《(新課改省份專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)(五十二)直線與圓錐曲線(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課改省份專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)(五十二)直線與圓錐曲線(含解析)(10頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、課時(shí)跟蹤檢測(cè)(五十二) 直線與圓錐曲線
1.過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于2,則這樣的直線( )
A.有且只有一條 B.有且只有兩條
C.有且只有三條 D.有且只有四條
解析:選B 設(shè)該拋物線焦點(diǎn)為F,A(xA,yA),B(xB,yB),則|AB|=|AF|+|FB|=xA++xB+=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合條件的直線有且只有兩條.
2.(2019·張掖高三診斷)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為,則|AB|=( )
A. B.
C.5 D
2、.
解析:選D 過拋物線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式為|AB|=p+x1+x2.∵p=2,∴|AB|=2+=.
3.(2018·聊城二模)已知直線l與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)為(2,1),則直線l的方程為( )
A.y=x-1 B.y=-2x+5
C.y=-x+3 D.y=2x-3
解析:選D 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有①-②得y-y=4(x1-x2),由題可知x1≠x2.∴===2,即kAB=2,∴直線l的方程為y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.故選D.
4.(2019·廈門模擬)過雙曲線C:-=1的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線l,則
3、直線l與雙曲線C的交點(diǎn)情況是( )
A.沒有交點(diǎn)
B.只有一個(gè)交點(diǎn)
C.有兩個(gè)交點(diǎn)且都在左支上
D.有兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上
解析:選D 直線l的方程為y=,代入C:-=1,整理得23x2-8x-160=0,Δ=(-8)2+4×23×160>0,所以直線l與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn),由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)符號(hào)不同,故兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上.
5.已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A,B,則|AB|=( )
A.3 B.4
C.3 D.4
解析:選C 由題意可設(shè)lAB為y=x+b,代入y=-x2+3得x2+x+
4、b-3=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-1,x1x2=b-3,y1+y2=x1+b+x2+b=-1+2b.所以AB中點(diǎn)坐標(biāo)為,該點(diǎn)在x+y=0上,即-+=0,得b=1,所以|AB|=·=3.
6.(2019·青島模擬)已知點(diǎn)A是拋物線C:x2=2py(p>0)的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),過點(diǎn)A作拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)分別為P,Q,若△APQ的面積為4,則p的值為( )
A. B.1
C. D.2
解析:選D 設(shè)過點(diǎn)A與拋物線相切的直線方程為y=kx-.由得x2-2pkx+p2=0,
由Δ=4k2p2-4p2=0,可得k=±1,
則Q,P,
∴△AP
5、Q的面積為×2p×p=4,∴p=2.故選D.
7.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),過點(diǎn)P(3,6)的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為N(12,15),則雙曲線C的離心率為( )
A.2 B.
C. D.
解析:選B 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由AB的中點(diǎn)為N(12,15),得x1+x2=24,y1+y2=30,由
兩式相減得:=,
則==.由直線AB的斜率k==1,∴=1,則=,∴雙曲線的離心率e===.
8.(2019·福州模擬)已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為1的直線交E于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,線
6、段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C,MN⊥y軸于點(diǎn)N,若四邊形CMNF的面積等于7,則E的方程為( )
A.y2=x B.y2=2x
C.y2=4x D.y2=8x
解析:選C F,直線AB的方程為y=x-.
聯(lián)立得方程組可得x2-3px+=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3p,
則y1+y2=x1+x2-p=2p,
∴M,∴N(0,p),直線MC的方程為y=-x+.
∴C,∴四邊形CMNF的面積為S梯形OCMN-S△ONF=-··p==7,
又p>0,∴p=2,即拋物線E的方程為y2=4x.故選C.
9.(2018·湖北十堰二模)如圖,F(xiàn)1
7、,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l與C的兩個(gè)分支分別交于點(diǎn)A,B.若△ABF2為等邊三角形,則雙曲線的離心率為( )
A.4 B.
C. D.
解析:選B ∵△ABF2為等邊三角形,
∴|AB|=|AF2|=|BF2|,∠F1AF2=60°.
由雙曲線的定義可得|AF1|-|AF2|=2a,
∴|BF1|=2a.
又|BF2|-|BF1|=2a,∴|BF2|=4a.
∴|AF2|=4a,|AF1|=6a.
在△AF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF2|·|AF1|cos 60°,
∴(2
8、c)2=(6a)2+(4a)2-2×4a×6a×,即c2=7a2,
∴e===.故選B.
10.(2019·貴陽模擬)已知雙曲線x2-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,動(dòng)直線l:y=kx+m與圓x2+y2=1相切,且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則x2-x1的最小值為( )
A.2 B.2
C.4 D.3
解析:選A ∵l與圓相切,
∴原點(diǎn)到直線的距離d==1,
∴m2=1+k2,由得(1-k2)x2-2mkx-(m2+1)=0,
∴
∴k2<1,∴-1<k<1,由于x1+x2=,
∴x2-x1===,
∵0≤k2<1
9、,
∴當(dāng)k2=0時(shí),x2-x1取最小值2.故選A.
11.(2019·安慶模擬)設(shè)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A,B在拋物線上,且滿足=λ,若||=,則λ的值為________.
解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由拋物線x2=4y得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1),
準(zhǔn)線方程為y=-1,
∵||=,∴y1+1=,解得y1=,
∴x1=±,由拋物線的對(duì)稱性取x1=,
∴A,∴直線AF的方程為y=-x+1,
由解得或
∴B(-2,2),∴||=2+1=3,
∵=λ,∴||=λ||,∴=3λ,解得λ=.
答案:
12.(2019·武漢調(diào)研)已知直線MN過橢圓+y2=
10、1的左焦點(diǎn)F,與橢圓交于M,N兩點(diǎn).直線PQ過原點(diǎn)O且與直線MN平行,直線PQ與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),則=________.
解析:法一:由題意知,直線MN的斜率不為0,設(shè)直線MN的方程為x=my+1,則直線PQ的方程為x=my.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).?(m2+2)y2+2my-1=0?y1+y2=-,y1y2=-.
∴|MN|=|y1-y2|=2·.
?(m2+2)y2-2=0?y3+y4=0,y3y4=-.
∴|PQ|=|y3-y4|=2 .
故=2.
法二:取特殊位置,當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí),易得|MN|==,|PQ|=2b=
11、2,則=2.
答案:2
13.(2019·石家莊重中高中摸底)已知拋物線C:y2=2px(p>0),直線l:y=(x-1),l與C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=,則p=________.
解析:由消去y,得3x2-(2p+6)x+3=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=1,所以|AB|=2=2 =,所以p=2.
答案:2
14.(2018·深圳二模)設(shè)過拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)P(異于原點(diǎn)O)的直線與拋物線y2=8px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),直線OP與拋物線y2=8px(p>0)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,則=______
12、__.
解析:設(shè)直線OP的方程為y=kx(k≠0),
聯(lián)立得解得P,
聯(lián)立得解得Q,
∴|OP|= =,
|PQ|= =,
∴==3.
答案:3
15.已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,E上一點(diǎn)(3,m)到焦點(diǎn)的距離為4.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過F作直線l,交拋物線E于A,B兩點(diǎn),若直線AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1,求直線l的方程.
解:(1)拋物線E:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-,
由拋物線的定義可知3- =4,
解得p=2,∴拋物線E的方程為y2=4x.
(2)法一:由(1)得拋物線E的方程為y2=4x,焦點(diǎn)F(1,0),
設(shè)A
13、,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),
則
兩式相減,整理得 =(x1≠x2).
∵線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1,
∴直線l的斜率kAB===-2,
∴直線l的方程為y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.
法二:由(1)得拋物線E的方程為y2=4x,焦點(diǎn)F(1,0),
設(shè)直線l的方程為x=my+1,
由消去x,得y2-4my-4=0.
設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),
∵線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1,
∴==-1,解得m=-,
∴直線l的方程為x=-y+1,即2x+y-2=0.
16.(2019·佛山模擬)已知直線l
14、過點(diǎn)P(2,0)且與拋物線E:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A在第四象限,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)A是PC中點(diǎn)時(shí),求直線l的方程;
(2)以AB為直徑的圓交直線OB于點(diǎn)D,求|OB|·|OD|的值.
解:(1)∵A是PC的中點(diǎn),P(2,0),C在y軸上,
∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,又A在第四象限,∴A(1,-2).
∴直線l的方程為y=2x-4.
(2)顯然直線l的斜率不為0,
設(shè)l的方程為x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立得方程組消去x得y2-4my-8=0,
∴y1y2=-8,故x1x2=·=4,
∵D在以AB為直徑的圓上,且在直線OB上
15、,∴⊥,
設(shè)=λ=(λx2,λy2),
則=-=(λx2-x1,λy2-y1),
∴·=(λx2-x1)λx2+(λy2-y1)λy2=0,
即λ2x-4λ+λ2y+8λ=0,易知λ≠0,
∴λ(x+y)=-4.
∴|OB|·|OD|=·
=|λ|(x+y)=4.
17.(2019·廣州調(diào)研)如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的上焦點(diǎn)為F1,橢圓C的離心率為,且過點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于點(diǎn)B(B不在y軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)H,若·=0,且|MO|=|MA|,求直線l的方程.
16、
解:(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為,
所以=,即a=2c.
又a2=b2+c2,所以b2=3c2,即b2=a2,
所以橢圓C的方程為+=1.
把點(diǎn)代入橢圓C的方程中,解得a2=4.
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)由(1)知,A(0,2),設(shè)直線l的斜率為k(k≠0),則直線l的方程為y=kx+2,
由得(3k2+4)x2+12kx=0.
設(shè)B(xB,yB),得xB=,
所以yB=,
所以B.
設(shè)M(xM,yM),因?yàn)閨MO|=|MA|,所以點(diǎn)M在線段OA的垂直平分線上,
所以yM=1,因?yàn)閥M=kxM+2,所以xM=-,
即M.
設(shè)H(xH,0),又直線HM垂直于直線l,
所以kMH=-,即=-.
所以xH=k-,即H.
又F1(0,1),所以=,=.
因?yàn)椤ぃ?,所以·-=0,
解得k=±.
所以直線l的方程為y=±x+2.
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