《(新課改省份專用)2020版高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測(三十一)平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課改省份專用)2020版高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測(三十一)平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例(含解析)新人教A版(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課時跟蹤檢測(三十一) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例
一、題點全面練
1.平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=,(a+2b)·a=2,下列說法正確的是( )
A.a(chǎn)⊥b B.a與b同向
C.a(chǎn)與b反向 D.a(chǎn)與b夾角為60°
解析:選B 因為(a+2b)·a=1+2××1×cos θ=2,得cos θ=1,所以θ=0°,則a,b同向,故選B.
2.(2018·長春模擬)向量a,b均為非零向量,若(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,則a,b的夾角為( )
A. B.
C. D.
解析:選B 因為(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,所以(a-2b)
2、·a=0,(b-2a)·b=0,即a2-2a·b=0,b2-2a·b=0,所以b2=a2,a·b=,cos〈a,b〉===.因為〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉=.
3.(2019·茂名聯(lián)考)如圖,正六邊形ABCDEF的邊長為2,則·=( )
A.2 B.3
C.6 D.12
解析:選C ·=(+)·(-)=(+)·(2-)=2||2+·-||2=8+2×2×-4=6.
4.(2018·貴州黔東南州一模)已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,且∠DAB=90°,AB=2,AD=1,若點Q滿足=2,則·=( )
A.- B.
C.- D.
解析:選D 以
3、A為坐標原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,則B(2,0),C(1,1),D(0,1).
又=2,∴Q,
∴=,=,
∴·=+1=.故選D.
5.(2019·貴陽模擬)如圖,在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中,平行四邊形ABCD的頂點D被陰影遮住,找出D點的位置,計算·的值為( )
A.10 B.11
C.12 D.13
解析:選B 以點A為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(4,1),C(6,4),根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形,可以得到D(2,3),所以·=(4,1)·(2,3)=8+3=11.故選B.
4、6.(2018·武漢模擬)在△ABC中,AC=2AB=2,∠BAC=120°,O是BC的中點,M是AO上一點,且=3,則·的值是( )
A.- B.-
C.- D.-
解析:選A ∵||2=2=(||2+||2+2·)=(12+22+2×1×2×cos 120°)=,∴||=,∴| |=.∵||2=||2+||2-2||·||·cos 120°=4+1-2×2×1×=7,∴||=,||=,∴·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-||2=-=-,故選A.
7.(2018·長春一模)已知在正方形ABCD中,=,=,則在方向上的投影為________.
解析:設正方形ABCD的
5、邊長為4,建立如圖所示的平面直角坐標系,則由已知可得C(4,4),E(2,0),F(xiàn)(0,1),所以=(-2,-4),=(-4,-3),則在方向上的投影為==4.
答案:4
8.邊長為2的等邊△ABC所在平面內(nèi)一點M滿足=+,則·=________.
解析:∵·=2×2×cos=2,
∴·=(-)·(-)
=·
=·-||2-||2+·
=-×22-×22+=-.
答案:-
9.已知點M,N滿足||=||=3,且|+|=2,則M,N兩點間的距離為________.
解析:依題意,得|+|2=||2+||2+2·=18+2·=20,則·=1,
故M,N兩點間的距離為||=|-
6、|
= ==4.
答案:4
10.在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N為AC邊上的兩個動點(M,N不與A,C重合),且滿足||=,則·的取值范圍為________.
解析:不妨設點M靠近點A,點N靠近點C,以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則B(0,0),A(0,2),C(2,0),
線段AC的方程為x+y-2=0(0≤x≤2).
設M(a,2-a),N(a+1,1-a)(由題意可知0<a<1),
∴=(a,2-a),=(a+1,1-a),
∴·=a(a+1)+(2-a)(1-a)
=2a2-2a+2=22
7、+,
∵0<a<1,∴由二次函數(shù)的知識可得·∈.
答案:
11.已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120°.
(1)計算:①|(zhì)a+b|,②|4a-2b|;
(2)當k為何值時,(a+2b)⊥(ka-b).
解:由已知得,a·b=4×8×=-16.
(1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=4.
②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,
∴|4a-2b|=16.
(2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)·(ka-b)=0,
∴ka2+(2k-1)
8、a·b-2b2=0,
即16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.
當k=-7時,(a+2b)⊥(ka-b).
12.在平面直角坐標系xOy中,點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長.
(2)設實數(shù)t滿足(-t)·=0,求t的值.
解:(1)由題設知=(3,5),=(-1,1),
則+=(2,6),-=(4,4).
所以|+|=2,|-|=4.
故所求的兩條對角線的長分別為2,4.
(2)由題設知,=(-2,-1),
-t=(3+2t,5+t),
由(-t)·=0,
得(3+2t,5+t
9、)·(-2,-1)=0,
從而5t=-11,所以t=-.
二、專項培優(yōu)練
(一)易錯專練——不丟怨枉分
1.已知△ABC為等邊三角形,AB=2,設點P,Q滿足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,則λ=( )
A. B.
C. D.
解析:選A 如圖,設=b,=c,
則|b|=|c|=2,b·c=|b||c|cos 60°=2.又=+=-b+(1-λ)c,=+=-c+λb,
由·=-,得[-b+(1-λ)c]·(-c+λb)=(λ-1)|c|2-λ|b|2+(λ-λ2+1)b·c=-,
即4(λ-1)-4λ+2(λ-λ2+1)=-,
整理得4λ2-4λ+1=0,即(
10、2λ-1)2=0,解得λ=.
2.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a與b的夾角為銳角,則λ的取值范圍是________.
解析:a與b的夾角為銳角,即a·b>0且a與b不共線,則解得λ<-或0<λ<或λ>,所以λ的取值范圍是∪∪.
答案:∪∪
3.已知向量a=(1,),b=(3,m),且b在a方向上的投影為3,則向量a與b的夾角為________.
解析:因為a·b=3+m,|a|==2,|b|=,由|b|cos〈a,b〉=3,可得=3,故=3,解得m=,故|b|==2,故cos〈a,b〉==,即〈a,b〉=,故向量a與b的夾角為.
答案:
(二)交匯專練——融會巧遷
11、移
4.[與解三角形交匯]已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點,++=0,||=||=||=2,則△ABC的面積等于( )
A. B.2
C.3 D.4
解析:選B 由||=||得,△PBC是等腰三角形,取BC的中點為D,則PD⊥BC,又++=0,所以=-(+)=-2,所以PD=AB=1,且PD∥AB,故AB⊥BC,即△ABC是直角三角形,由||=2,||=1可得||=,則||=2,所以△ABC的面積為×2×2=2.
5.[與三角函數(shù)、數(shù)列交匯]已知向量a=(cos x,-1),b=,函數(shù)f(x)=(a+b)·a-2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△
12、ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點,b,a,c成等差數(shù)列,且·=9,求a的值.
解:(1)∵f(x)=(a+b)·a-2=|a|2+a·b-2=cos2x+1+sin xcos x+-2=(cos 2x+1)+1+sin 2x-=cos 2x+sin 2x=sin,
∴f(x)的最小正周期T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
(2)由f(A)=sin=,
得2A+=+2kπ或2A+=+2kπ(k∈Z),
又0<A<π,∴A=.
∵b,a,c成等差
13、數(shù)列,∴2a=b+c.
∵·=bccos A=bc=9,∴bc=18.
由余弦定理,得cos A=-1=-1=-1=,∴a=3(負值舍去).
6.[與解析幾何交匯]已知平面上一定點C(2,0)和直線l:x=8,P為該平面上一動點,作PQ⊥l,垂足為Q,且·=0.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)若EF為圓N:x2+(y-1)2=1的任意一條直徑,求·的最值.
解:(1)設P(x,y),則Q(8,y).
由·=0,
得||2-||2=0,
即(2-x)2+(-y)2-(8-x)2=0,化簡得+=1.
所以動點P在橢圓上,其軌跡方程為+=1.
(2)易知=+,=+,
且+=0,由題意知N(0,1),
所以·=2-2=(-x)2+(1-y)2-1=16+(y-1)2-1=-y2-2y+16=-(y+3)2+19.
因為-2≤y≤2,
所以當y=-3時,·取得最大值19,
當y=2時,· 取得最小值12-4.
綜上,·的最大值為19,最小值為12-4.
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