《高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題10_4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題 理（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題10_4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題 理（含解析）（40頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
專題10.4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用
【三年高考】
1. 【2016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：–y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m
1 D．m>0）的左.右焦點(diǎn)分別為，，離心率為：雙曲線：的左.右焦點(diǎn)分別為，，離心率為.已知=，且.
（Ⅰ）求.的的方程；
（Ⅱ）過做的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值
(2)由(1)可得,因?yàn)橹本€不垂直于軸,所以設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,則,則,因?yàn)樵谥本€上,所以,因?yàn)闉榻裹c(diǎn)弦,所以根據(jù)焦點(diǎn)弦弦長公式可得,則直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線可得,則,所以的坐標(biāo)為,則點(diǎn)到直線的距離為,,因?yàn)辄c(diǎn)在直線的兩端所以,則四邊形面積,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí), 四邊形面積取得最小值為.
【三年高考命題回顧】
縱觀前三年各地高考試題, 由定義法求曲線的方程、由已知條件直接求曲線的方程、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為中檔題或難題，主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的知識(shí)點(diǎn)多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，是高考中區(qū)分度較大的題目.
【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】
由前三年的高考命題形式,橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)綜合問題是高考考試的重點(diǎn)，每年必考，一般是兩小一大的布局，試題難度往往是有一道基礎(chǔ)題，另一道是提高題，難度中等以上，有時(shí)作為把關(guān)題．考查方面離心率是重點(diǎn)，其它利用性質(zhì)求圓錐曲線方程，求焦點(diǎn)三角形的周長與面積，求弦長，求圓錐曲線中的最值或范圍問題，過定點(diǎn)問題，定值問題等．從近三年的高考試題來看，小題中雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，題型大多為選擇題、填空題，難度為中等偏低，主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，考查基本運(yùn)算能力及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，而橢圓、拋物線的性質(zhì)一般，一道小題，一道解答題，難度中等，有時(shí)作為把關(guān)題存在，而且三大曲線幾乎年年都考，故預(yù)測2017求曲線的方程和研究曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等仍是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為仍中檔題或難題，仍主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系仍是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的知識(shí)點(diǎn)仍然較多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，仍是高考中區(qū)分度較大的題目，在備考時(shí)，熟練掌握求曲線方程的常用方法，掌握直線與圓錐曲線問題的常見題型與解法，加大練習(xí)力度，提高運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題能力，要特別關(guān)注與向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的結(jié)合，關(guān)注函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用．
【2017年高考考點(diǎn)定位】
高考對(duì)圓錐曲線綜合問題的考查有三種主要形式：一是考查求曲線方程；二是考查圓錐曲線間的知識(shí)運(yùn)用；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，這是高考中考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要涉及的題型為中點(diǎn)弦問題、最值與取值范圍問題、定點(diǎn)與定值問題、探索性問題，從涉及的知識(shí)上講，常與平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相聯(lián)系，考查知識(shí)點(diǎn)多，運(yùn)算量大，能力要求高，難度大是這種題型的一大特征.
【考點(diǎn)1】求軌跡方程
【備考知識(shí)梳理】
1．曲線與方程
在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：
(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；
(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．那么，這個(gè)方程叫做這條曲線的方程；這條曲線叫做這個(gè)方程的曲線.
2．直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟
(1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．
(2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)．
(3)列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式．
(4)代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡．
(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．
【規(guī)律方法技巧】
1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類，一類是已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)——待定系數(shù)法；另一類是不知曲線類型常用的方法有：
(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0；
(2)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；
(4)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程．
2. 求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等
【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】
1. 【2016江省衢州市高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測】設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)均滿足，則取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 【2016江西省高安中學(xué)高三命題中心押題】在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，動(dòng)點(diǎn)滿足:直線與直線的斜率之積為．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡的左右頂點(diǎn)，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在x軸上），連[交的軌跡于點(diǎn)，連并延長交的軌跡于點(diǎn)，試問直線是否過定點(diǎn)？若成立，請求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不成立，請說明理由．
【解析】（1）已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以直線的斜率，直線的斜率（），又，所以，即．
（2）設(shè)，又，則，故直線的方程為：，代入橢圓方程并整理得：。由韋達(dá)定理：即，，同理可解得：
故直線的方程為，即，故直線恒過定點(diǎn)．
【考點(diǎn)2】圓錐曲線間的綜合
【備考知識(shí)梳理】
1.要熟記橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).
2.要熟練掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).
3.要熟練掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).
【規(guī)律方法技巧】
1. 解圓錐曲線間的綜合問題時(shí)，要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)不同曲線間基本量的轉(zhuǎn)化.
2.熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】
1. 【2016江西省高安中學(xué)高三命題中心模擬】已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
2. 【2016屆寧夏六盤山高中高三四?！繖E圓的右焦點(diǎn)為，雙曲線的一條漸近線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 _____.
【答案】
【考點(diǎn)3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合問題
【備考知識(shí)梳理】
1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程.
(1) 若≠0，當(dāng)△＞0時(shí)，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn).
當(dāng)△=0時(shí)，直線與圓錐曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線相切.
當(dāng)△＜0時(shí)，直線與圓錐曲線無公共點(diǎn).
（2）當(dāng)=0時(shí)，若圓錐曲線為雙曲線，則直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行；若圓錐曲線為拋物線，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行.
（3）設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)A（，），B（，），則，.
2. 直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝.
【規(guī)律方法技巧】
1.在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，常用設(shè)而不求法，即常將圓錐曲線與直線聯(lián)立，消去（或）化為關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，則交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)即為上述一元二次方程的解，利用根與系數(shù)關(guān)系，將，表示出來，注意判別式大于零不能丟，然后根據(jù)問題，再通過配湊將其化為關(guān)于與的式子，將，代入再用有關(guān)方法取處理，注意用向量法處理共線問題、垂直問題及平行問題.
2.再處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題時(shí)，首先確定直線的斜率，若不能確定，則需要分成直線斜率存在與不存在兩種情況討論，也可以將直線方程設(shè)為，避免分類討論.
3.定點(diǎn)與定值問題處理方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)（定值），再證明這個(gè)定點(diǎn)（定值）與變量無關(guān).
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）.
4.最值問題常見解法有兩種：
（1）幾何法：若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來解決，如三角不等式、圓錐曲線的定義等.
(2)代數(shù)法：利用相關(guān)知識(shí)和方法結(jié)合題中的條件，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)、不等式或?qū)?shù)知識(shí)求出這個(gè)函數(shù)的最值.
5.參數(shù)范圍問題常見解法有兩種：
（1）不等式法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)滿足的不等式（組），通過解不等式（組）解出參數(shù)的范圍，注意判別式大于0不能遺漏.
(2)函數(shù)最值法：利用題中條件和相關(guān)知識(shí)，將所討論參數(shù)表示為某個(gè)變量的函數(shù)，通過討論這個(gè)函數(shù)的值域求出該參數(shù)的范圍.
6.對(duì)探索性問題，先假設(shè)存在，依此為基礎(chǔ)推理，若推出矛盾，則不存在，求出值，則存在.
7. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法.
【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】
1.【2016屆邯鄲市一中高三十研】已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)分別為其左右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若上存在兩個(gè)點(diǎn)，橢圓上有兩個(gè)點(diǎn)滿足三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，且，求四邊形面積的最小值．
2.【2016年河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)考】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過作互相垂直的兩條直線分別與相交于和四點(diǎn).
（1）四邊形能否成為平行四邊形，請說明理由；
（2）求的最小值.
【解析】設(shè)點(diǎn)
(Ⅰ)若四邊形為平行四邊形，則四邊形為菱形，∴與在點(diǎn)處互相平分，又F的坐標(biāo)為,由橢圓的對(duì)稱性知垂直于軸，則垂直于軸，顯然這時(shí)不是平行四邊形．∴四邊形不可能成為平行四邊形.
【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】
１．求圓錐曲線方程的方法
求曲線方程的常見方法：
(1)直接法：直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程
(2)定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求
(3)相關(guān)點(diǎn)法：即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程
(4)參數(shù)法：若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)()中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程.
注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進(jìn)一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念.
(5)待定系數(shù)法：①頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為或()，避開對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論，此時(shí)不具有的幾何意義．
②中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓方程可設(shè)為 ()，雙曲線方程可設(shè)為 ()．這樣可以避免繁瑣的計(jì)算．
利用以上設(shè)法，根據(jù)所給圓錐曲線的性質(zhì)求出參數(shù)，即得方程．
2．最值或范圍問題的解決方法
解析幾何中的最值問題涉及的知識(shí)面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：
(1)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值；
(2)利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值；
(4)利用判別式求最值；
(5)利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值．
3．求定值問題的方法
定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導(dǎo)和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題．
4． 有關(guān)弦的問題
(1)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算．
①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，，則所得弦長或，其中求與時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形：
，.
②當(dāng)斜率不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式)．
(2)弦的中點(diǎn)問題
有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運(yùn)算．
5.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ).因此，對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求.
6.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟：
(1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零)；
(3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式；
(4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長公式求解
7.解析幾何解題的基本方法
解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對(duì)知識(shí)的重新組合，以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識(shí).解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對(duì)稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.
8.避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法
可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因?yàn)閷?duì)普通方程運(yùn)算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會(huì)簡單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會(huì)簡單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，在極坐標(biāo)系下可能會(huì)簡單“所謂尋求”.
9. 解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：
（1）給出直線的方向向量或；
（2）給出與相交,等于已知過的中點(diǎn);
（3）給出,等于已知是的中點(diǎn);
（4）給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;
（5） 給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線；
（6） 給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即；
（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角；
（8）給出,等于已知是的平分線；
（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
（10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；
（12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）；
（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；
（14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心；
（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）；
（16）在中，給出,等于已知是中邊的中線.
10．定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．
11．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理.
二年模擬
1. 【山西省榆林市高三第二次模擬】已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，若為直角三角形，則雙曲線離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得：而，選C.
2. 【2016年山西四校高三第三次聯(lián)考】已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為為其左、右頂點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且,則雙曲線的離心率
為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 【2016年山西省四校高三聯(lián)考】已知雙曲線的兩頂點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4. 【2016屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調(diào)研考試】已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，所以，，則橢圓方程＝1變?yōu)椋O(shè)，又＝3，所以，所以，即．因?yàn)樵跈E圓上，所以 ①，
②． 由①－9②，得，所以，所以，所以，，從而，，所以，，故，故選B．
5. 【2016屆安徽六安一中高三下學(xué)期第三次模擬】如圖所示，橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，線段是垂直于橢圓長軸的弦，連接相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為____________．
【答案】
6.【2016屆天津市和平區(qū)高三第四次模擬】已知雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離等于2，拋物線過點(diǎn)，則該拋物線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7. 【2016屆湖北省黃岡中學(xué)高三5月一?！恳阎c(diǎn)是拋物線與圓在第一象限的公共點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于，若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)的距離之和的最小值為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線被圓所截得的弦長為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】因圓的圓心為,半徑為,由題意,又動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與動(dòng)點(diǎn)到的距離之和即為動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)到的距離之和.若這兩個(gè)距離之和最小為,當(dāng)且僅當(dāng)這三點(diǎn)共線且為的中點(diǎn)時(shí)最小.因,由此可得,代入可得,則很容易用拋物線的定義求得,這時(shí),故,圓心到的距離為,故弦長,應(yīng)選C.
8. 【2016屆廣西柳州市高三下4月模擬理】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于兩點(diǎn)（且
在之間或同時(shí)在之外）. 問：是否存在定值，對(duì)于滿足條件的任意實(shí)數(shù)，都有的面積與的面積相等，若存在，求的值；若不存在，說明理由.
9. 【2016屆陜西省安康市高三第三次聯(lián)考理】如圖, 在平面直角坐標(biāo)系中, 拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn), 設(shè)到準(zhǔn)線的距離.
（1）若,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若,求證：直線的斜率的平方為定值.
【解析】（1）,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,,即軸,, 即,得,所以拋物線的方程為.
10.【2016屆山東省臨沂十八中高三三模理】已知已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線，，點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)，是直線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且的內(nèi)切圓方程為，直線的斜率為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）依題意，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線．曲線的方程為．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，直線方程為：，化簡，得．的內(nèi)切圓方程為，圓心到直線的距離為，即．故．易知，上式化簡得，．同理，有,，是關(guān)于的方程的兩根．，． ．，，．直線的斜率，則．．函數(shù)在上單調(diào)遞增，．．．．
11.【2015屆陜西省西安市第一中學(xué)高三下學(xué)期自主命題二】已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C：漸近線的距離為，點(diǎn)P是拋物線y2 ＝8x上的一動(dòng)點(diǎn)，P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1（0，c）的距離與到直線x=-2 的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為
A． B． C． D．
【答案】C
12.【2015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，M，N是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，， 則△PMN的面積的最大值為 .
【答案】
【解析】由題意知：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，的面積最大，所以直線的方程是，點(diǎn)到直線的距離，由得：或，所以，所以，所以的面積的最大值是，所以答案應(yīng)填：．
13.【2015屆吉林省東北師大附中高三第四次模擬】我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中橢圓的離心率為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
14.【2015屆浙江省桐鄉(xiāng)一中高三下學(xué)期聯(lián)盟學(xué)校高考仿真測試】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為，離心率為．設(shè)A，B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為M，的中點(diǎn)為N，原點(diǎn)在以線段為直徑的圓上．設(shè)直線AB的斜率為k，若，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，，代入得：，，，那么，，，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得：，，代入整理得：，解得，，解得，所以，，所以離心率．
15.【2015屆遼寧省師大附中高三模擬】已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4；橢圓的離心率，且過拋物線的焦點(diǎn)．
（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知，求證：為定值．
（3）直線交橢圓于，兩不同點(diǎn)，，在軸的射影分別為，，，若點(diǎn)S滿足：，證明：點(diǎn)S在橢圓上．
（Ⅱ）直線的斜率必存在，設(shè)為，設(shè)直線與橢圓交于，則直線的方程為， ，聯(lián)立方程組: 所以，，所以 （*） 由得: 得: ，所以
將（*）代入上式，得
拓展試題以及解析
1. 已知橢圓的離心率，半焦距為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ∵拋物線的準(zhǔn)線方程為，∴，即，∵，∴，∴.∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選B.
【入選理由】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是橢圓與 拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題.
2.已知雙曲線一焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F相同，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為1，P為雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，Q（1,3），則|PF|+|PQ|的最小值為 （ ）
A. B. C.4 D.
【答案】D
【入選理由】本題主要考查雙曲線的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,本題是雙曲線與拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題.
3．已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，M，N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，其中M（1,2），過拋物線C焦點(diǎn)的直線與交于在軸上方）兩點(diǎn)，且．則的面積為（ ）
A. B. C. D.3
【答案】A
【入選理由】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)，三角形面積，解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是橢圓與拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題.
4.已知橢圓C的一焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在橢圓C上．直線過點(diǎn)，且與橢圓C交于，兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)滿足,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長線段與橢圓C交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)直線的方程，若不能，說明理由．
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，故得，解得.
所以橢圓的方程為
（2）四邊形能為平行四邊形，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)．
法一：（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的方程為滿足題意；（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線，顯然.，，．將代入得，
故，．于是直線的斜率，即．由直線，過點(diǎn)，得，因此．的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由得，即．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即．于是．由，得滿足所以直線的方程為時(shí)，四邊形為平行四邊形．綜上所述：直線的方程為或 .
【入選理由】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，探索性命題等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.
5.已知雙曲線:的漸近線方程為，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦
點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為雙曲線與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn).
（Ⅰ）求雙曲線與拋物線的方程；
(Ⅱ) 過拋物線的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，與拋物線分別交于點(diǎn)、，、.
(ⅰ)若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)（點(diǎn)，不同于點(diǎn)），求直線的斜率；
(ⅱ)是否存在常數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明
理由.
6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且離心率為．
(Ⅰ)求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)若橢圓的長軸的兩端點(diǎn)為，，點(diǎn)為橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，定直線與直線，分別交于，兩點(diǎn).請問以為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點(diǎn)，若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【解析】(Ⅰ)設(shè)，代入，得，∴.又，即，∴． ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．在橢圓中，，，∴，．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(Ⅱ)如圖，設(shè)，的斜率分別為，，，則，.∴ ，由：，知，由：，知，∴的中點(diǎn)，∴以為直徑的圓的方程為： .令得，，
∴，∴，即，解得或，
∴存在定點(diǎn)，在以為直徑的圓上.
【入選理由】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.
7.已知是橢圓左右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，△的周長為8，橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于且，求證原點(diǎn)到直線的距離為定值．
（Ⅱ）當(dāng)存在時(shí)，設(shè)， ，【入選理由】本題主要考查橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.
8．已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線：與橢圓交于兩點(diǎn)
①若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若直線的斜率是直線斜率的等比中項(xiàng)，求面積的取值范圍.
【解析】（1）由拋物線的方程為得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以可得橢圓中， 當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)的面積最大，此時(shí)，所以，又由得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【入選理由】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的方程，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積，等比中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.
高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題10_4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題 理（含解析）
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