高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題三 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第3講 平面向量練習(xí) 文
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第3講 平面向量 1．(2016課標(biāo)全國丙改編)已知向量＝，＝，則∠ABC＝________. 答案 30 解析 ∵||＝1，||＝1， cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30. 2．(2016山東改編)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為______． 答案?。? 解析 ∵n⊥(tm＋n)，∴n(tm＋n)＝0，即tmn＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－4. 3．(2016天津改編)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連結(jié)DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則的值為________． 答案 解析 如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE＝2EF，所以＝， ＝＋＝＋ ＝＝， 所以＝＋.又＝－， 則＝(－) ＝－2＋2－ ＝2－2－. 又||＝||＝1，∠BAC＝60， 故＝－－11＝. 4．(2016浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若對任意單位向量e，均有|ae|＋|be|≤，則ab的最大值是________． 答案 解析 由已知可得： ≥|ae|＋|be|≥|ae＋be|＝|(a＋b)e|， 由于上式對任意單位向量e都成立． ∴≥|a＋b|成立． ∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝12＋22＋2ab. 即6≥5＋2ab，∴ab≤. 1.考查平面向量的基本定理及基本運算，多以熟知的平面圖形為背景進行考查，多為填空題，難度中低檔.2.考查平面向量的數(shù)量積，以填空題為主，難度低；向量作為工具，還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合，以解答題形式出現(xiàn). 熱點一 平面向量的線性運算 1．在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化． 2．在用三角形加法法則時，要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所得的向量；在用三角形減法法則時，要保證“同起點”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量． 例1 (1)設(shè)0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，則tan θ＝______. (2)如圖，在△ABC中，已知＝2，以向量，向量作為基底，則向量可表示為____________． 答案 (1) (2)＋ 解析 (1)因為a∥b， 所以sin 2θ＝cos2θ，即2sin θcos θ＝cos2θ. 因為0<θ<，所以cos θ>0， 得2sin θ＝cos θ，tan θ＝. (2)根據(jù)平面向量的運算法則及已知圖形可知＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋. 思維升華 (1)對于平面向量的線性運算，要先選擇一組基底；同時注意共線向量定理的靈活運用．(2)運算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系． 跟蹤演練1 (1)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么以向量和向量為基底，向量可表示為__________． (2)如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為________． 答案 (1)－ (2) 解析 (1)在△CEF中，有＝＋. 因為點E為DC的中點，所以＝. 因為點F為BC的一個三等分點，所以＝. 所以＝＋＝＋＝－. (2)因為E為DC的中點，所以＝＋＝＋＋＝＋，即＝－＋， 所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝. 熱點二 平面向量的數(shù)量積 1．?dāng)?shù)量積的定義：ab＝|a||b|cos θ. 2．三個結(jié)論 (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角， 則cos θ＝＝. 例2 (1)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若＝，則的值是________． (2)若b＝，|a|＝2|b|，且(a＋b)b＝－2，則向量a，b的夾角為________． 答案 (1) (2) 解析 (1)以A為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系， 可得A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)， ∴＝(，0)，＝(x,2)， ∴＝x＝， 解得x＝1，∴F(1,2)． ∴＝(，1)，＝(1－，2)， ∴＝(1－)＋12＝. (2)b2＝cos2＋cos2＝cos2＋sin2＝1， 所以|b|＝1，|a|＝2. 由(a＋b)b＝－2，可得ab＋b2＝－2， 故ab＝－，故cos〈a，b〉＝＝＝－. 又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. 思維升華 (1)數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運算，數(shù)量積的幾何意義；(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進行計算． 跟蹤演練2 (1)已知點A，B，C，D在邊長為1的方格點圖的位置如圖所示，則向量在方向上的投影為________． (2)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，則的值為________． 答案 (1)－ (2)－2 解析 (1)不妨以點A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，易得＝(－2,3)，＝(4,2)，所以向量在方向上的投影為＝＝－. (2)＝(＋)＝(＋) ＝[＋(－)]＝(＋)(－) ＝－2＋＋2 ＝－6＋1＋3＝－2. 熱點三 平面向量與三角函數(shù) 平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件． 例3 已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x(x∈R)． (1)當(dāng)x∈[0，)時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sin A)與向量n＝(2，sin B)共線，求a，b的值． 解 (1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin(2x＋)＋1， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 因為x∈[0，)， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，]． (2)由f(C)＝2sin(2C＋)＋1＝2， 得sin(2C＋)＝， 而C∈(0，π)，所以2C＋∈(，)， 所以2C＋＝π，解得C＝. 因為向量m＝(1，sin A)與向量n＝(2，sin B)共線， 所以＝. 由正弦定理得＝，① 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos， 即a2＋b2－ab＝9.② 聯(lián)立①②，解得a＝，b＝2. 思維升華 在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題． 跟蹤演練3 已知△ABC是銳角三角形，向量m＝ ，n＝，且m⊥n. (1)求A－B的值； (2)若cos B＝，AC＝8，求BC的長． 解 (1)因為m⊥n， 所以mn＝coscos B＋sinsin B ＝cos＝0， 又A，B∈， 所以∈， 所以A＋－B＝，即A－B＝. (2)因為cos B＝，B∈，所以sin B＝， 所以sin A＝sin＝sin Bcos＋cos Bsin ＝＋＝， 由正弦定理，得BC＝AC＝8＝4＋3. 1．如圖，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設(shè)＝a，＝b，用a，b表示向量，則＝____________. 押題依據(jù) 平面向量基本定理是向量表示的基本依據(jù)，而向量表示(用基底或坐標(biāo))是向量應(yīng)用的基礎(chǔ)． 答案 (a＋b) 解析 因為DE∥BC，所以DN∥BM， 則△AND∽△AMB，所以＝. 因為＝，所以＝. 因為M為BC的中點， 所以＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝＝(a＋b)． 2．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，＝2，則＝________. 押題依據(jù) 數(shù)量積是平面向量最重要的概念，平面向量數(shù)量積的運算是高考的必考內(nèi)容，和平面幾何知識的結(jié)合是向量考查的常見形式． 答案 － 解析 ∵＝2，圓O的半徑為1，∴||＝， ∴＝(＋)(＋)＝2＋(＋)＋＝()2＋0－1＝－. 3．在△ABC中，＝(cos 32，cos 58)，＝(sin 60sin 118，sin 120sin 208)，則△ABC的面積為________． 押題依據(jù) 平面向量作為數(shù)學(xué)解題工具，通過向量的運算給出條件解決三角函數(shù)問題已成為近幾年高考的熱點． 答案 解析 ||＝ ＝＝1， ＝， 所以||＝ ＝. 則＝cos 32cos 28－sin 32sin 28 ＝(cos 32cos 28－sin 32sin 28) ＝cos(32＋28)＝cos 60＝， 故cos〈，〉＝＝＝. 又〈，〉∈[0，180]，所以〈，〉＝60， 故B＝180－〈，〉＝180－60＝120. 故△ABC的面積為 S＝||||sin B ＝1sin 120＝. 4．如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝60，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則的最小值是_______________________________________． 押題依據(jù) 本題將向量與平面幾何、最值問題等有機結(jié)合，體現(xiàn)了高考在知識交匯點命題的方向，本題解法靈活，難度適中． 答案?。? 解析 因為＝＋，所以＝(＋)＝＋2.又因為∠AOB＝60，OA＝OB， 所以∠OBA＝60，OB＝1.所以＝||cos 120＝－||，所以＝－||＋||2＝(||－)2－≥－，當(dāng)且僅當(dāng)||＝時，取得最小值－. A組 專題通關(guān) 1．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝＋λ，則λ＝________. 答案 解析 在△ABC中，已知D是AB邊上一點， ∵＝2，＝＋λ，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝. 2．△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是________． ①|(zhì)b|＝1; ②a⊥b； ③ab＝1; ④(4a＋b)⊥. 答案 ④ 解析 在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b， 得|b|＝2. 又|a|＝1，所以ab＝|a||b|cos 120＝－1， 所以(4a＋b)＝(4a＋b)b＝4ab＋|b|2 ＝4(－1)＋4＝0， 所以(4a＋b)⊥. 3．在等腰△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC＝2，＝2，＝3，則＝________. 答案?。? 解析 由已知得到＝(＋)(＋)＝－2＋＋＋2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，AB＝AC＝2，所以＝－22＋0＋0＋22＝－. 4．(2016天津薊縣期中)已知向量a，b滿足(a＋2b)(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________． 答案 解析 設(shè)a與b的夾角為θ，∵(a＋2b)(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，∴1＋ab－8＝－6， ∴ab＝1＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 5．(2016安徽江淮十校第二次聯(lián)考)已知平面向量a、b(a≠0，a≠b)滿足|a|＝3，且b與b－a的夾角為30，則|b|的最大值為________． 答案 6 解析 令＝a，＝b，則b－a＝－＝，如圖，∵b與b－a的夾角為30，∴∠OBA＝30， ∵|a|＝||＝3，∴由正弦定理＝得，|b|＝||＝6sin∠OAB≤6. 6．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，若a，b在向量c方向上的投影相等，且(c－a)(c－b)＝－，則向量c的坐標(biāo)為________． 答案 (，) 解析 設(shè)c＝(x，y)，根據(jù)題意有 解得 7．設(shè)向量＝(5＋cos θ，4＋sin θ)，＝(2,0)，則||的取值范圍是________． 答案 [4,6] 解析 ∵＝－＝(－3－cos θ，－4－sin θ)， ∴||2＝(－3－cos θ)2＋(－4－sin θ)2 ＝6cos θ＋8sin θ＋26＝10sin(θ＋φ)＋26， 其中tan φ＝， ∴16≤||2≤36，∴4≤||≤6. 8．設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種向量積a?b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，點P(x，y)在y＝sin x的圖象上運動，Q是函數(shù)y＝f(x)圖象上的點，且滿足＝m?＋n(其中O為坐標(biāo)原點)，則函數(shù)y＝f(x)的值域是________． 答案 [－，] 解析 令Q(c，d)，由新的運算可得＝m?＋n＝(2x，sin x)＋(，0)＝(2x＋，sin x)， ∴消去x得d＝sin(c－)， ∴y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]． 9．設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈[0，]． (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值． 解 (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x， |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈[0，]，從而sin x＝，所以x＝. (2)f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋， 當(dāng)x＝∈[0，]時，sin(2x－)取最大值1， 所以f(x)的最大值為. 10．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α下載提示(請認真閱讀)
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