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矩形 一 選擇題： 1.下列命題是假命題的是(　　) A.矩形的對角線相等 B.矩形的對邊相等 C.矩形的對角線互相平分 D.矩形的對角線互相垂直 2.下列說法： ①矩形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸； ②兩條對角線相等的四邊形是矩形； ③有兩個角相等的平行四邊形是矩形； ④兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形； ⑤兩條對角線互相垂直平分的四邊形是矩形．其中，正確的有(　 　) A.1個 B．2個 C.3個D．4個 3.如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB=65，則∠AED′等于（　　） A.50 B.55 C.60 D.65 4.如圖，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周長為16，則AE的長是（　 ?。? A.3 B.4 C.5 D.7 5.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,對角線AC垂直平分線分別交AD、AC于點E、O,連接CE，則CE長為(　　) A.3 B.3.5 C.2.5 D.2.8 6.如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1＋∠2的度數(shù)是(　 　) A.30 B.60 C.90 D．120 7.如圖是一張矩形紙片ABCD，AD=10 cm,若將紙片沿DE折疊,使DC落在DA上,點C的對應點為點F,若BE=6cm，則CD=(　　 ) A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 　　　 8.如圖，在Rt△ABC中,∠A=90,P為邊BC上一動點,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是(　 　) A.一直增大 B.一直減小 C.先減小后增大 D.先增大后減少 　　　 9.如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，將矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形A′BC′D′.若邊A′B交線段CD于H，且BH=DH，則DH的值是(　 　) A. B．8－2 C. D．6 10.如圖，矩形ABCD的對角線AC與數(shù)軸重合(點C在正半軸上)，AB=5，BC=12，點A表示的數(shù)是-1，則對角線AC、BD的交點表示的數(shù)是(　 　) A.5.5 B.5 C.6 D.6.5 11.如圖在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點，EF=3，BC=8，則△EFM的周長是（ ） A.21 B.15 C.13 D.11 12.如圖,已知矩形ABCD中,R、P分別是DC、BC上的點,E、F分別是AP、RP的中點,當P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結論成立的是（　?。? A.線段EF的長逐漸增大 B.線段EF的長逐漸減小 C.線段EF的長不改變 D.線段EF的長不能確定 13.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，動點P從點A出發(fā)，沿路線A→B→C做勻速運動，那么△CDP的面積S與點P運動的路程x之間的函數(shù)圖象大致是（ 　?。? A. B. C. D. 14.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1、S2的大小關系是（　?。? A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S2 15.如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60，則矩形ABCD的面積是（　 ?。? A.12 B.24 C.12 D.16 16.如圖，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15，則下列結論： △ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135；④S△AOE=S△COE，其中正確的結論的個數(shù)有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 17.如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點（且點P不與點B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．則EF的最小值為（　 ?。? A.4 B.4.8 C.5.2 D.6 18.如圖4，正方形ABCD中,點E在BC的延長線上，AE平分∠DAC，則下列結論： （1）∠E=22.50.(2)∠AFC=112.50.(3)∠ACE=1350.（4）AC=CE. (5) AD∶CE=1:. 其中正確的有（ ） A.5個 B.4個 C.3個 D.2個 19.如圖,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動點（且點P不與點B、C重合）,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，M為EF中點.設AM的長為x，則x的取值范圍是（ 　　） A.4≥x＞2.4 B.4≥x≥2.4 C.4＞x＞2.4 D.4＞x≥2.4 　 20.如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，順次連結各邊中點得到四邊形A1B1C1D1，再順次連結四邊形A1B1C1D1各邊中點得到四邊形A2B2C2D2…，依此類推，則四邊形A7B7C7D7的周長為（ 　?。? 　 A.14 B.10 C.5 D.2.5 二 填空題: 21.如圖,矩形ABCD中,點E在線段AD延長線上,AD=DE,連接BE與DC相交于點F,連接AF,請從圖中找出一個等腰三角形. 22.如圖，在矩形ABCD中，AB=5cm，且∠BOC=120，則AC 的長為____________; 23.如圖矩形ABCD中,AB=8㎝,CB=4㎝,E是DC的中點,BF=BC，則四邊形DBFE的面積為______________? 24.如圖，已知矩形ABCD，P、R分別是BC和DC上的點，E、F分別是PA、PR的中點.如果DR=3，AD=4，則EF的長為________. 25.如圖,O為矩形ABCD的中心,將直角三角板的直角頂點與O點重合,轉(zhuǎn)動三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交，交點分別為M、N．如果AB=4,AD=6,OM=x,ON=y，則y與x的函數(shù)關系式是　　　　　?。? 26.如圖，矩形ABCD 的邊長AB=8，AD=4，若將△DCB沿BD所在直線翻折，點C落在點F處，DF與AB交于點E. 則cos∠ADE= ． 27.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,CE∥BD,DE∥AC，若AC=4cm,則四邊形CODE的周長為 28.如圖，將矩形紙片ABC（D）折疊,使點（D）與點B重合,點C落在點處,折痕為EF，若，那么的度數(shù)為 度. 29.如圖,矩形ABCD中,AD=4,∠CAB=30o，點P是線段AC上的動點,點Q是線段CD上的動點,則AQ+QP的最小值是　 　 30.小明嘗試著將矩形紙片ABCD(如圖①,AD>CD)沿過A點的直線折疊,使得B點落在AD邊上的點F處，折痕為AE(如圖②)；再沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處,E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG(如圖③).如果第二次折疊后，M點正好在∠NDG的平分線上，那么矩形ABCD長與寬的比值為 ． 三 簡答題: 31.如圖，在矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F.求證：DF=DC. 32.如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BC相交于點N，連接BM，DN． （1）求證：四邊形BMDN是菱形； （2）若AB=4，AD=8，求MD的長． 33.長為1，寬為a的矩形紙片（＜a＜1），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止． （I）第二次操作時，剪下的正方形的邊長為　　 ； （Ⅱ）當n=3時，a的值為　　 ．（用含a的式子表示） 34.如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC.設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F. (1)求證：OE=OF； (2)若CE=12，CF=5，求OC的長； (3)當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由． 35.如圖，在矩形OABC中，點A、C的坐標分別為（10，0），（0，2），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交線段OA于點E． （1）矩形OABC的周長是 ； （2）連結OD，當OD=DE時，求的值； （3）若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC重疊部分的面積是否會隨著E點位置的變化而變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由. 36.如圖，長方形ABCD，AB=9，AD=4.E為CD邊上一點，CE=6. （1）求AE的長． （2）點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著邊BA向終點A運動，連接PE．設點P運動的時間為t秒，則當t為何值時，△PAE為等腰三角形？ 37.長方形ABCD中，AD=10，AB=8，將長方形ABCD折疊，折痕為EF （1）當A′與B重合時（如圖1），EF= ； （2）當直線EF過點D時（如圖2），點A的對應點A′落在線段BC上，求線段EF的長； （3）如圖3，點A的對應點A′落在線段BC上，E點在線段AB上，同時F點也在線段AD上，則A′在BC上的運動距離是 ； 38.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E． （1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明； （2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說明理由． 39.如圖1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E、F分別是BC、CD邊上的點，且AE⊥EF，BE=2， （1）求證：AE=EF； （2）延長EF交矩形∠BCD的外角平分線CP于點P（圖2），試求AE與EP的數(shù)量關系； 40.如圖,把寬為2cm的紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B、C兩點恰好落在AD邊的P點處，若△PFH的周長為10cm，求長方形ABCD的面積． 參考答案 1、D　 2、A　 3、A 4、A 5、C　 6、C　 7、A 8、C 9、C 10、A 11、D 12、C13、A 14、B 15、D 16、C 17、B 18、A. 19、D； 20、D 21、△AFB或△AFE， 22、10cm； 23、10㎝2； 24、2.5； 25、 26、 27、8 cm 28、12529、 30、 31、證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝90. ∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB. 又∵AD＝AE，∴△ADF≌△EAB(AAS)．∴DF＝AB.又∵AB＝DC，∴DF＝DC.　 32、【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A=90，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO， ∵在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON， ∵OB=OD，∴四邊形BMDN是平行四邊形，∵MN⊥BD，∴平行四邊形BMDN是菱形． （2）解：∵四邊形BMDN是菱形，∴MB=MD，設MD長為x，則MB=DM=x， 在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，所以MD長為5． 33、【解答】解：由題意，可知當＜a＜1時，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1﹣a，所以第二次操作時正方形的邊長為1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1﹣a，2a﹣1． 故答案為：1﹣a；此時，分兩種情況： ①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作時正方形的邊長為2a﹣1． ∵經(jīng)過第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的寬等于1﹣a， 即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=； ②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作時正方形的邊長為1﹣a． 則1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=．故答案為：或． 34、(1)證明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC. 同理：OC＝OE.∴OE＝OF. （2）由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC. 而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90. ∴EF＝＝＝13.∴OC＝EF＝. （3）連接AE、AF.當點O移動到AC中點時，四邊形AECF為矩形． 理由如下：由(1)知OE＝OF，當點O移動到AC中點時，有OA＝OC，∴四邊形AECF為平行四邊形． 又∵∠ECF＝90，∴四邊形AECF為矩形． 35、（1）24 （2）∵OC=2 OA=10 ∴D(2-4，2)，E(2，0)∵OD=DE ∴OE=2CD2=2(2-4) ∴=4 （3）設O1A1與CB相交于點M，OA與C1B1相交于點N， 則矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積. 由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形 根據(jù)軸對稱知，∠MED=∠NED∵DM∥NE ∴∠MDE=∠NED ∴∠MED=∠MDE ∴MD=ME ∴平行四邊形DNEM為菱形 過點D作DH⊥OA，垂足為H， ∴DH=2 設菱形DNEM 的邊長為,∴HN=HE-NE=OE-OH-NE=4-， 在RT△DHN中， 解得 ∴菱形DNEM的面積=NEDH=5 ∴矩形O1A1B1C1與矩形OABC重疊部分的面積不會隨著點E位置的變化而變化，面積始終為5. 36、（1）在長方形ABCD中，∠D＝90，CD＝AB＝9 在Rt△ADE中，DE＝9－6＝3，AD＝4，∴AE＝5 （2）若△PAE為等腰三角形，則有三種可能. 當EP＝EA時，AP＝6，∴t＝BP＝3 當AP＝AE時，則9－t＝5，∴t＝4 當PE＝PA時，則(6－t)2＋42＝(9－t)2，∴t＝綜上所述，符合要求的t值為3或4或. 37、1）EF=10 （2）5 （3）4 38、【解答】解：（1）△AED≌△CEB′ 證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′； （2）由折疊的性質(zhì)可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8﹣3=5． 在△ADE中，AD===4，延長HP交AB于M，則PM⊥AB，∴PG=PM． ∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4． 39、（1）∵AE⊥EF，∴∠BEA+∠CEF=90?！咚倪呅蜛BCD為矩形，∴∠B=∠C=90。 ∴∠BAE +∠BEA =90?！唷螧A E=∠CEF。又∵AB=DC=6，BC=8，BE=2，∴AB=EC=6。 ∴△ABE≌△ECF（ASA）?！郃E=EF。 （2）如圖，在AB上取一點M，使BM=BE，連接ME。 ∴AM=CE?！唷螧ME=45。∴∠AME=135。 ∵CP是外角平分線，∴∠DCP=45?！唷螮CP=135?！唷螦ME=∠ECP。 由（1）知∠MA E=∠CEP，∴△AME∽△ECP?！唷? ∵AM=2，EC=3，∴?！郃E與EP的數(shù)量關系是。 40、解：∵把寬為2cm的紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B、C兩點恰好落在AD邊的P點處， ∴BF=PF，PH=CH，∵△PFH的周長為10cm，∴PF+FH+HC=BC=10cm，∴長方形ABCD的面積為：210=20（cm 2），