm1gxMB＋m1g2R Ep＝μm2gxMB＋m2g2R＋m2v 聯(lián)立解得，Ep＝1.2 J.