中難提分突破特訓(xùn)(六) 1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其面積為S，且(b2＋c2－a2)＝4S. (1)求角A的大小； (2)若a＝，當(dāng)b＋2c取得最大值時(shí)，求cosB. 解　(1)由已知(b2＋c2－a2)＝4S＝2bcsinA， 由余弦定理得2bccosA＝2bcsinA，所以tanA＝， 因?yàn)锳∈(0，π)，故A＝. (2)由正弦定理得＝＝， 即b＝2sinB，c＝2sinC， 因此b＋2c＝2sinB＋4sinC＝2＝4sinB＋2cosB＝2sin(B＋φ)， 其中φ∈，tanφ＝，則sinφ＝＝， 故b＋2c≤2，當(dāng)且僅當(dāng)B＋φ＝，即B＝－φ時(shí)取等號(hào)， 故此時(shí)cosB＝sinφ＝. 2．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D為BB1的中點(diǎn)． (1)若E為AB1上的一點(diǎn)，且DE與直線CD垂直，求的值； (2)在(1)的條件下，設(shè)異面直線AB1與CD所成的角為45°，求直線DE與平面AB1C1所成角的正弦值． 解　(1)如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，MD，有MD∥AB1， 因?yàn)锳C＝BC，所以CM⊥AB， 又因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1為直三棱柱， 所以平面ABC⊥平面ABB1A1， 又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ABB1A1＝AB， 所以CM⊥平面ABB1A1， 又因?yàn)镈E?平面ABB1A1， 所以CM⊥DE， 又因?yàn)镈E⊥CD，CD∩CM＝C，CD?平面CMD，CM?平面CMD， 所以DE⊥平面CMD，又因?yàn)镸D?平面CMD， 所以DE⊥MD， 因?yàn)镸D∥AB1，所以DE⊥AB1， 連接A1B，設(shè)A1B∩AB1＝O，因?yàn)锳BB1A1為正方形， 所以A1B⊥AB1， 又因?yàn)镈E?平面AA1B1B，A1B?平面AA1B1B， 所以DE∥A1B， 又因?yàn)镈為BB1的中點(diǎn)，所以E為OB1的中點(diǎn)， 所以＝. (2)如圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MA，MO，MC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AB＝2a，由題意可知∠CDM＝45°， 所以AB1＝2a， 所以DM＝CM＝a， 所以A(a,0,0)，B1(－a,2a,0)，C1(0,2a，a)，D(－a，a,0)，E， 所以＝(－2a,2a,0)，＝(a,0，a)， ＝， 設(shè)平面AB1C1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 則即 得平面AB1C1的一個(gè)法向量為n＝(，，－1)． 所以cos〈，n〉＝＝＝. 所以直線DE與平面AB1C1所成角的正弦值為. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點(diǎn)A，且點(diǎn)F(0，－1)為其一個(gè)焦點(diǎn)． (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)橢圓E與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A1，A2，不在y軸上的動(dòng)點(diǎn)P在直線y＝b2上運(yùn)動(dòng)，直線PA1，PA2與橢圓E的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，證明：直線MN通過一個(gè)定點(diǎn)，且△FMN的周長為定值． 解　(1)根據(jù)題意可得解得 ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)證明：不妨設(shè)A1(0,2)，A2(0，－2)． P(x0,4)為直線y＝4上一點(diǎn)(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 直線PA1的方程為y＝x＋2，直線PA2的方程為y＝x－2. 點(diǎn)M(x1，y1)，A1(0,2)的坐標(biāo)滿足方程組 可得 點(diǎn)N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐標(biāo)滿足方程組可得 即M，N. 直線MN的方程為y－＝－， 即y＝－x＋1. 故直線MN恒過定點(diǎn)B(0,1)． 又∵F(0，－1)，B(0,1)是橢圓E的焦點(diǎn)， ∴△FMN的周長＝|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8. 4．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，直線l：(t為參數(shù))． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程，直線l的普通方程； (2)設(shè)直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值． 解　(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a>0)兩邊同乘以ρ得， 曲線C：y2＝2ax，由直線l：(t為參數(shù))，消去t，得直線l：x－y＋2＝0. (2)將代入y2＝2ax得，t2－2at＋8a＝0， 由Δ>0得a>4， 設(shè)M，N， 則t1＋t2＝2a，t1t2＝8a， ∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列， ∴|t1－t2|2＝|t1t2|， ∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5. 5．已知函數(shù)f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|. (1)當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，求不等式f(x)≥3|x|＋1的解集； (2)若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)的最小值為2，求3a＋b的值． 解　(1)當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，由f(x)≥3|x|＋1，得2|x＋1|≥1， 所以|x＋1|≥，解得x≤－或x≥－， 所以所求不等式的解集為∪. (2)解法一：因?yàn)閒(x)＝2|x＋a|＋|3x－b| ＝ 所以函數(shù)f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，為f＝2＝2. 因?yàn)閍>0，b>0，所以3a＋b＝3. 解法二：f(x)＝2＋≥2＋，等號(hào)在－a≤x≤時(shí)成立， 因?yàn)楫?dāng)x＝時(shí)，的最小值為0， 所以f(x)＝2＋≥2，等號(hào)在x＝時(shí)成立， 所以f(x)的最小值為2，從而2＝2. 因?yàn)閍>0，b>0，所以3a＋b＝3. - 5 -