考點(diǎn)過(guò)關(guān)檢測(cè)（十八） 1．(2019·豫東聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓的方程為(　　) A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1 解析：選A　依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(－1,0)，所以c＝1.又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓的方程為＋＝1，故選A. 2．(2019·菏澤期末)已知等邊△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線Γ：y2＝2px(p>0)上，且△AOB的面積為9，則p＝(　　) A. B．3 C. D．2 解析：選C　根據(jù)拋物線和等邊三角形的對(duì)稱性，可知A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)直線OB：y＝x，與y2＝2px聯(lián)立，解得B(6p,2p)，故|OB|＝4p.因?yàn)椤鰽OB的面積為9，所以×(4p)2＝9，解得p＝.故選C. 3．若圓x2＋y2－3x－4y－5＝0關(guān)于直線ax－by＝0(a>0，b>0)對(duì)稱，則雙曲線－＝1的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　圓的圓心為，滿足題意時(shí)，直線過(guò)圓心，即a－2b＝0，∴＝，∴雙曲線的離心率e＝＝＝. 4．(2019·青島二模)若直線l：x－2y－5＝0過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)且與其一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 解析：選A　根據(jù)題意，令y＝0，則x＝5，即c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以雙曲線的方程為－＝1. 5．(2019·海珠模擬)雙曲線E的中心在原點(diǎn)，離心率等于2，若它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，則雙曲線E的虛軸長(zhǎng)等于(　　) A．4 B. C．2 D．4 解析：選D　設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，因?yàn)閥2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)，所以雙曲線E的一個(gè)頂點(diǎn)為(2,0)，即a＝2.又因?yàn)殡x心率e＝＝＝2，所以c＝4.因此b＝＝2，虛軸長(zhǎng)等于2b＝4，故選D. 6．(2019·唐山一模)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 解析：選D　因?yàn)殡p曲線的離心率e＝＝＝2，所以b2＝3a2，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.又拋物線的焦點(diǎn)為，故焦點(diǎn)到漸近線的距離d＝＝＝2，所以p＝8，所以拋物線C2的方程為x2＝16y. 7．(2019·桂林期末)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解析：選C　設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則＋＝1，即y＝3－.又因?yàn)辄c(diǎn)F(－1,0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(·)max＝6. 8．(2019·通化三模)已知直線l：y＝kx＋2過(guò)橢圓＋＝1(a>b>0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，若L≥，則橢圓離心率e的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　依題意，知b＝2，kc＝2.設(shè)圓心到直線l的距離為d，則L＝2≥，解得d2≤.又因?yàn)閐＝，所以≤.因?yàn)閑2＝＝＝，所以0<e2≤，解得0<e≤.故選B. 9．(2019·河南中原名校聯(lián)考)直線l與拋物線y2＝4x交于兩不同點(diǎn)A，B，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1y2＝－36，則直線l恒過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 解析：設(shè)直線l的方程為x＝my＋n，則由得y2－4my－4n＝0，∴y1y2＝－4n，又y1y2＝－36， ∴－4n＝－36，∴n＝9，∴直線l的方程為x＝my＋9，恒過(guò)(9,0)． 答案：(9,0) 10．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9，則下列說(shuō)法正確的是________(填序號(hào))． ①△ABF是等邊三角形； ②|BF|＝3； ③點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3； ④拋物線C的方程為y2＝6x. 解析：∵以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，∠ABD＝90°，由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等邊三角形，∴∠FBD＝30°. ∵△ABF的面積為|BF|2＝9，∴|BF|＝6.又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin 30°＝3＝p，則該拋物線的方程為y2＝6x. 答案：①③④ 11．(2019·泉州期末)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|＝，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，I為△PF1F2的內(nèi)心，若S＝S＋λS成立．則雙曲線的離心率為_(kāi)_______，λ的值為_(kāi)_______． 解析：由F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|＝，可得2c＝＝，化簡(jiǎn)得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝. 設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，由雙曲線的定義得 |PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S＝|PF1|·r，S＝|PF2|·r，S＝·2c·r＝cr，由S＝S＋λS得，|PF1|·r＝|PF2|·r＋λcr，故λ＝＝＝＝. 答案：　 4