專題五 立體幾何 第一講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積適考素能特訓(xùn) 理 一、選擇題 1．在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為(　　) 答案　D 解析　由題目所給的幾何體的正視圖和俯視圖，可知該幾何體為半圓錐和三棱錐的組合體，如圖所示，可知側(cè)視圖為等腰三角形，且輪廓線為實(shí)線，故選D. 2．[2016重慶測(cè)試]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依題意，題中的幾何體是由一個(gè)直三棱柱與一個(gè)三棱錐所組成的，其中該直三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形(腰長分別為1、2)、高為1；該三棱錐的底面是一個(gè)直角三角形(腰長分別為1、2)、高為1，因此該幾何體的體積為211＋211＝，選B. 3．[2016唐山統(tǒng)考]三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為(　　) A. B．4π C．8π D．20π 答案　C 解析　由題意得，此三棱錐外接球即為以△ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球，因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑r＝＝1，外接球球心到△ABC的外接圓圓心的距離d＝1，所以外接球的半徑R＝＝，所以三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝8π，故選C. 4．[2016武昌調(diào)研]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．18＋2π B．20＋π C．20＋ D．16＋π 答案　B 解析　由三視圖可知，這個(gè)幾何體是一個(gè)邊長為2的正方體割去了相對(duì)邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半徑為1、高為1的圓柱體，其表面積相當(dāng)于正方體五個(gè)面的面積與兩個(gè)圓柱的側(cè)面積的和，即該幾何體的表面積S＝45＋22π11＝20＋π，故選B. 5．[2016陜西質(zhì)檢]某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D．3 答案　A 解析　根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示．則該幾何體的體積是V幾何體＝V三棱柱＋V三棱錐＝211＋211＝.故應(yīng)選A. 6．已知邊長為1的等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C－AB－D的余弦值為，若A、B、C、D、E在同一球面上，則此球的體積為(　　) A．2π B.π C.π D.π 答案　D 解析　如圖，取AB的中點(diǎn)為M，連接CM，取DE的中點(diǎn)為N，連接MN，CN，可知∠CMN即為二面角C－AB－D的平面角，利用余弦定理可求CN＝＝CM，所以該幾何體為正四棱錐，半徑R＝，V＝πR3＝，故選D. 二、填空題 7．[2016廣西南寧檢測(cè)]設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1、S2，體積分別為V1、V2.若它們的側(cè)面積相等且＝，則的值是________． 答案　 解析　設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則有2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，又＝，∴＝，∴＝，則＝2＝. 8．[2016山西太原一模]已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D－ABC，當(dāng)三棱錐D－ABC的體積取最大值時(shí)，其外接球的體積為________． 答案　π 解析　當(dāng)平面DAC⊥平面ABC時(shí)，三棱錐D－ABC的體積取最大值．此時(shí)易知BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，取AB的中點(diǎn)O，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，故O為所求外接球的球心，故半徑r＝1，體積V＝πr3＝π. 9．[2016云南玉溪一模]表面積為60π的球面上有四點(diǎn)S、A、B、C，且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為，若平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐S－ABC體積的最大值為________． 答案　27 解析　設(shè)球O的半徑為R，則有4πR2＝60π，解得R＝.由于平面SAB⊥平面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影D在AB上，如圖，當(dāng)球心O在三棱錐S－ABC中，且D為AB的中點(diǎn)時(shí)，SD最大，三棱錐S－ABC的體積最大．設(shè)O′為等邊三角形ABC的中心，則OO′⊥平面ABC，即有OO′∥SD.由于OC＝，OO′＝，則CO′＝＝2，則DO′＝，則△ABC是邊長為6的等邊三角形，則△ABC的面積為63＝9.在直角梯形SDO′O中，作OM⊥SD于M，則OM＝DO′＝，DM＝OO′＝，∴SD＝DM＋MS＝＋ ＝3，所以三棱錐S－ABC體積的最大值為93＝27. 三、解答題 10．[2016達(dá)州一模]已知幾何體A－BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，已知幾何體A－BCED的體積為16. (1)求實(shí)數(shù)a的值； (2)將直角三角形△ABD繞斜邊AD旋轉(zhuǎn)一周，求該旋轉(zhuǎn)體的表面積． 解　(1)由該幾何體的三視圖知AC⊥平面BCED，且EC＝BC＝AC＝4，BD＝a，體積V＝4＝16，所以a＝2. (2)在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，所以AD＝6， 過點(diǎn)B作AD的垂線BH，垂足為點(diǎn)H，易得BH＝， 該旋轉(zhuǎn)體由兩個(gè)同底的圓錐構(gòu)成，圓錐底面半徑為BH＝. 所以圓錐底面周長為c＝2π＝，兩個(gè)圓錐的母線長分別為4和2，故該旋轉(zhuǎn)體的表面積為S＝(2＋4)＝. 11．[2016河北五校聯(lián)盟質(zhì)檢] 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝，M是棱PC的中點(diǎn)． (1)求證：PA∥平面MQB； (2)求三棱錐P－DQM的體積． 解　(1)證明：連接AC，交BQ于點(diǎn)N，連接MN，CQ， ∵BC∥AD且BC＝AD， 即BC∥AQ，BC＝AQ，∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)， ∴MN∥PA，又∵PA?平面MQB，MN?平面MQB，則PA∥平面MQB. (2)連接DM，則VP－DQM＝VM－PDQ， ∵平面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD， ∴CD⊥平面PAD， ∴點(diǎn)M到平面PAD的距離為CD， ∴VP－DQM＝VM－PDQ＝S△PDQCD＝QDPQCD＝. 12．[2016鷹潭二模]如圖1所示，直角梯形ABCD，∠ADC＝90，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，將△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直(如圖2)，在圖2所示的幾何體D－ABC中． (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)點(diǎn)F在棱CD上，且滿足AD∥平面BEF，求幾何體F－BCE的體積． 解　(1)證明：在圖1中，由題意知，AC＝BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC 因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，連接DE，則DE⊥AC， 又平面ADC⊥平面ABC， 且平面ADC∩平面ABC＝AC，DE?平面ACD，從而ED⊥平面ABC， 所以ED⊥BC 又AC⊥BC，AC∩ED＝E， 所以BC⊥平面ACD. (2)取DC的中點(diǎn)F，連接EF，BF， 因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，所以EF∥AD， 又EF?平面BEF，AD?平面BEF，所以AD∥平面BEF， 由(1)知，DE為三棱錐B－ACD的高， 因?yàn)槿忮FF－BCE的高h(yuǎn)＝DE＝＝，S△BCE＝S△ABC＝22＝2， 所以三棱錐F－BCE的體積為： VF－BCE＝S△BCEh＝2＝.