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菱形 一 選擇題： 1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是（　?。? A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直 2.如圖為菱形ABCD與△ABE的重疊情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，則DE的長度為何？（　?。? A．8 B．9 C．11 D．12 3.如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O作EF⊥AC交BC于點E，交AD于點F，連接AE，CF.則四邊形AECF是(　 　) A．梯形 B．長方形 C．菱形 D．正方形 4.如圖，四邊形ABCD的四邊相等，且面積為120cm2，對角線AC=24cm，則四邊形ABCD的周長為（　 ?。? A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm 5.如圖，將一個長為10cm，寬為8cm的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點的連線（虛線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（　　） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2 6.如圖，菱形ABCD的周長為24cm，對角線AC、BD相交于O點，E是AD的中點，連接OE，則線段OE的長等于（　　） A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm 7.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AB=2，∠ABC=60，則BD的長為（　?。? A．2 B．3 C． D．2 8.如圖所示，在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E ,F 為垂足,AE=ED,則∠EBF 等于（ ） A．75 B．60 C．50 D．45 9.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，則DH等于（　　 ） A． B． C．5 D．4 10.如圖，菱形OABC的頂點O是原點，頂點B在y軸上，菱形的兩條對角線的長分別是6和4，反比例函數y=（x＜0）的圖象經過點C，則k的值為（　　） A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12 　 11.如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線EF交對角線AC于點F，垂足為點E，連接DF，且∠CDF=24，則∠DAB等于( ) A．100= B．104 C．105 D．110 12.某校的校園內有一個由兩個相同的正六邊形（邊長為2.5m）圍成的花壇，如圖中的陰影部分所示，校方先要將這個花壇在原有的基礎上擴建成一個菱形區(qū)域如圖所示，并在新擴充的部分種上草坪，則擴建后菱形區(qū)域的周長為（　?。? A．20m B．25m C．30m D．35m 13.如圖，菱形ABCD中，∠B=60，AB=2cm，E、F分別是BC、CD的中點，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長為（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm 14.如圖，菱形ABCD的對角線相交于坐標原點，點A的坐標為（a，2），點B的坐標為（﹣1，﹣），點C的坐標為（2，c），那么a，c的值分別是（　　） A．a=﹣1，c=﹣ B．a=﹣2，c=﹣2 C．a=1，c= D．a=2，c=2 15.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC=8，BD=6，過點O作OH⊥AB，垂足為H，則點O到邊AB的距離OH等于（　?。? A．2 B．1.8 C.3 D． 16.如圖，以正方形ABCD的對角線AC為一邊作菱形AEFC，則∠FAB=（　?。? A．30 B．45 C．22.5 D．135 17.如圖，已知四邊形OABC是菱形，CD⊥x軸，垂足為D，函數的圖象經過點C，且與AB交于點E．若OD=2，則△OCE的面積為（　 ?。? A．2 B．4 C．；D．； 18.已知：如圖在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB、AC相交于D點，雙曲線y=（x＞0）經過D點，交BC的延長線于E點，且OB?AC=160，則點E的坐標為（　?。? A．（5，8） B．（5，10） C．（4，8） D．（3，10） 19.如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（　?。? A．2 B．3 C．5 D．6 20.如圖，在菱形ABCD中，∠A=60，E、F分別是AB，AD的中點，DE、BF相交于點G，連接BD，CG．有下列結論：①∠BGD=120；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正確的結論有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 二 填空題: 21.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，請你添加一個適當的條件　　 使其成為菱形（只填一個即可）． 22.如圖，在菱形ABCD中，AB=4，線段AD的垂直平分線交AC于點N，△CND的周長是10，則AC的長為　?。? 23.如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點E，則AE的長是　 　． 24.如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=4，BC=3，D為斜邊AB上一點，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當AD= 時，平行四邊形CDEB為菱形。 25.在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，點P是AC上的一個動點，過點P作EF垂直于AC交AD于點E，交AB于點F，將△AEF沿EF折疊，使點A落在點A處，當△ACD是直角三角形時，AP的長為 . 26、如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點，∠EAF=60，連接EF，則△AEF的面積最小值是　 　． 27.如圖，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60，把菱形ABCD繞點A順時針旋轉30得到菱形AB′C′D′，其中點C的運動路徑為，則圖中陰影部分的面積為　　 ． 28.如圖，在菱形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為（8,2），點D的坐標為（0，2），則點C坐標為　　　?。? 29.如圖，將兩張長為9，寬為3的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的面積有最小值9，那么菱形面積的最大值是　　 ． 30.如圖，在菱形ABCD中，邊長為1，∠A=60，順次連結菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A1B1C1D1；順次連結四邊形A1B1C1D1各邊中點，可得四邊形A2B2C2D2；順次連結四邊形A2B2C2D2各邊中點，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去…，則四邊形A2016B2016C2016D2016的面積是　　　　　?。? 三 簡答題: 31.如圖,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于點C,BD平分∠ABF,且交AE于點D,AC與BD相交于點O,連接CD. （1）求∠AOD的度數； （2）求證：四邊形ABCD是菱形． 32.如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=3，在BC邊上取一點E，使BE=4，連結AE，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCF的位置，拼成四邊形AEFD． （1）求證:四邊形AEFD是菱形； （2）求四邊形AEFD的兩條對角線的長. 33.如圖，在△ABC中，∠ACB=90，D，E分別為AC，AB的中點，BF∥CE交DE的延長線于點F． （1）求證：四邊形ECBF是平行四邊形； （2）當∠A=30時，求證：四邊形ECBF是菱形． 34.如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BC相交于點N，連接BM，DN． （1）求證：四邊形BMDN是菱形； （2）若AB=4，AD=8，求MD的長． 35.如圖，在矩形ABCD中，點E為CD上一點，將△BCE沿BE翻折后點C恰好落在AD邊上的點F處，將線段EF繞點F旋轉，使點E落在BE上的點G處，連接CG. (1)證明：四邊形CEFG是菱形； (2)若AB=8，BC=10，求四邊形CEFG的面積； (3)試探究當線段AB與BC滿足什么數量關系時，BG=CG，請寫出你的探究過程． 36.如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點． （1）求證：四邊形EGFH是菱形； （2）若AB=1，則當∠ABC＋∠DCB=90時，求四邊形EGFH的面積． 37.如圖，已知?ABCD的對角線AC、BD交于O，且∠1=∠2． （1）求證：?ABCD是菱形； （2）F為AD上一點，連結BF交AC于E，且AE=AF，求證：AO=（AF+AB）． 38.如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC.設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F. (1)求證：OE=OF； (2)若CE=12，CF=5，求OC的長； (3)當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由． 39.如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F． （1）探究：線段OE與OF的數量關系并加以證明； （2）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明；若不是，則說明理由； （3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？ 40.如圖，菱形ABCD中，∠A=60，連接BD，∠PBQ=60，將∠PBQ繞點B任意旋轉，交邊AD，CD分別于點E、F（不與菱形的頂點重合），設菱形ABCD的邊長為a（a為常數） （1）△ABD和△CBD都是 　 三角形； （2）判斷△BEF的形狀，并說明理由； （3）在運動過程中，四邊形BEDF的面積是否變化，若不變，求出其面積的值（用a表示）；若變化，請說明理由． （4）若a=3，設△DEF的周長為m，直接寫出m的取值范圍． 參考答案 1、D．2、D 3、C　 4、A．5、A．6、A．7、D．8、B 9、A．10、B．11、B 12、C．13、B．14、B． 15、D．16、C．17、C；18、C 19、C． 20、C． 21、　AC⊥BD或∠AOB=90或AB=BC　 22、6?。?3、　cm　．24、 25、2或26、　3?。? 27、 28、?。?，4）　． 29、　15　． 30、　?。? 31、【解答】解：（1）∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC， ∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，=180， ∴∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=180=90，∴∠AOD=90； （2）證明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA， ∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC， ∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC， ∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=AB，∴四邊形ABCD是菱形． 32、（1）證明：∵△ABE平移至△DCF的位置.∴△ABE≌△DCF.∴BE=CF ∵四邊形ABCD為矩形.∴AD∥BC，AD=BC，∠B=90.∴EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD. ∴四邊形AEFD為平行四邊形.在Rt△ABE中，根據勾股定理得：AE=-- ∵AD=5, ∴AD=AE.∴四邊形AEFD為菱形. （2）連結DE、AF. 求出DE=. 求出AF= 33、【解答】證明：（1）∵D，E分別為邊AC，AB的中點，∴DE∥BC，即EF∥BC． 又∵BF∥CE，∴四邊形ECBF是平行四邊形． （2）∵∠ACB=90，∠A=30，E為AB的中點，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE． 又由（1）知，四邊形ECBF是平行四邊形，∴四邊形ECBF是菱形． 34、【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A=90，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO， ∵在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON， ∵OB=OD，∴四邊形BMDN是平行四邊形，∵MN⊥BD，∴平行四邊形BMDN是菱形． （2）解：∵四邊形BMDN是菱形，∴MB=MD，設MD長為x，則MB=DM=x， 在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，所以MD長為5． 35、(1)證明：根據翻折的方法可得EF＝EC，∠FEG＝∠CEG. 又∵GE＝GE，∴△EFG≌△ECG.∴FG＝GC. ∵線段FG是由EF繞F旋轉得到的，∴EF＝FG.∴EF＝EC＝FG＝GC.∴四邊形FGCE是菱形． （2）連接FC交GE于O點．根據折疊可得BF＝BC＝10. ∵AB＝8，∴在Rt△ABF中，根據勾股定理得AF＝＝6.∴FD＝AD－AF＝10－6＝4. 設EC＝x，則DE＝8－x，EF＝x，在Rt△FDE中，F(xiàn)D2＋DE2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2. 解得x＝5.即CE＝5.S菱形CEFG＝CEFD＝54＝20. （3）當＝時，BG＝CG，理由：由折疊可得BF＝BC，∠FBE＝∠CBE， ∵在Rt△ABF中，＝，∴BF＝2AF.∴∠ABF＝30. 又∵∠ABC＝90，∴∠FBE＝∠CBE＝30，EC＝BE.∵∠BCE＝90，∴∠BEC＝60. 又∵GC＝CE，∴△GCE為等邊三角形．∴GE＝CG＝CE＝BE.∴G為BE的中點．∴CG＝BG＝BE. 36、（1）證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點， ∴FG＝CD，HE＝CD，F(xiàn)H＝AB，GE＝AB． ∵AB＝CD，∴FG＝FH＝HE＝EG．∴四邊形EGFH是菱形． （2）解：∵四邊形ABCD中，G、F、H分別是BD、BC、AC的中點，∴GF∥DC，HF∥AB． ∴∠GFB＝∠DCB，∠HFC＝∠ABC．∴∠HFC＋∠GFB＝∠ABC＋∠DCB＝90． ∴∠GFH＝90．∴菱形EGFH是正方形． ∵AB＝1，∴EG＝AB＝．∴正方形EGFH的面積＝()2＝． 37、解答：解：（1）證明：∵?ABCD中，AD∥BC，∴∠2=∠ACB， 又∵∠1=∠2，∴∠1=∠ACB∴AB=BC，∴?ABCD是菱形； （2）∵?ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE=∠EBC， 又∵AF=AE，∴∠AFE=∠AEF=∠BEC，∴∠EBC=∠BEC，∴BC=CE， ∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA，∴OA=（AF+BC），又∵AB=BC，∴OA=（AF+AB）． 38、(1)證明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC. 同理：OC＝OE.∴OE＝OF. （2）由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC. 而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90. ∴EF＝13.∴OC＝EF＝. （3）連接AE、AF.當點O移動到AC中點時，四邊形AECF為矩形．理由如下：由(1)知OE＝OF， 當點O移動到AC中點時，有OA＝OC，∴四邊形AECF為平行四邊形． 又∵∠ECF＝90，∴四邊形AECF為矩形． 39、【解答】解：（1）OE=OF．證明如下： ∵CE是∠ACB的平分線，∴∠1=∠2．∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE=OC．同理可證OC=OF． ∴OE=OF．四邊形BCFE不可能是菱形，若四邊形BCFE為菱形，則BF⊥EC， 而由（1）可知FC⊥EC，在平面內過同一點F不可能有兩條直線同垂直于一條直線．當點O運動到AC中點時，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90）時，四邊形AECF是正方形． 理由如下：∵O為AC中點，∴OA=OC，∵由（1）知OE=OF，∴四邊形AECF為平行四邊形； ∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180，∴∠2+∠5=90，即∠ECF=90，∴?AECF為矩形， 又∵AC⊥EF．∴?AECF是正方形． ∴當點O為AC中點且△ABC是以∠ACB為直角三角形時，四邊形AECF是正方形． 40、【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60 ∴△ABD和△CBD都是等邊三角形；故答案為：等邊； （2）△BEF是等邊三角形，理由：由（1）知，△ABD和△CBD都是等邊三角形， ∴∠EDB=∠DBC=∠C=60，BD=BC ∵∠EBF=60，∴∠EBD=∠CBF， 在△BDE與△BCF中，，∴△BDE≌△BCF，∴BE=BF，∴△BEF是等邊三角形； （3）不變，理由：∵△ABD是等邊三角形，AB=a，∴AB邊上的高=a，∴S△ABD=a2， ∵△BDE≌△BCF，∴S四邊形BFDE=S△ABD=a2，∴在運動過程中，四邊形BEDF的面積不變化； （4）∵△BDE≌△BCF，∴DE=CF，∴DF+DE=DF+CF=3， ∵△BEF是等邊三角形，∴BF=EF，∵BF＜3，∴△DEF的周長＜6， 當BF⊥CD時，BF=，∴△DEF的周長=3+，∴m的取值范圍是3+≤m＜6．