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第二章　相交線與平行線 1.結(jié)合具體情境,理解對頂角、互為余角、互為補角的概念,探索并掌握對頂角相等,理解垂線、垂線段等概念,掌握“過一點有且只有一條直線垂直于已知直線”的基本事實,會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線,了解垂線段最短的性質(zhì),了解點到直線距離的意義并會度量點到直線的距離. 2.理解平行線的概念,了解平行公理及其推論,會用三角尺和直尺過直線外一點畫這條直線的平行線;會識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角;探索并掌握平行線的性質(zhì)和判定方法,會度量兩條平行線之間的距離. 3.會用尺規(guī)作一個角等于已知角,能利用尺規(guī)作角的和、差、倍,并掌握作圖步驟和作圖語言的敘述及作角的綜合應用,能夠通過尺規(guī)設計并繪制簡單的圖案,同時在尺規(guī)作圖過程當中,積累數(shù)學活動經(jīng)驗,培養(yǎng)動手能力和邏輯分析能力. 4.能初步應用本章所學的知識對圖形進行簡單的說理、解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實際問題,體會研究幾何圖形的意義. 1.理解本章學過的關于描述圖形形狀和位置關系的語句,會用語句描述簡單的圖形,會根據(jù)描述的語句畫出圖形,能結(jié)合一些具體內(nèi)容進行說理,初步養(yǎng)成言之有據(jù)的習慣. 2.注意觀察實物、模型和圖形,通過觀察、歸納、對比來尋找圖形的位置關系和數(shù)量關系,從而發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì). 1.在觀察、操作、想象、說理、交流的過程中,發(fā)展空間觀念,初步形成積極參與數(shù)學活動、與他人合作交流的意識,激發(fā)學生對空間與圖形的興趣. 2.感受數(shù)學來源于生活又服務于生活,激發(fā)學習數(shù)學的樂趣. 3.通過一題多變,一題多解,多解歸一的練習,讓學生學會挖掘題目資源,用發(fā)展的眼光看問題,觀察運動中的異同,揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系. 根據(jù)《標準》的要求,圖形與幾何部分的整體教學目標確定為:在探索、發(fā)現(xiàn)、確認、理論驗證圖形實質(zhì)的過程中,借助幾何直觀,把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象,發(fā)展空間觀念和推理能力. 基于《標準》的要求和學生的實際,本章設計的總體思路是:在生動的問題情境和豐富的數(shù)學活動中,探索相交線、平行線的有關事實;以直觀認識為基礎進行簡單的說理,將幾何直觀與簡單推理相結(jié)合,發(fā)展空間觀念的推理能力;借助平行的有關結(jié)論解決一些簡單的實際問題. 為此,教科書共安排了4節(jié)內(nèi)容. 第1節(jié)“兩條直線的位置關系”,首先從反映生活中存在的兩條直線位置關系的圖片的觀察入手,提出兩條直線的兩種位置關系(相交與平行),接著介紹對頂角的概念及其性質(zhì),然后學習補角、余角,使學生在直觀情境中,認識相交線所成的角的概念及其性質(zhì),然后學習補角、余角,使學生在直觀情境中,認識相交線所成的角及其基本結(jié)論. 第2節(jié)“探索直線平行的條件”、第3節(jié)“平行線的性質(zhì)”,教科書通過設置觀察、操作等探究活動,按照“先探索直線平行的條件,再探索平行線的性質(zhì)”順序呈現(xiàn)、展開平行線的有關內(nèi)容.其中,在探索直線平行條件中自然引入“三線八角”,并試圖在探索性質(zhì)和解決問題過程中,加深對直線平行的理解,進一步發(fā)展學生的空間觀念. 第4節(jié)“用尺規(guī)作角”,在七年級上冊“用尺規(guī)作一條線段等于已知線段”的基礎上,學習“用尺規(guī)作一個角等于已知角”,用規(guī)范的尺規(guī)作圖語言加以敘述,給出了尺規(guī)作圖的范例. 【重點】 1.掌握平行線的條件及平行線的特征,并會運用它們說理. 2.進一步熟悉和掌握幾何語言,能用幾何語言說明圖形. 【難點】　能根據(jù)幾何圖形按照題目要求靈活的說理. 1.本章知識點在內(nèi)容呈現(xiàn)上充分體現(xiàn)認知過程,給學生提供探索與交流的時間和空間.強調(diào)學生通過“做數(shù)學”來學習數(shù)學是本章教科書的一個突出特點.在內(nèi)容處理上,加強了實驗幾何的成分,將實驗幾何與論證幾何有機結(jié)合.對于幾何中的結(jié)論,多是采用先讓學生通過畫圖、折紙、剪紙、度量或做實驗等活動,探索發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論,然后再對結(jié)論進行說明、解釋或論證,為由實驗幾何到論證幾何的過渡做好鋪墊,在教學時應充分注意這一點. 2.對于本章中的一些概念、性質(zhì)、公理和定理,教科書大多是通過“留空”、設問、設置“觀察”“思考”“討論”“探究”“歸納”以及“數(shù)學活動”等欄目,讓學生通過探索活動來發(fā)現(xiàn)結(jié)論,經(jīng)歷知識的“再發(fā)現(xiàn)”過程,在探究活動的過程中發(fā)展創(chuàng)新思維能力,改變學生的學習方式. 3.注意加強直觀性.密切聯(lián)系實際,體驗知識的形成和應用過程,以實際問題為出發(fā)點和歸宿是這一章教學中特別關注的問題.幾何圖形是從實際中抽象出來的,所以幾何圖形的定義、性質(zhì)都是比較抽象的,這一點對于學生來說有一定的困難.為了減少學生學習的困難,在學習這一章時,注意加強了直觀教學,使教學內(nèi)容盡量貼近學生的生活. 4.循序漸進地安排技能訓練.這一章的教學,除了要學習一些數(shù)學知識以外,還擔負著一些技能和能力的培養(yǎng)和訓練的任務.這既有幾何語言、圖形方面的,也有說理、推理方面的.這些內(nèi)容,都是進一步學習空間與圖形知識的基礎.教科書在這方面也是作了精心安排,在教學時應當注意按照由簡單到復雜、由模仿到獨立操作的順序,逐步提高要求. 5.有意識地培養(yǎng)學生有條理地思考和表達.對于推理能力的培養(yǎng),按照“說點兒理”“說理”“簡單推理”“用符號表示推理”等不同層次分階段逐步加深地安排.本章對于推理的要求還處在入門階段,只是結(jié)合知識的學習,識圖、畫圖、幾何語言的訓練從“說理”過渡到“簡單推理”.各個過程中,都沒有采用“已知…,求證…,證明…”的形式,而是用說理的方式展示推理的過程,但強調(diào)讓學生經(jīng)歷推理的過程,感受推理論證的作用,使說理、推理作為觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù).因此教學中要注意準確把握教學要求,對推理能力的培養(yǎng)要有一個循序漸進、逐步提高的過程,要鼓勵學生用自己的語言說明理由,在書寫格式上不作統(tǒng)一要求,可以用自然語言,可以結(jié)合圖形進行說明,可以用箭頭等形式表明自己的思路,也可以用數(shù)學符號語言表示說理、簡單推理的過程,等等.總之,要注意逐步提高、不要急于要求學生用數(shù)學符號語言書寫,不能操之過急. 1　兩條直線的位置關系 2課時 2　探索直線平行的條件 2課時 3　平行線的性質(zhì) 2課時 4　用尺規(guī)作角 1課時 回顧與思考 1課時 1　兩條直線的位置關系 1.通過觀察、操作、推理、交流等過程,進一步培養(yǎng)空間觀念、推理能力和表達能力. 2.在具體情境中,了解余角、補角、對頂角,掌握同角或等角的余(補)角相等,對頂角相等,并能解決一些實際問題. 1.引出對頂角的概念和“對頂角相等”的結(jié)論,并用結(jié)論來解決相關問題. 2.從豐富的生活情境中抽象出幾何模型,引入余角、補角及它們的性質(zhì). 1.在探索和訓練的過程中,培養(yǎng)學生細心嚴謹?shù)膶W習態(tài)度,積極進取的探索精神,團結(jié)協(xié)作的良好品質(zhì). 2.由實際問題引入,增強學生學習數(shù)學的興趣,體會數(shù)學來源于生活又服務于生活,通過對對頂角的辨別,培養(yǎng)學生的批判性思維. 【重點】 1.對頂角定義和對頂角相等. 2.余角、補角和它們的性質(zhì). 【難點】　同角或等角的余(補)角相等性質(zhì)的應用. 第課時 在具體情境中了解相交線、平行線、補角、余角、對頂角的定義,知道同角或等角的余角相等、同角或等角的補角相等、對頂角相等,并能解決一些實際問題. 經(jīng)歷操作、觀察、猜想、交流、推理等獲取信息的過程,進一步發(fā)展空間觀念、推理能力和有條理表達的能力. 激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,認識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量和圖形有關的問題,這些問題可以抽象成數(shù)學問題,用數(shù)學方法予以解決. 【重點】　了解對頂角、余角、補角的概念及應用有關性質(zhì)解決實際問題. 【難點】　應用對頂角、余角、補角的性質(zhì)解決實際問題. 【教師準備】　多媒體課件. 【學生準備】　預習教材P38~39. 導入一: 　　[過渡語]　在2013年3月17日,世界斯諾克球員巡回賽總決賽1/4決賽,中國選手丁俊暉以4比3絕殺馬克艾倫后晉級四強;他打出三桿過百,其中更有一桿147分,打出個人職業(yè)生涯中的第五桿滿分.不僅為個人取得了榮譽,更為我們國家爭取了榮譽.斯諾克臺球運動是一項技術(shù)性很高的運動,其中包含了很多數(shù)學知識.你想知道嗎?本節(jié)課我們就共同學習相關的知識. [設計意圖]　利用相關的臺球體育賽事新聞創(chuàng)設情境,吸引了學生的注意力,引發(fā)好奇心,感受數(shù)學知識在生活中的應用,培養(yǎng)學生的學習興趣,激發(fā)學生的求知欲,為新課的學習做好情感及心理的鋪墊.并適時對學生進行集體主義教育,從小樹立集體榮譽感. 導入二: 我們在生活中處處可見道路、房屋、山川、橋梁……在這些大自然的杰作和人類的創(chuàng)造物中,蘊含著大量的直線、射線、線段.下面我們就來欣賞一組生活中的圖片. [處理方式]　同學們觀察圖片,并與同伴交流觀察幾幅圖片后的發(fā)現(xiàn),得出圖中的線有些是平行的,有些是相交的.由其中一個小組作展示,其余同學作補充.教師引入課題:本節(jié)課我們就共同學習與兩條直線的位置關系相關的知識. [設計意圖]　通過學生熟悉的實物圖片讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識,明白本節(jié)課要學習的主要內(nèi)容. 　　[過渡語]　我們的周圍有好多線條,它們有的平行,有的相交,有的垂直,我們這節(jié)課將一起研究同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關系. 探究活動1　兩條直線的位置關系 思路一 同學們認真觀察這些來自生活的圖片,你有什么發(fā)現(xiàn)?(學生觀察,與同伴交流) [處理方式]　在教師的引導下先由學生理解“同一平面內(nèi)”的含義,再讓學生找出圖中同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關系.由學生進行補充說明. 【知識歸納】　在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關系有相交和平行兩種.若兩條直線只有一個公共點,我們稱這兩條直線為相交線.在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線.(教師強調(diào)關鍵詞:同一平面、只有一個公共點、不相交) [設計意圖]　從學生身邊熟悉的圖形出發(fā),讓學生在直觀有趣的問題情境中學到有價值的數(shù)學,體會數(shù)學與生活的聯(lián)系,引起學生學習的興趣.通過師生互動,生生互動,增加學生之間的凝聚力.在相互探討中激發(fā)學生學習的積極性,親身經(jīng)歷提煉有關數(shù)學信息的過程,總結(jié)出同一平面內(nèi)兩條直線的基本位置關系,提高課堂效率.為新課的學習做好鋪墊. 思路二 　　[過渡語]　我們在七年級上冊學習了直線和直線的表示方法,請同學們在紙上畫兩條直線,并用字母表示.(教師展示部分學生所畫的圖) 師:以上這些同學所畫直線的位置關系可以分為幾類? 生:可以分為兩類.分別為相交和平行. 師:但是我們所展示的圖形中有三種情況,如何解釋呢? 生:因為直線是無限延伸的,圖(1)中把直線a和b畫長點就變成了兩條相交的直線. 師:這位同學解釋得非常好!這就是我們這節(jié)課要研究的兩條直線的位置關系. 師:通過大家的畫圖我們知道了兩條直線的位置關系有相交和平行兩種.但是在說兩條直線的位置關系時,我們應強調(diào)什么問題呢? 生:必須在同一平面內(nèi). 師:很好!也就是說平面內(nèi)兩條直線的位置關系有兩種:平行和相交.那么什么是相交線和平行線呢? 生:若兩條直線只有一個公共點,我們稱這兩條直線為相交線. 生:在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線. 師:下面請同學們欣賞幾幅生活中的圖片,并指出圖片中的相交線和平行線.(課件展示圖片,找學生指出圖片中的相交線和平行線) 師:你還能舉出生活中有關相交線和平行線的例子嗎?(學生舉出例子有窗戶、黑板、學校的推拉門、教室的墻等等) [設計意圖]　讓學生觀察圖片,不但可以體會到幾何來源于生活,激發(fā)學生學習的興趣,還可以更進一步地理解平行線、相交線的概念. 探究活動2　對頂角的定義與性質(zhì) 　　[過渡語]　兩條直線相交,會形成怎樣的角呢? 【活動內(nèi)容】　觀察下面兩個圖形,思考以下幾個問題. 問題1 觀察上面圖中的∠1與∠2、∠3與∠4的位置有什么關系,大小有何關系,為什么? 問題2 剪子在剪東西的過程中,∠1和∠2還保持相等嗎?∠3和∠4呢?你有何結(jié)論? [處理方式]　學生觀察總結(jié)之后,教師予以補充確定.得到對頂角的概念和性質(zhì). 【歸納總結(jié)】　如圖①所示,直線AB和CD相交于點O,∠1和∠2有公共點O,它們的兩邊互為反向延長線,具有這種位置關系的兩個角叫對頂角.對頂角有如下性質(zhì):對頂角相等. 【即時練習】(多媒體顯示) 1.下列各圖中,∠1和∠2是對頂角的是 (　　) 〔答案〕　D 2.如圖所示,有一個破損的扇形零件,利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的iiiiiiiiiiiiiii度數(shù).你能說出所量角是多少度嗎?為什么? 〔答案〕　40,理由:對頂角相等. [設計意圖]　通過創(chuàng)設生動有趣的活動情境,為學生提供了觀察、操作、推理、交流等豐富的活動素材,使學生在自主學習的過程中,學會對頂角的概念及其性質(zhì).同時通過有效的數(shù)學探究活動,使學生經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)生、發(fā)展過程,概括歸納得到猜想和規(guī)律,并加以驗證,也積累了數(shù)學活動的經(jīng)驗.利用學習過的有關事實解決實際問題,體會數(shù)學在生活中的應用,進一步鞏固了對頂角的概念及其性質(zhì),激發(fā)學生的學習興趣. 探究活動3　補角、余角的定義及性質(zhì) 　　[過渡語]　通過對頂角的概念,我們知道兩條直線相交所成的四個角中,不相鄰的兩個角是對頂角,那么相鄰的兩個角叫什么角呢? 1.補角和余角的定義. 【問題】 1.在右圖中,∠1與∠3有什么數(shù)量關系? 2.請同學們按下面的要求畫圖. (1)畫出兩個角,使它們的和為90. (2)畫出兩個角,使它們的和為180. [處理方式]　針對問題2,學生思考后畫圖,教師巡視,選擇學生展示所畫圖形,并作出補充. 展示(1):和為90的兩個角. 展示(2):和為180的兩個角. 【歸納總結(jié)】 補角定義:如果兩個角的和是180,那么稱這兩個角互為補角. (補充)兩條直線相交所成的四個角中,有公共頂點且有一條公共邊的兩個角互為鄰補角. 余角定義:如果兩個角的和是90,那么稱這兩個角互為余角. [處理方式]　學生動手畫圖,并相互交流結(jié)果.展示學生問題2的答案,教師并作補充,選擇有代表性的圖形,使所畫兩角在位置關系上都不同,但是它們在數(shù)量上兩角的和都是90(①②③)或180(④⑤).特別是圖③,利用了對頂角畫出兩個45角,使它們的和等于90,讓學生理解互余與互補是指兩個角之間的數(shù)量關系,與它們的位置無關. [設計意圖]　通過動手畫圖,可以加深學生對概念的理解,在相互交流中,初步形成評價與反思的意識,在相互補充、相互學習中,體驗“互補、互余”僅僅表明了兩個角的度量關系,并沒有限制角的位置關系,在合作交流中,獲得成功的樂趣,鍛煉克服困難的意志,建立自信心,可以更好地掌握新知識.在集體展示時給部分同學展示的機會,可以極大地調(diào)動這部分學生的學習熱情. 【即時練習】(多媒體顯示) 下列說法中,正確的有　　　　.(填序號) ①已知∠A=40,則∠A的余角=50;②若∠1+∠2=90,則∠1和∠2互為余角;③若∠1+∠2+∠3=180,則∠1,∠2和∠3互為補角;④若∠A=4026,則∠A的補角=13934;⑤一個角的補角必為鈍角;⑥一個銳角的補角比這個角的余角大90. [設計意圖]　這是針對學生的易錯點而改編的一組判斷題,這種形式能引導學生逐步加深對余角、補角的概念及其性質(zhì)的理解和掌握. 2.補角和余角的性質(zhì). 　　[過渡語]　臺球中也蘊含著我們學習的大量知識,看下面的問題. 如圖(1)所示,打臺球時,選擇適當?shù)姆较?用白球擊打紅球,反彈后的紅球會直接入袋,此時∠1=∠2,將圖(1)抽象成圖(2),ON與DC交于點O,∠DON=∠CON=90,且∠1=∠2.在圖(2)中: (1)有哪些角互為補角?有哪些角互為余角? (2)∠3與∠4有什么關系?為什么? (3)∠AOC與∠BOD有什么關系?為什么? 【歸納總結(jié)】　同角或等角的余角相等,同角或等角的補角相等. [處理方式]　學生應有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、猜測、推理、驗證等活動過程.本環(huán)節(jié)的三個問題是環(huán)環(huán)緊扣、層層遞進提出來的,前一個問題為下一個問題做好鋪墊.在學習的過程中,時刻不能忘記學生是主體,一切教學活動都應當從學生已有的認知角度出發(fā),問題環(huán)節(jié)設計跨越性不能太強,讓學生在不斷的探索過程中得到不同程度的感悟,自己能夠主動地去探究問題的實質(zhì),體驗成功的喜悅;教師要充分發(fā)散學生的思維,鼓勵學生各抒己見,敢于質(zhì)疑;上課要滲透合情說理的方法,進一步培養(yǎng)學生的推理能力. [設計意圖]　先給出臺球桌面的實景圖,再給出由實景圖抽象出的幾何圖形,引導學生了解抽象的必要性和抽象的過程,并通過問題串,引導學生探索出“同角或等角的余角相等,同角或等角的補角相等”的結(jié)論. 【即時訓練】(多媒體顯示) 1.因為∠1+∠2=90,∠2+∠3=90,所以∠1=　　　　,理由是　　　　. 〔答案〕　∠3　同角的余角相等 2.因為∠1+∠2=180,∠2+∠3=180,所以∠1=　　　　,理由是　　　　. 〔答案〕　∠3　同角的補角相等 3.(1)畫一個直角三角形ABC,使∠C=90,如圖(1)所示,則∠A是∠B的　　　　. (2)在(1)的基礎上,作∠CDA=90,如圖(2)所示,則∠A的余角有哪幾個?為什么?請找出互補的角,并說明理由. 解:(1)余角 (2)因為∠A+∠ACD=90,∠A+∠B=90,所以∠A的余角為∠ACD,∠B.因為∠ADC+∠BDC=180,所以∠ADC和∠BDC互為補角. [設計意圖]　通過練習,即時鞏固所學知識,提高學生用數(shù)學解決實際問題的能力. [知識拓展]　 1.在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關系只有相交和平行兩種,相交時兩條直線只有一個公共點,平行指的是兩條直線平行,而不是線段或射線. 2.對頂角必須具備的兩個要素:①有公共頂點;②兩邊互為反向延長線. 3.互為余角、互為補角是指兩個角之間的關系,是成對出現(xiàn)的.兩角互為補角并不一定一個是鈍角一個是銳角,也有可能是兩個直角. (1)相交線的定義. (2)平行線的定義. (3)對頂角的定義及性質(zhì). (4)互為余角、互為補角的定義及性質(zhì). 1.如圖所示,直線AB與CD交于點O,∠EOD=90,回答下列問題: (1)∠AOE的余角是　　　　,補角是　　　　. (2)∠AOC的余角是　　　　,補角是　　　　,對頂角是　　　　. 答案:(1)∠BOD和∠AOC　∠BOE　(2)∠AOE　∠AOD和∠BOC　∠BOD 2.如圖所示,點O在直線AB上,∠DOC和∠BOE都等于90.請找出圖中互余的角、互補的角、相等的角. 解:互余的角:∠AOD和∠EOD,∠EOD和∠EOC,∠EOC和∠COB,∠AOD和∠BOC; 互補的角:∠AOD和∠BOD,∠AOE和∠BOE,∠AOC和∠BOC,∠AOC和∠DOE,∠EOC和∠BOD; 相等的角:∠AOD=∠EOC,∠EOD=∠BOC. 3.如圖所示,小穎想測量一堵拐角高墻在地面上所成的角∠AOB的度數(shù),人不能進入圍墻內(nèi),你能幫小穎想出簡單的測量方法嗎?請簡述你的方法,并說明理由. 解:延長BO到C,測量出∠AOC的度數(shù),在用180度減去∠AOC的度數(shù),即可得出∠AOB的度數(shù).理由:∠AOC和∠AOB互為補角.(答案不唯一) 4.如圖所示,點O在直線AB上,OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,請找出∠COD的余角和補角,并說明理由. 解:因為OC平分∠BOD,OE平分∠AOD, 所以∠BOC=∠COD,∠DOE=∠AOE, 所以∠EOC=∠EOD+∠DOC=90. 所以∠COD的余角是∠DOE,∠AOE,∠COD的補角是∠AOC. 第1課時 探究活動1　兩條直線的位置關系 探究活動2　對頂角的定義與性質(zhì) 探究活動3　補角、余角的定義及性質(zhì) 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第40頁習題2.1知識技能第1題. 【選做題】 教材第40頁習題2.1問題解決第3,4題. 二、課后作業(yè) 【基礎鞏固】 1.如果∠α+∠β=90,而∠β與∠γ互余,那么∠α與∠γ的關系為 (　　) A.互余 B.互補 C.相等 D.不能確定 2.如圖所示,∠1與∠2是對頂角的是 (　　) 3.如圖所示,直線AB,CD交于點O,射線OM平分∠AOC,若∠BOD=76,則∠BOM等于 (　　) A.38 B.104 C.142 D.144 【能力提升】 4.如圖所示,直線AB,CD相交于點O,且∠1=∠2. (1)指出∠1的對頂角; (2)若∠2和∠3的度數(shù)比是2∶5,求∠4和∠AOC的度數(shù). 5.已知一個角的補角加上10后等于這個角的余角的3倍,求這個角的余角. 【拓展探究】 6.如圖所示,點O為直線AB上一點,OC為一射線,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC. (1)若∠BOC=50,試探究∠FOE的度數(shù); (2)若∠BOC為任意角α(0<α<180),則∠FOE的度數(shù)是多少? 【答案與解析】 1.C(解析:因為∠β與∠γ互余,所以∠β+∠γ=90,又因為∠α+∠β=90,所以∠α=∠γ.故選C.) 2.C(解析:A.∠1與∠2有一條邊在同一條直線上,另一條邊不在同一條直線上,不是對頂角;B.∠1與∠2沒有公共頂點,不是對頂角;C.∠1與∠2的兩邊互為反向延長線,且有公共頂點,是對頂角;D.∠1與∠2有一條邊在同一條直線上,另一條邊不在同一條直線上,不是對頂角.故選C.) 3.C(解析:因為∠BOD=76,所以∠AOC=∠BOD=76,因為射線OM平分∠AOC,所以∠AOM=∠AOC=76=38,所以∠BOM=180- ∠AOM=180- 38=142.故選C.) 4.解:(1)∠1的對頂角是∠AOC.　(2)因為∠1=∠2,∠2和∠3的度數(shù)比是2∶5,所以∠1∶∠2∶∠3=2∶2∶5,設∠2=2x,則∠1=2x,∠3=5x,由題意得2x+2x+5x=180,解得x=20,所以∠1=40,∠2=40,∠3=100,根據(jù)對頂角相等,得∠4=∠BOC=∠2+∠3=140,∠AOC=∠1=40. 5.解:設這個角為x,則180- x+10=3(90- x),解得x=40,所以90- 40=50.所以這個角的余角為50. 6.解:(1)因為∠BOC=50,所以∠AOC=180- 50=130,因為OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠EOC=∠AOC=65,∠COF=∠COB=25,所以∠EOF=65+25=90.　(2)因為∠BOC=α,所以∠AOC=180- α,因為OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠EOC=∠AOC=90- α,∠COF=∠COB=α,所以∠EOF=90- α+α=90.所以∠EOF=90. 本課時注重創(chuàng)設“開放”的教學環(huán)境,引導學生從身邊熟悉的情境出發(fā),使學生經(jīng)歷從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)學模型的過程,體會知識的重要性和在生活中的廣泛應用.通過課堂開放,讓學生在直觀有趣的問題情境中學到有價值的數(shù)學,同時也為學生搭建了一個充分展示自我的舞臺,在活動中提高與他人合作交流的能力,激發(fā)了學生的潛能,使學生成為課堂的主人,提高了學生分析問題、解決問題的能力. 討論時,應該留給學生充分的獨立思考的時間,不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考,掩蓋了其他學生的疑問. 再教時應注重學生幾何語言的培養(yǎng),對課堂生成的問題,應予以重視,教師可以激勵學生課后繼續(xù)探究,將課內(nèi)學習延伸到課外,不斷開闊學生的視野. 隨堂練習(教材第39頁) 解:40,對頂角相等. 習題2.1(教材第40頁) 知識技能 1.解:因為∠1=38,所以∠3=38(對頂角相等),∠2=180- ∠1=180- 38=142.因為∠4=∠2,所以∠4=142. 數(shù)學理解 2.解:互為補角的兩個角不可以都是銳角,也不可以都是鈍角,可以都是直角. 問題解決 3.提示:∠1=32. 4.提示: 60或120. 聯(lián)系拓廣 5.提示:不是. 1.怎樣理解互為余角和互為補角? 余角和補角都是指兩個角之間的一種特殊的數(shù)量關系.即如果兩個角互為余角,那么它們的和為90;如果兩個角互為補角,那么它們的和為180. 強調(diào)兩個角中,一個角是另一個角的余角,或者兩個角互為余角.補角同樣如此. 另外,對余角和補角有兩個非常重要且常用的結(jié)論:同角或等角的余角相等,同角或等角的補角相等. 2.怎樣理解對頂角的特點和性質(zhì)? 特點:(1)有公共頂點; (2)一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線. 性質(zhì):對頂角相等. 3.互余與互補是指兩個角之間的數(shù)量關系,與它們的位置無關. 　如圖所示,將一個長方形紙片沿著直線EF折疊,點A落在點A處;再沿著GE折疊,頂點B落在EA上的B點處.∠FEA與∠GEB互余嗎?為什么? 〔解析〕　要判斷∠FEA與∠GEB是否互余,需要求出∠AEF+∠BEG是否為90,由已知可得∠AEF=∠AEF,∠BEG=∠BEG,所以不難得出結(jié)論. 解:由已知得∠AEF=∠AEF,∠BEG=∠BEG,而∠AEF+∠AEF+∠BEG+∠BEG=180, 所以∠AEF+∠BEG=90, 由互為余角定義可知∠AEF與∠BEG互為余角. 第課時 1.會用符號表示兩直線垂直,并能借助三角板、直尺和方格紙畫垂線. 2.通過折紙、動手操作等活動探究歸納垂直的有關性質(zhì),會進行簡單的應用. 3.初步嘗試進行簡單的推理. 經(jīng)歷從生活中提煉、動手操作、觀察交流、猜想驗證、簡單說理等活動,進一步發(fā)展學生的空間觀念、推理能力和有條理表達的能力.善于舉一反三,學會運用類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法理解新知識. 激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,體會“數(shù)學來源于生活反之又服務于生活”的道理,在解決實際問題的過程中了解數(shù)學的價值,通過“簡單說理”體會數(shù)學的抽象性、嚴謹性. 【重點】　會用工具按要求畫垂線,掌握垂線(段)的性質(zhì). 【難點】　從實際生活中感知垂線的性質(zhì)以及體會點到直線的距離的意義,并能用準確的數(shù)學語言加以描述. 【教師準備】　多媒體課件. 【學生準備】　三角尺、長方形紙片、方格紙. 導入: 問題1 同一平面上的兩條直線有哪些位置關系?你能找到生活中的一些實例嗎? 問題2 同一平面上的兩條直線相交,一條直線不動,另一條直線轉(zhuǎn)動時,觀察特殊的位置關系. [處理方式]　問題1由學生口答完成,在觀察教室周圍的基礎上找到一些相交的線段,并發(fā)現(xiàn)其中相交的特殊情況,即兩條直線相交,形成直角.在學生充分體會完成后,提煉出數(shù)學圖形.問題2教師引導學生轉(zhuǎn)動模型(釘在一起的兩張長方形紙條,用紙條模擬直線),由直觀形象的演示過渡到抽象的直線表示,從而導入新課的學習,教師同時板書課題. [設計意圖]　數(shù)學來源于生活,引導學生從身邊熟悉的圖形出發(fā),既復習了上一課時的知識點——兩條直線的位置關系,又體會到生活中大量存在特殊的相交線——互相垂直的直線,在比較中發(fā)現(xiàn)新知,加深了學生對垂直的感性認識,感受垂直“無處不在”;利用動態(tài)演示激發(fā)學生的學習熱情,調(diào)動學生的參與意識,為下一部分的探究實踐做好充分的準備和鋪墊. 探究活動1　垂直的定義 思路一 【活動內(nèi)容】 在我們的身邊隨處可見“直線”的形象,其中有一些直線之間還具有特殊的位置關系,請同學們觀察下面三幅圖片,你能找出其中相交的直線嗎?它們有什么特殊的位置關系?說說看. [處理方式]　引導學生發(fā)現(xiàn)其中相交的直線所成的夾角是90.如何驗證它們的夾角是90呢?直接在屏幕上演示用三角尺或量角器驗證直角的過程. (幾何畫板)演示自制教具,要求學生觀察當一根木條繞著另一根木條旋轉(zhuǎn)時的變化情況,并用數(shù)學語言進行描述:兩條直線相交成四個角,當一個角等于90時兩直線的特殊位置關系是什么. 【知識歸納】　兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線.它們的交點叫做垂足. 教師板書:如果用a,b表示兩條互相垂直的直線,可以記作a⊥b,垂足為O. 如果用AB,CD表示兩條互相垂直的直線,可以記作AB⊥CD,其中點O是垂足. 強調(diào):(1)在垂直的定義中要強調(diào)只有一個角是直角就可以了,不必說四個角都是直角,因為其他三個直角都可推出來. (2)互相垂直是對兩條直線而言的.因此,說到垂直,一定是指兩條直線的位置關系. (3)定義具有雙重性,既是垂直的判定定理,也是垂直的性質(zhì)定理,在具體應用時要注意書寫格式. 【即時訓練】 1.找出下圖中互相垂直的線段. 2.你能說說我們身邊存在的垂直線段嗎? [設計意圖]　從身邊熟悉的圖形出發(fā),在比較中發(fā)現(xiàn)新知,加深學生對垂直的直觀的感性認識,培養(yǎng)學生從感性到理性的認知方式.并通過練習即時鞏固新知. 思路二 　　[過渡語]　兩條直線之間的位置關系有兩種:相交和平行,觀察下面的圖片(多媒體出示),你能找出其中相交的線嗎?它們有什么特殊的位置關系?與同伴交流. [處理方式]　學生觀察圖片,進行小組討論,教師選取學生代表到屏幕前指出說明. [設計意圖]　數(shù)學來源于生活,引導學生從身邊熟悉的圖形出發(fā),既復習了上一課時的知識點——兩條直線的位置關系,又體會到生活中大量存在特殊的相交線——互相垂直的直線,在比較中發(fā)現(xiàn)新知,加深了學生對垂直的感性認識,感受垂直“無處不在”,使學生充分體驗到現(xiàn)實世界的美來源于數(shù)學的美,在美的享受中進入新知識的殿堂.通過親身經(jīng)歷提煉有關數(shù)學信息的過程,可以讓學生在直觀有趣的問題情境中抽象出有價值的數(shù)學模型,然后利用現(xiàn)代化教學手段加強直觀教學,激發(fā)學生的學習熱情,調(diào)動學生的參與意識. 【知識歸納】　兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么稱這兩條直線互相垂直,其中的一條直線叫做另一條直線的垂線.它們的交點叫做垂足.通常用“⊥”表示兩直線垂直. 師(邊畫圖邊板書):如圖(1)所示,直線AB與直線CD垂直,記作AB⊥CD;如圖(2)所示,直線l與直線m垂直,記作l⊥m.其中,點O是垂足. 師:你能在生活中找到互相垂直的線段嗎?(學生各抒己見,列舉生活中互相垂直的線段) 探究活動2　垂線的畫法 【活動內(nèi)容1】 1.你能利用三角尺畫出兩條互相垂直的直線嗎? 2.如何判斷你所畫的兩條直線互相垂直? 3.你能用一張長方形的紙折出兩條折痕,使它們垂直嗎? 4.你能分別過直線上一點和直線外一點分別畫已知直線的垂線嗎? [處理方式]　學生動手畫圖、操作、互相交流結(jié)果,教師巡視,幫助有困難的學生,并引導學生總結(jié)出利用三角尺過直線外一點畫直線的垂線的方法. 引導歸納出:利用三角尺過直線外一點畫直線的垂線的方法分為三步: (1)把三角尺的一條直角邊與已知直線重合. (2)讓三角尺的另一直角邊過已知點. (3)沿著已知點所在的直角邊畫出直線. [設計意圖]　學生分組討論、交流和合作,并動手操作畫圖,訓練學生以嚴謹?shù)目茖W態(tài)度研究問題、解決問題,并為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識提供了機會.一方面加強學生動手操作的能力,同時也培養(yǎng)了學生的合作精神;另一方面,讓學生經(jīng)歷知識形成的過程,更能深刻理解垂直、垂線的概念. 【活動內(nèi)容2】 如果只有直尺,你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎?說出你的畫法和理由.方格紙上每一條橫線和豎線都是互相垂直的,我們可以利用格線來畫出兩條互相垂直的直線.對于不與格線重合的直線怎么用直尺(不帶刻度)畫直線l的垂線?(如圖(1)所示) [處理方式]　師生合作:(1)把直線l在方格紙中的部分看成邊長為32的長方形的對角線(如圖(2)所示).(2)經(jīng)過A點在方格紙中尋找邊長為23的長方形(如圖(3)所示),過A點畫該長方形的對角線a(說明:將方格紙中小正方形的邊長看成1,長方形兩個相對頂點連成的線段叫做長方形的對角線),直線a就是所要畫的直線l的垂線. [設計意圖]　借助不同的工具、不同的方法來解決,讓學生的思維得到充分發(fā)散,引導學生透過現(xiàn)象看本質(zhì).課改理念之一就是改變學生被動的學習方式,讓學生積極主動地投身于“做數(shù)學”中.本環(huán)節(jié)的設置,將問題更加生動形象地呈現(xiàn)在學生面前,讓學生在經(jīng)歷思考、實踐、猜想、動手驗證等過程,不僅加深對“垂直”的理解,而且感受到“做數(shù)學”的樂趣,從而享受學習的過程. 探究活動3　垂線段和點與直線的距離 【活動內(nèi)容1】 如圖(1)所示,點A在直線l上,過點A畫直線l的垂線,你能畫出多少條?如圖(2)所示,如果點A在直線l外呢?動手畫一畫,與同伴交流. 結(jié)論:平面內(nèi),過一點有且只有一條直線與已知直線垂直. 【活動內(nèi)容2】 如圖(1)所示,點P是直線l外一點,PO⊥l,點O是垂足.點A,B,C在直線l上,比較線段PO,PA,PB,PC的長短,你發(fā)現(xiàn)了什么? 結(jié)論:直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短.如圖(2)所示,過點A作l的垂線,垂足為B,線段AB的長度叫做點A到直線l的距離. 【活動內(nèi)容3】 體育課上老師是怎樣測量跳遠成績的?能說出其中的道理嗎?與同伴交流. [處理方式]　在學生充分實踐的基礎上,讓學生深入思考垂直的性質(zhì),最好能讓學生自己得出有關垂直的兩條性質(zhì),這是本課時的難點,首先通過讓學生畫“點和直線的位置關系”,讓學生在直觀中抽象出“點在直線上和點在直線外”這一數(shù)學模型,這是分散難點的有效途徑,讓學生在看似“盲目”的探究中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),增加繼續(xù)探究的勇氣.問題的設置是由易到難、由直觀畫圖到理性思考的過程. 探究活動4　垂線的應用 　　[過渡語]　剛才我們研究了垂直的定義、垂線的畫法以及垂線的相關性質(zhì),你能利用它們解決下列問題嗎?老師相信你們一定是最棒的! 　如圖所示,直線AB與直線CD相交于點O,OE⊥AB,垂足為O,∠EOD=40,則∠BOC=　　　　. 〔解析〕　因為OE⊥AB,所以∠EOB=90,又因為∠EOD=40,所以∠DOB=90- 40=50,所以∠BOC=180- ∠DOB=180- 50=130.故填130. (補充)如圖所示,一輛汽車在直線形的公路上由A向B行駛,M,N分別是位于公路AB兩側(cè)的兩所學校. (1)汽車行駛時,會對公路兩旁的學校造成一定的噪音影響.當汽車行駛到何處時,分別對兩個學校影響最大?在圖中標出來. (2)當汽車由A向B行駛時,在哪一段上對兩個學校影響越來越大?在哪一段上對兩個學校影響越來越小? (3)在哪一段上對M學校影響逐漸減小而對N學校影響逐漸增大?(用文字表達) [處理方式]　學生在畫圖操作的過程中,教師來回巡視,及時發(fā)現(xiàn)學生的問題圖形,在解決問題時把這些錯圖或不規(guī)范的圖實物投影到黑板上,根據(jù)學生的課堂表現(xiàn)隨時調(diào)整獨立思考和合作交流的學習過程.例題讓學生獨立思考,獨立寫出推理過程,教師巡視,適時點撥.學生完成后及時點評,借助多媒體展示學生出現(xiàn)的問題并進行矯正.因為沒有系統(tǒng)的學習推理過程,只要學生解釋合理即可.教師給出規(guī)范的推理過程,讓學生體會數(shù)學符號語言的簡潔和魅力.再通過補充練習進行鞏固. [知識拓展]　 1.垂直是相交線的特殊情況,兩條線段垂直、兩條射線垂直都是指它們所在的直線互相垂直. 2.畫一條線段的垂線時,就是畫它所在的直線的垂線. 3.點到直線的距離是指垂線段的長度,若點在直線上,我們認為點到直線的距離為零. 1.垂直定義:兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么稱這兩條直線互相垂直.其中的一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點叫做垂足. 2.平面內(nèi),過一點有且只有一條直線與已知直線垂直. 3.直線外一點與已知直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短. 4.點到直線的距離:點到垂足之間垂線段的長度. 1.如圖所示,污水處理廠A要把處理過的水引入排水溝PQ,應如何鋪設,才能使排水管道最短,請你畫出鋪設管道的路線.并請你思考為什么這樣畫. 解:根據(jù)垂線段最短的性質(zhì),過A點作PQ的垂線,垂足為B,線段AB即為所求. 2.如圖所示,請利用三角板、直尺、鉛筆、剪刀等工具將四邊形紙板ABCD剪成一個長方形紙板. 解:分別過A,D作BC的垂線AE,DF,垂足分別為E,F,過D作DF的垂線DG,交AE于G,沿AE,DF,DG剪開,四邊形EFDG即為所求.(方法不唯一). 第2課時 探究活動1　垂直的定義 探究活動2　垂線的畫法 探究活動3　垂線段和點與直線的距離 探究活動4　垂線的應用 例題 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第43頁習題2.2知識技能第1,2題. 【選做題】 教材第43頁習題2.2問題解決第3題. 二、課后作業(yè) 【基礎鞏固】 1.(2015濟南中考)如圖所示,OA⊥OB,∠1=35,則∠2的度數(shù)是 (　　) A.35 B.45 C.55 D.70 2.如圖所示,∠BAC=90,AD⊥BC,則下列的結(jié)論中正確的有 (　　) ①點B到AC的垂線段是線段AB;②線段AC是點C到AB的垂線段;③線段AD是點D到BC的垂線段;④線段BD是點B到AD的垂線段. A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 3.如圖所示,點A,B,C在一條直線上,已知∠1=53,∠2=37,則CD與CE的位置關系是　　　　. 【能力提升】 4.老師在黑板上任意畫了兩條直線AB,CD相交于點O,還作了∠BOC的平分線OE和CD的垂線OF(如圖所示),量得∠BOD∶∠BOE=2∶3,小穎同學馬上就知道∠AOF等于　　　　. 5.如圖所示,OA⊥OB,OB平分∠MON,若∠AON=120,求∠AOM的度數(shù). 【拓展探究】 6.如圖所示,直線AB,CD相交于O點,OM⊥AB于O. (1)若∠1=∠2,求∠NOD; (2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC與∠MOD. 【答案與解析】 1.C(解析:因為OA⊥OB,所以∠AOB=90,即∠2+∠1=90,因為∠1=35,所以∠2=55.故選C.) 2.C(解析:①②④說法正確;③說法錯誤,線段AD是點A到BC的垂線段.故選C.) 3.互相垂直(解析:因為∠1=53,∠2=37,所以∠1+∠2=90,因為點A,B,C在一條直線上,所以∠1+∠DCE+∠2=180,所以∠DCE=90,所以CD與CE互相垂直.故填互相垂直.) 4.45(解析:因為OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠BOE,因為∠BOD∶∠BOE=2∶3,所以設∠BOD=2x,則∠BOE=3x,∠BOC=6x,因為∠COD=180,所以2x+6x=180,所以x=22.5,所以2x=45,所以∠DOB=45,所以∠AOC=∠BOD=45,因為OF⊥CD,所以∠AOF=90- ∠AOC=45.故填45.) 5.解:因為OA⊥OB,所以∠AOB=90,因為∠AON=120,所以∠BON=120- 90=30,因為OB平分∠MON,所以∠MOB=∠NOB=30,所以∠AOM=90- 30=60. 6.解:(1)因為OM⊥AB,所以∠1+∠AOC=90.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90,所以∠NOD=180- (∠2+∠AOC)=180- 90=90.　(2)由已知∠BOC=4∠1,即90+∠1=4∠1,可得∠1=30,所以∠AOC=90- 30=60,由對頂角相等得∠BOD=60,故∠MOD=90+∠BOD=150. 本課時用生活中的圖片引導學生獲得新知,讓學生感到“數(shù)學源于生活,又高于生活”.通過讓學生演示模型、動手畫圖等活動,使他們經(jīng)歷知識形成的過程,激發(fā)了學習興趣,并加深了對知識的理解. 部分學生在新知探究過程中存在困難,教師要加大關注力度. 讓學生動手畫垂線時,充分發(fā)揮學生的主觀能動性,先讓學生畫圖,引導學生總結(jié)垂線的性質(zhì),再讓學生舉出生活中類似的例子以便加深對知識的理解. 隨堂練習(教材第43頁) 1.解:如圖所示. 2.解:圖(1)中OA⊥OC,OB⊥OD.圖(2)中BC⊥AC,AC⊥EC,AC⊥BE,DC⊥BC,DC⊥EC,DC⊥BE,DA⊥BC,DA⊥CE,DA⊥BE. 習題2.2(教材第43頁) 知識技能 2.解:互相平行的街道:東直門外大街與建國門外大街;東二環(huán)與東三環(huán)、東四環(huán).互相垂直的街道:東二環(huán)與建國門外大街,東三環(huán)與建國門外大街,東四環(huán)與建國門外大街;東直門外大街與東二環(huán),東直門外大街與東三環(huán),東直門外大街與東四環(huán). 問題解決 3.解:如圖所示,理由如下:在D點處開溝.因為垂線段最短. 　如圖所示,直線AB與直線CD相交于點O,OE⊥AB,OF平分∠AOD,∠COE=28.求∠AOC和∠DOF的度數(shù). 〔解析〕　由已知可求出∠BOC=90+28=118,再根據(jù)補角定義可求出∠AOC的度數(shù);根據(jù)對頂角相等可求出∠AOD=∠BOC=118,再由OF平分∠AOD,可求出∠DOF的度數(shù). 解:因為OE⊥AB,所以∠BOE=90, 所以∠BOC=∠BOE+∠COE=90+28=118, 所以∠AOC=180- ∠BOC=180- 118=62. 因為∠AOD=∠BOC,所以∠AOD=118, 因為OF平分∠AOD, 所以∠DOF=∠AOD=118=59. 2　探索直線平行的條件 1.經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、交流等過程,進一步培養(yǎng)空間觀念、推理能力和表達能力. 2.通過探索直線平行的條件的過程,掌握直線平行的條件,并能解決一些問題. 3.會用三角尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線. 1.通過轉(zhuǎn)動木條,直觀認識同位角相等,兩直線平行,并用其解決問題. 2.通過問題情境進一步探索兩直線平行的條件,得到內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補,兩直線平行. 利用已有條件探索兩直線平行的條件,對學生進行事物間相互聯(lián)系、相互區(qū)別的辯證唯物主義教育. 【重點】　兩直線平行的條件. 【難點】　正確識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角. 第課時 1.能正確識別同位角,并能利用“同位角相等,兩直線平行”解決一些實際問題. 2.會用三角尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線. 1.經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、交流等活動,體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結(jié)論的過程,進一步發(fā)展空間觀念、推理能力和有條理表達的能力. 2.經(jīng)歷探索直線平行的條件的過程,掌握直線平行的條件,并能解決一些問題. 使學生在積極參與探索、交流的數(shù)學活動中,體驗數(shù)學與實際生活的密切聯(lián)系,激發(fā)學生的求知欲,感受與他人合作的重要性. 【重點】　掌握“同位角相等,兩直線平行”,并能用其解決一些問題. 【難點】　在較復雜的圖形中識別同位角. 【教師準備】　多媒體課件、直尺、三角尺、三根釘在一起的活動木條. 【學生準備】　每個同學準備一張不規(guī)則的白紙、三根釘在一起的活動木條(木條可用紙條代替).預習教材P44~45. 導入一: 【活動內(nèi)容1】 觀察“兩條直線的位置關系”的圖片. [處理方式]　學生觀察圖片,提煉出數(shù)學圖形,然后小組合作交流來說明兩條直線的位置關系. 【活動內(nèi)容2】 在日常生活中,人們經(jīng)常用到平行線.如圖,裝修工人正在向墻上釘木條.如果木條b與墻壁邊緣垂直,那么木條a與墻壁邊緣所成的角為多少度時,才能使木條a與木條b平行? 你知道其中的理由嗎? 如果木條b不與墻壁邊緣垂直呢? [處理方式]　小組之間交流討論,然后試著回答,最后教師糾正并提出問題“兩條直線平行需要什么條件”讓學生繼續(xù)思考. [設計意圖]　通過活動1讓學生感受兩條直線的位置關系,活動2能夠激發(fā)學生探索兩條直線平行所需條件的欲望,為接下來學生積極思考、努力探索打下了良好的基礎. 導入二: 　　[過渡語]　在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關系有兩種,分別是相交和平行. 師:如圖所示,我們已經(jīng)學習了兩條直線相交所構(gòu)成的四個角的關系,你能說出來嗎? 生:∠1與∠2是對頂角,且∠1=∠2;∠3與∠4也是對頂角,且∠3=∠4.∠1與∠3互為補角,即∠1+∠3=180;∠1與∠4,∠2與∠3,∠2與∠4都是互為補角. 【問題】　如圖所示,直線a與直線b的位置關系是什么?什么叫兩條直線平行? (直線a與直線b平行.在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線) [處理方式]　學生回答問題,教師強調(diào)關鍵詞“同一平面內(nèi)”“不相交”. [設計意圖]　回顧平面內(nèi)兩條直線的位置關系以及“兩線四角”的關系,為本節(jié)課的“三線八角”及兩直線平行條件的探索做好鋪墊,從已有的知識出發(fā),逐漸過渡到新知識的學習,梯度小,便于學生接受. 【活動內(nèi)容】 每幅圖中的直線a與直線b平行嗎?你能驗證嗎? 生:直線a與直線b不平行,圖(1)中直線a,b看起來越往下越窄,圖(2)中直線a,b中間略凹,圖(3)中直線a,b中間略凸,延長下去會相交,不平行. 生:我看直線a與直線b平行. 師:我們不能這樣爭論,你們能說出各自的理由嗎?你能想辦法驗證嗎? 生:用平行線的意義,把直線a與直線b延長后再觀察. 師:①去掉背景線后觀察;②將直線a與直線b延長,再觀察. 生:原來它們是平行的. 師:三組直線看上去似乎不平行,其實它們分別都是平行的,這是由于背景造成的視覺誤差,所以僅憑觀察來判斷直線的平行關系是不夠的,“眼見不一定為實”,用平行線的定義去驗證比較麻煩,也不一定可靠,因此我們需要進一步尋求證據(jù)和判別方法,本節(jié)課老師將和同學們一起來探索直線平行的條件. [設計意圖]　從學生的直觀感覺,引起視覺與知識的沖突,對“眼見為實”產(chǎn)生懷疑,既激發(fā)學生進一步探求知識的興趣和熱情,又為理性分析和解決問題埋下伏筆;遵循學生的認知規(guī)律,自然引入知識,學生很容易沿著探索知識的過程進行探索和發(fā)現(xiàn). 探究活動1　探索兩直線平行的條件 思路一 (1)猜想. 【活動內(nèi)容】　如圖所示,讓木條b與黑板邊緣垂直,怎樣再粘一根木條a,使木條a與木條b平行? [處理方式]　教師在黑板上粘貼一根木條b,使之與黑板邊緣垂直,讓學生到黑板上再粘貼一根木條,使木條a與木條b平行,觀察木條a與黑板邊緣的關系. 追問:如果木條b不與黑板邊緣垂直,怎樣使木條a與木條b平行呢? [設計意圖]　在黑板粘木條的意圖就是調(diào)動學生注意力,激發(fā)起好奇心和求知欲.要求學生現(xiàn)場操作,就是把實際問題直接搬到教室,達到了事半功倍的效果,學生也很自然地進入學習狀態(tài).設計木條與邊緣垂直這一特殊情況,讓學生通過生活經(jīng)驗來解決;教師緊接著提出:如果木條b不與黑板邊緣垂直呢?實現(xiàn)了由特殊到一般的過渡,點擊重點,自然轉(zhuǎn)入通過探索角的關系研究直線平行,將學生的思維引向深入. (2)實驗. 【活動內(nèi)容】 學生拿出課前制作的學具.三根木條相交成∠1,∠2,固定木條b,c,轉(zhuǎn)動木條a. 教師課件出示探索問題: 1.在木條a的轉(zhuǎn)動過程中,觀察∠2的變化以及它與∠1的大小關系,你發(fā)現(xiàn)木條a與木條b的位置關系發(fā)生了什么變化? 2.木條a何時與木條b平行? [處理方式]　學生通過動手操作,進行組內(nèi)討論,然后讓學生展示自己的發(fā)現(xiàn):∠1與∠2的大小關系為三種:∠2小于∠1;∠2等于∠1;∠2大于∠1.在這三種情況下,木條a與木條b的位置關系為:∠2<∠1時,a與b相交;∠2=∠1時,a與b平行;∠2>∠1時,a與b相交. 【追問】　如果改變∠1的大小,按照